重庆高三数学2015年广东省高考数学试卷文科【2020新】.pdf

2020年11月21日发(作者：蒙定军)
2015
年广东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分 50分）2015年普通高等学校招生
全国统一考试（广东卷）数学（文科）
1．（5分）若集 合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（
A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D． {﹣1，1}
）
）
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）
2=（
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数， 也不是偶函数的是（
A．y=x+sin2x
．y=2
x
+
B．y=x
2
﹣cosx CD．y=x2
+sinx
）
4．（5分）若变量x，y满足约束条件
A．2 B．5 C．8 D．10
，则z=2x+3y的最大值为（）
5．（5分）设△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2
b＜c，则b=（
A．B．2
）
C．2 D．3
，cosA=．且
6．（5分）若直线l
1
和l
2
是异面直线，l
1
在平面α内，l
2
在平面β内， l是平面
α与平面β的交线，则下列命题正确的是（
A．l与l
1
，l
2
都不相交B．l与l
1
，l
2
都相交
）
C．l 至多与l
1
，l
2
中的一条相交D．l至少与l
1
，l2
中的一条相交
7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这
2件，恰有一件次品的概率为（
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
8．（5分）已知椭圆
A．2 B．3 C．4
+=1（m＞0 ）的左焦点 为F
1
（﹣4，0），则m=（
D．9
=（1，
）
）
5件产品中任取
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，
﹣2），=（2，1）则?=（）
第1页（共22页）
A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，< br>w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（
A．200 B．150 C．100 D．50
）
二、填空题（共3小题，考生作答4小题， 每小题5分，满分15分）（一）必
做题（11～13题）
11．（5分）不等式﹣x
2
﹣3x+4＞0的解集为
12．（5分）已知样本数据
2x
n
+1 的均值为
13．（5分）若三个正数
b=．
．（用区间表示）
x
1< br>，x
2
，…，x
n
的均值=5，则样本数据2x
1
+ 1，2x
2
+1，…，
．
a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5 ﹣2，则
坐标系与参数方程选做题
14．（5分）在平面直角坐标系
建立极坐标系．曲 线
程为
xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴
C
1
的极坐 标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C
2
的参数方
．
（t为参数 ），则C
1
与C
2
交点的直角坐标为
几何证明选讲选做题
1 5．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，
．切点为C，过A作直 线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=
三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．
第2页（共22页）
（1）求tan（α+
（2）求
）的值；
的值．
17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位 ：度），以[160，180），
[180，200），[200，220），[220，240），[ 240，260），[260，280），[280，300）
分组的频率分布直方图如图．
（ 1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[ 220，240），[240，260），[260，280），[280，300）
的四组用户中，用 分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）
的用户中应抽取多少户？
18．（14分）如图，三角形
PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥ 平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
（3）求点C 到平面PDA的距离．
19．（14分）设数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，n∈N
*
．已知a
1
=1，a
2< br>=，a
3
=，且
当n≥2时，4S
n
+
2
+ 5S
n
=8S
n
+
1
+S
n
﹣
1
．
（1）求a
4
的值；
第3页（共22页）
（2）证明：{ a
n
+
1
﹣a
n
}为等比数列；
（3）求数列{a
n
}的通项公式．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C
1
：x
2
+y
2
﹣6x+5=0相交于不同的两点A，
B．
（ 1）求圆C
1
的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（ 3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存
在，求出k的取值范 围；若不存在，说明理由．
21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）
2
+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论f（x ）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．
第4页 （共22页）
2015年广东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题 （共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生
全国统一考试（广东卷）数学（ 文科）
1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（
A．{0． ﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：M ∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合， 交集的概念及运算．
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）
2
=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【分析】利用完全平方式展开化简即可．
【解答 】解：（1+i）
2
=1
2
+2i+i
2
=1+2i﹣1= 2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；注意i
2
=﹣1．
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
A．y=x+sin2x B．y=x
2
﹣cosx C．y=2
x
+D．y=x
2
+ sinx
【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．
【解答】解：四个选项中， 函数的定义域都是R，
对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；
对于B，（﹣x）
2
﹣cos（﹣x）=x
2
﹣cosx；是偶函数；
对于C，，是偶函数；
对于D，（﹣x）
2
+sin（﹣x）=x
2
﹣sinx≠x
2
+sinx，x
2
﹣sinx≠﹣（
第5页（共 22页）
）
）
x
2
+sinx）；所以是
非奇非偶的函数；
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．
4．（5分）若变量x，y满足 约束条件
A．2 B．5 C．8 D．10
，则z=2x+3y的最大值为（）
【分 析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求
的最大值．
