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2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
一．选择 题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x
2
﹣x≤0}，则 A∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}
2．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（5分）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值
为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．（5分）设等差数列{a
n}的前n项和为S
n
，且a
2
+a
7
+a
12
=24，则S
13
=（ ）
A．52 B．78 C．104 D．208
6．（5分）如果P
1
，P
2
，…，P
n
是抛物线C：y=4x上的点，它们的横坐标
依次为x
1
，x
2
，…，x
n
，F是抛物线C的焦点，若x
1
+x
2
+…+x
n
=10，则
|P
1
F|+|P
2
F|+ …+|P
n
F|=（ ）
A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20
7．（5分）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若= m+n（m，n∈R）
则=（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
< br>2
8．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x
2
+（y+2）的取值范围是 （ ）
2
A．[，17] B．[1，17] C．[1，] D．[，]
9．（5分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长
都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．20π B． C．5π D．
10．（5分）已知下列四个命题：
p
1
：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
p2
：若f（x）=2
x
﹣2
﹣x
，则?x∈R，f（﹣x）=﹣ f（x）；
p
3
：若，则?x
0
∈（0，+∞），f（x
0
）=1；
p
4
：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面
体的三视图，则该四面体的 表面积为（ ）
A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+ D．++
12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所着的《详解九
章算术》一书中的“杨辉三角性”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一 行中的数字均等于其“肩上”
两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×2
2015
B．2017×2
2014
C．2016×2
2015
D．2016×2
2014
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）一个总体中 有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编
号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，… 6．现用系统抽样方法抽取
一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．
14．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦 点为F，点
B（0，b），且，则双曲线C的离心率为 ．
15．（5分）（x< br>2
﹣x﹣2）
4
的展开式中，x
3
的系数为 （用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2
|x |
f（x）﹣2的零点个数
为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图， 在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，
BD=2AD．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18 ．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质
量指标值，由测量结果得到如 图所示的频率分布直方图，质量指标值落在
区间[55，65），[65，75），[75，85]内的 频率之比为4：2：1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视 为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记
这3件产品中质量指标值位于区间[45，75） 内的产品件数为X，求X的分
布列与数学期望．
19．（12分）如图， 四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底 面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
A
1
O⊥底面ABCD，AB=AA
1
=2．
（I）证明：平面A
1
CO⊥平面BB
1
D
1
D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB
1
﹣C的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，
左焦点为F1
（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭
圆C交于E，F 两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；
（1）求椭圆C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经
过，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=e
x+m
﹣x
3
，g（x）= ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的
值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x
3
．
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图所示，△ABC内 接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交
BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于 点E．
（I）求证：DE=AE?BE；
（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．
2
【选修4-4：坐标系与参数方程】
2 3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐 标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最
短，并求出点D 的直角坐标．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]， 不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b
的取值范围．
2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2016?广州一模）已知集合A={x| |x|＜1}，B={x|x
2
﹣x≤0}，
则A∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即
可．
【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，
由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即B={x|0≤x≤1}，
则A∩B={x|0≤x＜1}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2016?广州一模）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的
共 轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出．
【解答】解： ∵复数===1+2i，复数z的共轭复数=1﹣2i所对应的点在第
四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查
了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（201 6?蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，
则输出k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．
【分析】根据框图的流程依次 计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，
跳出循环体，确定输出k的值．
【解答】解：模拟执行程序，可得
x=3，k=0
x=9，k=2
不满足条件x＞100，x=21，k=4
不满足条件x＞100，x=45，k=6
不满足条件x＞100，x=93，k=8
不满足条件x＞100，x=189，k=10
满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序
运行的结果是解答此类问题的 常用方法．
4．（5分）（2016?广州一模）如果函数（ω＞0） 的相邻两个零点之间的距
离为，则ω的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意
义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得ω的值．
【解答】解：∵函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，
∴?=，求得ω=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．
5．（5分）（2016?广州一模）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
2
+a
7
+a
12
=24，则S
13
=（ ）
A．52 B．78 C．104 D．208
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意和等差数列的性 质可得a
