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年湖北省高考数学试卷（理科）2014
参考答案与试题解析
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．分，共50分，一、选择题：本大题
共10小题，每小题5
． ﹣． ﹣1
B． 1
i
（（ ）20141．（5分）（?i
2
）=湖北）i为虚数单位，
DC． A（5分）（2014?湖北）若二项式（2x+）的展开式中的系数是84，则实数a=
7
2．
（ ）
C． A． 2
B． 1
D．
3．（5分）（2014?湖北）设U为全集，A，B 是集合，则“存在集合C使得A?C，B??C”是“A
∩B=?”的（ ）
U
A． 充分而不必要的条件 B． 必要而不充分的条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．（5分）（2014?湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（ ）
x 3 4 5 6 7 8
﹣3.0
0.5
﹣2.0
0.5 y 4.0 2.5 ﹣
A． a＞0，b＞0 B． a＞0，b＜0 C． a＜0，b＞0 D． a＜0，b＜0
5．（5分）（2014?湖北） 在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别
为（0，0，2），（2，2， 0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，
则该四面体的正视图 和俯视图分别为（ ）
D． ④和②．C ④和③ A． ①和② B． ③和①
6．（5分）（2014?湖北） 若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间
[﹣1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
=cosx）x；g）①f（x=sinx，（ =xgx②f（）
=x+1，（x）﹣1；
2
x，g（）=x，=xf③（x） ） 1[其中为区间﹣，1]上的正交函数的组数是（
C． 2 D B ． A 0 ．1
． 3
7．（5分）（2014?湖北）由不等式组确定的平面区域 记为Ω，不等式组确定的平面区
1
域记为Ω，
在Ω中随机取一点，则该点恰好在Ω内的 概率为（ ）
221
． DA． B． C．
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系湖北）
2014?8．（5分）（统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相 乘也，又以高乘
之，三十六成一，该术相当于给出了
2
，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取LhL
2
） Lh相当于将圆锥体积公式中与高h，计算其体积V的近似公式V≈由圆锥的底面周长
的π近似取为 （为3，那么，近似公式V≈
D．B． C A． ．
=FPF?湖北）已知F，F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的 一个公共点．且∠，则椭圆9．（5
分）（2014
2112
）和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
2
．． C． 3 D A． B
222
，）|+|x﹣2a|﹣3a≥当 x0时，f（x）=（|x﹣a201410．（5分）（?湖北）已知函数f（x）是定义
在R上的奇 函数， ，则实数a的取值范围为（ ）﹣∈R，f（x1）≤f（x）若?x
C． ．D A． B．] ﹣，] [﹣，[]
，[[﹣，] ﹣ 分，共15分．二、填空题：本大题共3小题，每小题5
．﹣λ）
2222
⊥（），则实数λ= 35分）（2014?湖北）设向量=（，3），=（1， ﹣1），若（+λ11．（
分）（2014?
21
al湖北）直线：y=x+a和l： y=x+b将单位圆C：x+y=1分成长度相等四段弧，则+b= ．．12（5
个数字 按从小到大的3是一个各位数字都不是a0且没有重复数字三位数，将
组成a13．（5分）（2014 ?湖北）设，阅读a）=851）I（a）=158，D（）I排成的三位数记为（a），
按从大到小排 成的三位数记为D（a（例如a=815，则 ．b= 如图所示的程序框图，运行相应的
程序，任意输入一个a，输出的结果
三、解答题f＞0，若经过点（a，0+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞，b（14．（ 2014?