【解答】解 ：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=
平移直线y=
，
，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=
z
的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即B（4，﹣1）．
此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
第6页（共22页）
5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c．若a=2，c=2
b＜c，则b=（
A．B．2
）
C．2 D．3
，cosA=．且
【分析】运用余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可
得到b=2．
【解 答】解：a=2，c=2
由余弦定理可得，
，
a
2
=b
2< br>+c
2
﹣2bccosA
即有4=b
2
+12﹣4
解 得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的余弦定 理及应用，
易错题．
主要考查运算能力，属于中档题和
×b，
，cosA=． 且b＜c，
6．（5分）若直线l
1
和l
2
是异面直线，l
1
在平面α内，l
2
在平面β内，l是平面
α与平面β的交线，则下列命题正 确的是（
A．l与l
1
，l
2
都不相交B．l与l
1
，l
2
都相交
）
C．l至多与l
1
，l
2
中的一条相交D．l至少与l
1
，l
2
中的一条相交
【分析】可以 画出图形来说明l与l
1
，l
2
的位置关系，从而可判断出
错误的， 而对于D，可假设不正确，这样
l
1
，l
2
异面矛盾，这样便说明D 正确．
A，B，C是
l便和l
1
，l
2
都不相交，这样可推 出和
【解答】解：A．l与l
1
，l
2
可以相交，如图：
第 7页（共22页）
∴该选项错误；
B．l可以和l
1
，l
2
中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l可以和l
1
，l
2
都 相交，如下图：
，∴该选项错误；
D．“ｌ至少与l
1
，l
2
中的一条相交”正确，假如l和l
1
，l
2
都不相交；
∵l和l< br>1
，l
2
都共面；
∴l和l
1
，l
2
都平行；
∴l
1
∥l
2
，l
1
和l
2< br>共面，这样便不符合已知的
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查异面直线的 概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，
的反面不正确．
可说明它
l
1< br>和l
2
异面；
7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这
2件，恰有一件次品的概率为（
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【分析 】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从
件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计 数原理求解，
型的概率公式即可．
第8页（共22页）
5件产品中任取
）5件产品任取2
最后带入古典概
【解答】解：这是一个古典概型，从
∴基本事件总 数为10；
设“选的2件产品中恰有一件次品
=6；
∴P（A）=
故选：B．
=0.6．
5件产品中任取2件的取法为；
”为事件A，则A包含的基本事件个数为< br>【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本
事件总数的概念， 掌握组合数公式，分步计数原理．
8．（5分）已知椭圆
A．2 B．3 C．4
+
+=1（m＞0 ）的左焦点为F
1
（﹣4，0），则m=（
D． 9
）
【分析】利用椭圆
即可求出m．
【解答】解：∵椭圆
∴25﹣m
2
=16，
∵m＞0，
∴m=3，
故选：B．
=1（m＞0 ）的左焦点为F
1
（﹣4，0），可得25﹣m
2
=16，
+=1（ m＞0 ）的左焦点为F
1
（﹣4，0），
【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的 计算能力，比较基础．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，< br>﹣2），
A．5
=（2，1）则
B．4 C．3
?=（）
=（1，
D．2
=的坐标，然后代入向量数【分析】由向量加法的平行四边形法则可求
第9页（共22页）
量积的坐标表示可求
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，∴=3×2+（﹣1）×1=5．
==（3，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主 要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，
属于基础试题．
10．（5分） 若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4
且p，q，r， s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，
w∈N}，用 card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（
A．200 B．150 C．100 D．50
【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取 一数都有4种取法，
从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1 的情况，
求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合
E，F 元素个数相加即
）
F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合
可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有
s=3时，p，q，r的取值的排列 情况有3×3×3=27种；
s=2时，有2×2×2=8种；
s=1时，有1×1×1=1种 ；
∴card（E）=64+27+8+1=100；
（2）u=4时：若w=4，t，v的取 值的排列情况有
若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；
若w=2，有4×2= 8种；
若w=1，有4×1=4种；
u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4= 12种；
若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；
若w=2，有3×2=6种；< br>第10页（共22页）
4×4×4=64种；
4×4=16种；
若w=1，有3 ×1=3种；
u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；
若w=3，有2 ×3=6种；
若w=2，有2×2=4种；
若w=1，有2×1=2种；
u=1时：若 w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；
若w=3，有1×3=3种；
若w=2，有 1×2=2种；
若w=1，有1×1=1种；
∴card（F）=100；
∴card （E）+card（F）=200．
故选：A．
【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的 应用，注意要弄清讨论谁，做到
不重不漏．
二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5 分，满分15分）（一）必
做题（11～13题）
11．（5分）不等式﹣x
2
﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）
【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利 用因式分解法解之．
【解答】解：原不等式等价于
＜x＜1；
所以不等式的解集为（﹣ 4，1）；
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先 将二次项系数化为正数，
然后选择适当的方法解之；属于基础题．
x
2
+3x ﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4
12．（5分）已知样本数据
2x
n
+1 的均值为11．
x
1
，x
2
，…，x
n
的均值=5，则样本数据2x
1
+1，2x
2
+1，…，
【 分析】利用平均数计算公式求解
第11页（共22页）