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2014年普通高等学校招生全国统一考
试（湖北卷）
数学（理科）
一、选择 题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2014年湖北，理1，5分】为虚数单位，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）< br>【答案】A
【解析】因为，故选A．
【点评】本题考查复数的运算，容易题．
（ 2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式的展开式中的系数是84，则实
数（ ）
（A）2 （B） （C）1 （D）
【答案】D
【解析】因为，令，得，，解得，故选D．
【点评】本题考查二项式 定理的通项公式，容易题．
（3）【2014年湖北，理3，5分】设为全集，，是集合，则“存在集合 使
得，是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C） 充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意，若，则，，可得； 若，不能推出，故选A．
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易
题．
（4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据
345678
4.02 .5-0.50.5-2.0-3.0
得到的回归方程为，则（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
【答案】B
【解析】依题意，画散点 图知，两个变量负相关，所以，，故选B．
【点评】
本题考查根据已知样本数判断线性回归方程 中的与的符
号，容易题．
（5）【2014年湖北，理5，5分】在如
图所示的空间直 角坐标系中，一
个四面体的顶点坐标分别
是，，，，给出编号①、②、
③、④的四个图 ，则该四面体的
正视图和俯视图分别为（ ）
（A）①和②（B）③和①（C）④ 和③（D）④和②
【答案】D
【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图
规则判断三棱锥的正视图为④与俯
视图为②，故选D．
【点评】本题考查空间由已知条 件，在空间坐标系中作出几何体的形
状，再正视图与俯视图，
容易题．
（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数，满足，则称，为区间 上的一
组正交函数，给出三组函数：①，；②，；③,，其中为区间的正交
函数的组数是（ ）
（A）0 （B）1
（C）2
（D）3
【答案】C
【解析】对①，则，为区间上的正交函数；
对②，则，不为区间上的正交函数；
对③，则，为区间上的正交函数，所以满足条件的 正交函数有2组，
故选C．
【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．< br>（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式确定的平面区
域记为，不等式，确定的平面区域 记为，在中随机
取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D ）
【答案】D
【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式
知，该点落 在内的概率为：
，故选D．
【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中 等
题．
（8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖
北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“盖”的术：置如其周， 令相承也．又以高乘之，三十
六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的
近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么
近似公式相当于将圆锥体积公式中的近 似取为（ ）
（A）
（B） （C） （D）
【答案】B
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高 为，依题意，，，所以，即的近似值
为，故选B．
【点评】本题考查《算数书》中的近似计算， 容易题．
（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们
的一 个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
（ ）
（A）
（B）
（C）3
（D）2
【答案】B
【解析】设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭 圆、
双曲线的定义得
，，所以，，因为，由余弦定理得：，所以，即，，利用基本
不等 式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故
选B．
【点评】本题椭圆、双曲线的定 义和性质，余弦定理及用基本不等式求
最值，难度中等．
（10）【2014年湖北，理10， 5分】已知函数是定义在上的奇函数，当
时， ，若，，则实数的取值范围为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解 析】依题意，当时，，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，
所以当时，的最大值为，因为对任意 实数都有，，所以，，解
得，故实数的取值范围是，故选B．
【点评】本题考查函数的奇函数性 质、分段函数、最值及恒成立，难度
中等．
二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题 5分，共25分．请将
答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可
均不得 分．
（一）必考题（11-14题）
（11）【2014年湖北，理11，5分】
设向 量，，若，则实数 ．
【答案】
【解析】因为，，因为
，
所以， 解得
．
【点评】
本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．
（12）【 2014年湖北，理12，5分】直线和将单位圆分成长
度相等的四段弧，则 ．
【答案】2
【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧
的长度都是圆周的，即，< br>，所以，故．
【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，
容易题．
（13）【2014年湖北，理13，5分】设是一个各位数字都
不是0且没有重复数字的三位数．将组
成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的
三位数记为
（例如，则 ，）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
任意输入一个，输出的结果 ．
【答案】495
【解析】当，则，当，则；当，
则，终止循环，故输出．
【点 评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．
（14）【2014年湖北，理14，5 分】设是定义在上的函数，且，对任
意,,,，若经过点,的直线与轴的交点为，则称为,关于函数的平 均数，
记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数．
（1）当=________（）时，为 的几何平均数；
（2）当=________（）时，为的调和平均数；
（以上两空各只需写出 一个符合要求的函数即可）
【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中为正常数均可）
【 解析】设，则经过点，的直线方程为，令，所以，所以当，为的调和平
均数．
【点评】本题考查 两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．
（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作
答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后
的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第1 5题作答
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