7
的值，再由等差数列的性质和求
和公式可得S
13
=13 a
7
，代值计算可得．
【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7
=a
2
+a
7
+a
12
=24，
解得a
7
=8，故S
13
===13a
7
=104 ，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7
是解决问题的关键，
属基础题．
6．（5分） （2016?广州一模）如果P
1
，P
2
，…，P
n
是抛物 线C：y
2
=4x上的
点，它们的横坐标依次为x
1
，x
2
，…，x
n
，F是抛物线C的焦点，若
x
1
+x
2
+…+x
n
=10，则|P
1
F|+|P
2
F|+ …+|P
n
F|=（ ）
A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛 物线性质得|P
n
F|==x
n
+1，由此能求出结果．
【解答】解：∵P
1
，P
2
，…，P
n
是抛物线C：y2
=4x上的点，
它们的横坐标依次为x
1
，x
2< br>，…，x
n
，F是抛物线C的焦点，
x
1
+x
2
+…+x
n
=10，
∴|P
1
F|+|P
2
F|+…+|P
n
F|
=（x
1
+1）+（x
2
+1）+…+（x
n
+1 ）
=x
1
+x
2
+…+x
n
+n
=n+10．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线中一组线段和 的求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意抛物线的性质的合理运用．
7．（5分）（2016?广州一模）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，
若=m+n（m，n∈R）则=（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．
【解答】解：由题意，如图，=m+n=，
所以n=，m=1，所以=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基
础题．
8．（5分）（2016?福建校级模拟）设实数x，y满足约束条件，则x2
+（y+2）
2
的取值范围是（ ）
A．[，17] B．[1，17] C．[1，] D．[，]
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式．
【分析】由题意作平面 区域，而x
2
+（y+2）
2
的几何意义是点A（0，﹣2）
与阴影 内的点的距离的平方，从而结合图象解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
x
2
+（y+2）
2
的几何意义是点A（0， ﹣2）与阴影内的点的距离的平方，
而点A到直线y=x﹣1的距离d==，
B（﹣1，2），故|AB|==，
故（）
2
≤x
2+（y+2）
2
≤（）
2
，
即≤x
2
+（y+2）
2
≤17，
故选：A．
【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考
查了转化思想的应用．
9．（5分）（2016?广州一模） 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于
底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的 体积为（ ）
A．20π B． C．5π D．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】作 出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底
面中心分别为O
1
，O< br>2
，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据
结合勾股定理算出球的半径OA ，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．
【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球 的截面，如右图，则该截
面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为 O，正六棱柱的上下底面中心分别为O
1
，O
2
，则球心O是O
1< br>，O
2
的中点．
∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，
∴Rt△AO
1
O中，AO
1
=1，O
1
O=，可 得AO==，
因此，该球的体积为V=π?（）=．
故选：D．
3
【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的
内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．
10．（5分）（2016?广州一模）已知下列四个命题：
p
1
：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
p2
：若f（x）=2
x
﹣2
﹣x
，则?x∈R，f（﹣x）=﹣ f（x）；
p
3
：若，则?x
0
∈（0，+∞），f（x
0
）=1；
p
4
：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】p
1
：根据线面垂直的判断定理判定即可；
p
2
：根据奇函数的定义判定即可；
p
3
：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；
p
4
：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．
【解答】解 ：p
1
：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直
线垂直，则l⊥α，若 没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错
误；
p
2
：根据 奇函数的定义可知，f（﹣x）=2
﹣x
﹣2
x
=﹣f（x），故?x∈R， f（﹣
x）=﹣f（x），故正确；
p
3
：若=x+1+﹣1≥1 ，且当x=0时，等号成立，故不存在x
0
∈（0，+∞），f
（x
0
）=1，故错误；
p
4
：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B ，则a＞b，由正弦定理可
知，sinA＞sinB，故正确．
故选：B．
【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正
弦定理的应用．属于基 础题型，应熟练掌握．
11．（5分）（2016?福建校级模拟）如 图，网格纸上小正方形的边长为1，
粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）
A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+ D．++
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知几何体为从边长 为4的正方体切出来的三棱锥．作
出直观图，计算各棱长求面积．
【解答】解：由三 视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥
A﹣BCD．作出直观图如图所示：
其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．
∴S
△ABC
==4，S
△BCD
==4．
∵AC=4，AC⊥CD，∴S
△ACD
==8，
由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．
∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．
∴S
△ABD
==4．
∴几何体的表面积为8+8+4．
故选A．
【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算， 作出直观
图是解题关键．
12．（5分）（2016?广州一 模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨
辉所着的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．< br>
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”
两 数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×2
2015
B．2017×2
2014
C．2016×2
2015
D．2016×2
2014
【考点】归纳推理．
【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明．
< br>【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为
2，第三行公差为4，… ，第2015行公差为2
2014
，第2016行只有M，由此
可得结论
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差 为2，第三行公差为4，…，第2015行公
差为2
2014
，
故第1行的第一个数为：2×2
﹣1
，
第2行的第一个数为：3×2
0
，
第3行的第一个数为：4×2
1
，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2
n﹣2
，
第2016行只有M，
则M=（1+2016）?2
2014
=2017×2
2014
故选：B．
【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题
的能力，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2016?蚌埠三模 ）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，
2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1 ，2，3，…6．现用系
统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则
在第5组中抽取的号码是 43 ．
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可．
【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔
号为=10，
所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43．
故答案为：43．
< br>【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然
后采用简单的随机抽样在 第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组
抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．