湖北）设fx）是定义在（0，，例如，），bf，则称c为关于函数（x）的平均数，记为 M（a轴的
交点为（，﹣（a）），（bf（b））的直线与xc，0）
f
的算术平均数．a，b）为a，b，即（）
（x=1（x＞0）时，可得Ma，b）=c=M（当fff
的几何平均数；a，bb＞）= （x0）时，M（a，）
为f（1）当（x
f
，b）为a，b的调和平均数a）时，（x2（）当f（）= x＞0M（
f
；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）作割线交QBO外 一点，过P点作⊙的两条切
线，切点分别为A，，过PA的中点OP?（15．2014湖北）如图，为 ⊙ ，则，两点，若，于⊙
OCDQC=1CD=3PB= ．
轴的正半 轴为极轴建立，以坐标原点为极点，x（t（2014?湖北）已知曲线C为参数）的参数方
程是16．
1
．C交点的直角坐标为 C的极坐标方程是ρ=2，则C与极坐标系，曲线
221
）
的变化近似满 足函数关系：t（单位：h11分）（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随
时间17． （
a成等比数列．a，a，=2（2014?湖北）已知等差数列{a}满 足：a，且18．（12分）
5121n
}的通项
公式；（Ⅰ）求数列{a
n
的最小值；若不存在，说n＞S60n+800？若存在，求{a}的前n项和，是否
存在正 整数n，使得（Ⅱ）记S为数列
nnn
明理由．
DAAB，，M，N分别是棱AB AD，，DBABCD?1219．（分）（2014湖北）如图，在棱长为2的正
方体﹣AC中，EF ，
11111111
）0＜λ＜2λ（BB分别在棱的中点，点P，QDD，上移动，且DP=BQ=
11
；
EFPQ时，证明：直线（Ⅰ）当λ=1BC∥平面
1
所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；
）[0，24﹣，t∈f（t）=10 （Ⅰ）求实验室这一天的最大温
差； ℃，则在哪段时间实验室需要降温？（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11
若不存在，说明理由．PQMNEFPQ（Ⅱ）是否存在λ，使面与面
年的水文资料显示，水库台发电机的水 电站，过去50?湖北）计划在某水库建一座至多安装
320．（12分）（2014的年份以上，其中 ，不足80X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单
位：亿立方米）都在40年入流量年，将 年入流量在以上三段的频率作为相5年，超过120的年
份有年，不低于80且不超过120的年份有3 5有10 应段的概率，假设各年的年入流量相互独
立． 的概率；1年的年入流量超过120（Ⅰ）求未来4年中，至多有 限制，并有如下关系：（Ⅱ）
水电站 希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X
120
＞≤X＜80 80≤X40年入流量X ＜X120
3
2 1 发电机最多可运行台数
万元，欲使水电站年总8005000万元，若某台发电机未运行，则该台年 亏损若某台发电机运行，
则该台年利润为 利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
M1，记点）的距离比它到y轴的距离多1中， 点M到点F（，0?21．（14分）（2014湖北）在平
面直角坐标系xOy C．的轨迹为 C的 方程；（Ⅰ）求轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个
公共点时C，求直线l与轨迹P（﹣2，1） （Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点 的相应取值范围．k
e=2.7 1828…为自然对数的底数．（2014?湖北）π为圆周率，22．（14分）
按从小到大的顺序排 列，并证明你的结论．这3，π，，（Ⅲ）将e3e，，π
）
的单调区间；
（x=（Ⅰ）求函数f
3eπ3eπ
6个数中的最大数和最小数；，3，π这，π，（Ⅱ）求e3，e
3πeπe3
6个数
2014年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分 ，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（5分）
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题；数系的扩充和复数．
分析： 可先计算出的值，再计算平方的值． 解答：
22
1
=解：由于﹣（﹣，所以，（）=i） 故选A． 点评： 本题考查复数代数形式的计算，属于容易
题 ．（5分）考二项式定理的应用二项式定理专即可，求分析 利用二项式定理的展开式的通项公
式，通幂指数为3
解答：
3﹣77
，项的系数为842x+）的展开式即（+2x）的展开式中x解：
二项式（
令﹣
=，所以T=
r+1
r=2，7+2r=﹣3，解得
， a=1，解得 C．故选： 本题考查二项式定理的应用，特定项的
代入得：
求法，基本知识的考查．点评： 分）3．（5 充要条件；集合的包含关系判断及应用．考点：
集合；简易逻辑．专题：
通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．分析：
解答：，使得A?CA B=?”；若“∩B=?”能推出存在集合CC?A解：由题意?C，则?C?A，当B??，
可得“A ∩
UUU
??C，B
U
?”的充分必要的条件．??C”是“A∩B=B 是集合，则“存在集合∴U为
全集，A，BC使得A?C，
U
C．故选： 本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，
是基础题．点评：
分）4．（5 线性回归方程．考点：
专题： 概率与统计． b、a的符号． 分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，）43， 解
答：解：由题意可知：回归方程经过的样本 数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归
方程经过（ ．＞与（4，3.5）附近，所以a0 ．故选：B 点评： 本题考查回归方程的应用，基
本知识的考查．
．分）（55 简单空间图形的三视图．考点： 计算题；空间位置关系与距离．专题：
分析： 在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论． 解：在坐标系
中，标出已知的 四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，解
答： 故选：
D．
本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．点评：
分）．（5微积分基本定理考
综合题；导数的综合应用专
利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．分析：
解答：
，g（x）为区间cos?x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x解：
，[﹣1）
对于①：[sinx 1]上的一组正交函数；
2
﹣[）不为区间，g（x）
≠0，∴f（x）dx=）x+1对于②：（）（x﹣1dx=（x﹣1）（ 上的一组正交函数；1，1]
3
上的一组正交函数，1，1]，g（x）为区间[﹣对于③：xdx=（，∴）=0f（x） ∴正交
函数有2组， 故选：C． 点评： 本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．
5分）．7（ 几何概型；简单线性规划．考点： 概率与统计．专题： 作出不等式组对应的平
面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论． 分析： ，
解答：
解：平面区域Ω，为三角形AOB，面积为
1
，平面区域Ω，为四边形BDCO
2
1），其中C（0，
，，即D（），解得由
，
=的面积S=，则三角形ACD
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