14．（5分）（2016?广州一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0） 的左顶点为A，
右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与
方程．
【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc
的关系和离心率公式，计 算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），
可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），
由，可得﹣ac+b
2
=0，
即有b
2
=c
2
﹣a
2
=ac，
由e=，可得e
2
﹣e﹣1=0，
解得e=（负的舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线 的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标
表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算 能力，属于中档
题．
15．（5分）（2016?广州一模） （x
2
﹣x﹣2）
4
的展开式中，x
3
的系数为 ﹣
40 （用数字填写答案）
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】解法一：根据（x
2
﹣x﹣2）
4
=（x﹣2）
4
?（x+1）
4
，把（x﹣2）
4
和（x+1）
4
分别使用二项式定理展开，可得x
3
的系数．
解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x
3
的系数．
【解答】解：解法一：∵（x
2
﹣x﹣2）
4
=（x﹣2）
4
?（x+1）
4
=
234[?x
4
+?x
3
?（﹣2）+?x
2
?（﹣2）+? x?（﹣2）+?（﹣2）]?（?x
4
+?x
3
+?x
2
+?x+）
故x
3
的系数为﹣2?1+4?+（﹣8）?+16?=﹣40，
故答案为：﹣40．
解法二：∵（x
2
﹣x﹣2）
4
表示4个因式（x
2
﹣x﹣2）的乘积，
x
3
的 系数可以是：从4个因式中选一因式提供x
2
，其余的3个因式中有一
个提供（﹣x） ，其余的2个因式都提供（﹣2），
也可以是从4个因式中选3个因式都提供（﹣x），其余 的1个提供（﹣2），
可得x的系数，
故x
3
的系数为：?（﹣1 ）?（﹣2）
2
+（﹣1）?（﹣2）=﹣48+8=﹣40．
【点评】本 题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展
开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档 题．
3
16．（5分）（2016?广州一模）已知函数f（ x）=，则函数g（x）=2
|x|
f（x）
﹣2的零点个数为 2 ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】函数g（x） =2
|x|
f（x）﹣2的零点个数转化为方程g（x）=2
|x|
f
（x）﹣2=0的解的个数，再转化为函数f（x）与y=的图象的交点的个数，
从而解得．
【解答】解：令g（x）=2
|x|
f（x）﹣2=0得，
f（x）=，
作函数f（x）与y=的图象如下，
，
结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，
故函数g（x）=2
|x|
f（x）﹣2的零点个数为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象 的交
点的关系应用，考查了数形结合的思想．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（20 16?江苏模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥
BC，AC=5，CD=5，BD=2 AD．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】（1）假设AD=x，分别在 △ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，
列方程解出x；
（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．
【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．
在△ACD中，由余弦定理得cosA==，
在△ABC中，由余弦定理得cosA==．
∴=，解得x=5．
∴AD=5．
（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．
∴S
△ABC
===．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
18．（12分）（2016?蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取100件，
测量这些产品 的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，
质量指标值落在区间[55，65），[6 5，75），[75，85]内的频率之比为4：2：
1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视 为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记
这3件产品中质量指标值位于区间[45，75） 内的产品件数为X，求X的分
布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量 的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变
量及其分布列．
【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（I）由题意，质量指 标值落在区间[55，65），[65，75），[75，
85]内的频率之和，利用之比为4：2：1 ，即可求出这些产品质量指标值落
在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）求出每件 产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为，利用题
意可得：X～B（3，），根据概率分布知 识求解即可．
【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，7 5），[75，
85]内的频率之和为1﹣﹣﹣﹣=，
∵质量指标值落在区间[55 ，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：
2：1，
∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为；
（Ⅱ）根据样本频率分 布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）
内的概率为，
由题意可得：X～B（3，）
∴X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
∴EX=+2×+3×=
【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统 计的知识，综
合性较强，属于中档题．
19．（12分）（2 016?南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1D
1
的底面ABCD
是菱形，AC∩BD=O，A
1
O⊥底面A BCD，AB=AA
1
=2．
（I）证明：平面A
1
CO ⊥平面BB
1
D
1
D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB
1
﹣C的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的
平面角及求法．
【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应
用．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．
【解答】证明：（1）∵A
1
O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD，
∴A
1
O⊥BD，
又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵A
1
O∩AC=O，
∴BD⊥面A
1
AC，
∵BD?平面BB
1
D
1
D，
∴平面A
1
CO⊥平面BB
1
D
1
D
< br>（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA
1
分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=AA
1
=2，∠BAD=60°，
∴OB=1，OA=，
∵AA
1
=2，
∴A
1
O=1．
则A（，0，0），B（0，1，0），A
1
（0，0，1），C（﹣，0，0），
==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），
=（0，0，1），
则=+=（﹣，1，1），
设平面BOB
1
的一个法向量为=（x，y，z），
则，
令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），
设平面OB
1
C的一个法向量为=（x，y，z），
则，
令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），
cos＜，＞===﹣，
∵二面角B﹣OB
1
﹣C是钝二面角，
∴二面角B﹣OB
1
﹣C的余弦值是﹣．
【点评】本小 题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向
量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能
力，综合性较强，运算量较大．
2 0．（12分）（2016?福建校级模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点
在x轴上，左顶点为A ，左焦点为F
1
（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，
直线y=kx（k≠0）与 椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于
点M，N；
（1）求椭圆C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点 的坐标，若不经
过，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1 ）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，
c的方程组，求解方程组得到a
2
，b
2
的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x
0< br>，y
0
），E（﹣x
0
，﹣y
0
），写出AE、AF 所在直线方程，求出M、
N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
则，解得：a
2
=8，b
2
=4．
∴椭圆C的方程为；
（2）如图，设F（x
0
，y
0），E（﹣x
0
，﹣y
0
），
则，
A（﹣，0），
AF所在直线方程，取x=0，得，
∴N（0，），
AE所在直线方程为，取x=0，得y=．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），
半径r=，
圆的方程为=，
即．
取y=0，得x=±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
【点评】本题考查椭圆的简 单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查
整体运算思想方法，是中档题．
21．（12分）（2016?广州一模）已知函数f（x）=e
x+m
﹣ x
3
，g（x）=ln（x+1）
+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的
值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x
3
．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；
（2）f（ x）＞g（x）﹣x
3
即为e
x+m
＞ln（x+1）+2．由函数y=e< br>x
﹣x﹣1，求
得最小值，可得e
x
≥x+1，则e
x+m< br>＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）
﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1 ，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=e
x+m
﹣x
3
的导数为f′（x）=e
x+m
﹣3x
2，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e
m
=1，
解得m=0；
（2）证明：f（x）＞g（x）﹣x即为
e＞ln（x+1）+2．
由y=e
x
﹣x﹣1的导数为y′=e
x
﹣1，
当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．
即有x=0处取得极小值，也为最小值0．
即有e
x
≥x+1，则e
x+m
≥x+m+1，
由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，
h′（x）=1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；
﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=0处取得最小值，且为m﹣1，
当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
则有f（x）＞g（x）﹣x
3
成立．
【点评】本题考查导数的运 用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，
考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性 ，考查推理能
力，属于中档题．
x+m
3
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2016?广州一模）如图所示 ，△ABC内接于⊙O，直线AD与
⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交B A的延长线
于点E．
（I）求证：DE
2
=AE?BE；
（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）推导出△AED ∽△DEB，由此能证明DE
2
=AE?BE．
（Ⅱ）由切割线定理得EF
2
=EA?EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能
求出AC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，
∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，
∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，
∴，∴DE
2
=AE?BE．
解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，
∴EF=EA?EB，
∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，
由（Ⅰ）知DE
2
=AE?BE，∴DE=4，
∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，
∴，
∴AC==．
2
【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的 证明，考查线段长的求法，
是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2016?广州 一模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极 坐标方程为ρ=2sinθ，θ
∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（ t为参数，t∈R）的距离最
短，并求出点D的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．
【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．
（II）消去参数把直线 l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l
的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即
ρ2
=2ρsinθ，化为x
2
+y
2
﹣2y=0，配方为x2
+（y﹣1）
2
=1．
（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．
直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，
可得圆心C到直线l的距离d==1=0，
∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．
联立，解得D．
【点评 】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方
程、点到直线的距离公式、直线与圆相 切问题，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．（2016?淮南二模）设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]， 不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b
的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可 得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）
的最大值为+，可得实数b的范围．
【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，
即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，
而﹣对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，
故|x+1|﹣|x|≥ 的解集为{x|x≥﹣}．
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即 f（x）
＜b恒成立，
则b大于f（x）的最大值．
函数f（x ）=|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它
到对应点的距离，
故f（x）的最大值为+，故实数b＞+．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝 对值不等式的解法，函数的恒成
立问题，属于中档题．
< br>参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；沂蒙松；w3239003；caoqz；
li ncy；zlzhan；changq；炫晨；qiss；洋洋；zhczcb；豫汝王世崇；whgcn；双曲线；刘长柏；maths；sxs123（排名不分先后）
菁优网
2017年3月12日
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记
作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合
没有交集．
运算形状：
①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩ B?B．⑤A∩B=A?A?B．⑥
A∩B=?，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=?．⑧C U（A∩B）=（CUA）
∪（CUB）．
【解题方法点拨】解答交集问 题，需要注意交集中：“且”与“所有”的
理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限 集找相同；
②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题 为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的
单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、
q及非p的真假 ，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成 “方程x2﹣2x+1=0
的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合 命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指
出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复 合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可
用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”
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本文更新与2020-11-22 00:13，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/453835.html