-
2003考研数学一答案
【篇一：2003年考研数学一真题】
p class=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.
把答案填在题中横线上）
1
（1） lim(cosx)ln(1?x) . x?0（2） 曲面z?x2?y2与平面
2x?4y?z?0平行的切平面的方程是.
（3） 设x?2?a
n?0?ncosnx(???x??)，则a2.
（ 4）从r的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的
过渡 矩阵为 . ????????
（5）设二维随机变量(x,y)的概率密度为
f (x,y)??2?1??1??1??1??6x,0?x?y?1,则p{x?y?1}? . 其他，?0,
（6）已知一批零件的长度x (单位：cm)服从正态分布n(?,1)，从
中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信
度为0.95的置信区间是 .
,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出
的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题
后的括号内）
（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则
f(x)有
(a) 一个极小值点和两个极大值点.
(b) 两个极小值点和一个极大值点.
(c) 两个极小值点和两个极大值点.
(d)
[ ]
（2）设{an},{bn},{cn} 均为非负数列，且
liman?0,limbn?1,limcn??,则必有 n??n??n??
(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.
(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ] n??n??
（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim
x?0,y?0f(x,y)?xy?1，则 (x2?y2)2
(a) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
(b) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.
(c) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]
（4）设向 量组i：?1,?2,?,?r可由向量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，
则
(a) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (b) 当r?s时，向量组ii必线
性相关.
(c) 当r?s时，向量组i必线性相关.(d) 当r?s时，向量组i必线性
相关.
[ ]
（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0, 其中a,b均为m?n矩阵，
现有4个命题：
① 若ax=0的解均是bx=0的解，则秩(a)?秩(b)；
② 若秩(a)?秩(b)，则ax=0的解均是bx=0的解；
③ 若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；
④ 若秩(a)=秩(b)， 则ax=0与bx=0同解.
以上命题中正确的是
(a) ① ②. (b) ① ③.
(c) ②
④. (d) ③ ④. [ ]
（6）设随机变量x~t(n)(n?1),y?
(a) y~1，则 2x?2(n). (b) y~?2(n?1).
(c) y~f(n,1). (d) y~f(1,n). [ ]
三、（本题满分10分）
过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成
平面图形d.
(1) 求d的面积a;
(2) 求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.
四、（本题满分12分） ?1?2x(?1)n
将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.
1?2xn?02n?1
五 、（本题满分10分） 已知平面区域d?{(x,y)0?x??,0?y??}，l
为d的正向边界. 试证： (1)
(2) siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx;
llxelsinydy?ye?sinxdx?2?2.
六 、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将
克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地
下的 深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下
a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打
时所作的功之比为常数r(0r1). 问
(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m表示长度单位米.）
七 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导 数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)
的反函数.
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为
y=y(x)满足的微分方程； 2dydy
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?
八 、（本题满分12分）
设函数f(x)连续且恒大于零， 3的解. 2
???
f(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv
2
d(t)??f(x?y)d?2，g(t)?d(t)??f(x2?y2)d??t， ?1f(x)dx2
2222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}， d(t)?{(x,y)x?y?t}.
(1) 讨论f(t)在区间(0,??)内的单调性.
(2) 证明当t0时，f(t)?
九 、（本题满分10分） 2?g(t).
?322??010??????1**设矩阵a?232，p?101，b?pap，求b+2e< br>的特征值与特征向量，其中a为???????223???001??
a的伴随矩阵，e为3阶单位矩阵.
十 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0，
l2: bx?2cy?3a?0，
l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一 、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3
件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱
后，求：
(1) 乙箱中次品件数的数学期望；
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、（本题满分8分）
设总体x的概率密度为
?2e?2(x??),x??, f(x)?? x??,?0,
??min(x,x,?,x). 其中??0是未知参数. 从总体x中抽取简单随机样
本x1,x2,?,xn，记?12n
(1) 求总体x的分布函数f(x);
(2) 求统计量??的分布函数f??(x)；
(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.
2003年考研数学一真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在
题中横线上）
1
（1） lim(cosx)ln(1?x) =x?0
?1e. g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)
可.
1(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行计算求极限均
【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)=ex?0ln(1?x)lim1lncosx,
?sinx1?lncosxlncosx112?lim?lim??而 lim，故原式=e?.
22x?0ln(x?0x?02x21?x)xe
?12x1??， 22x【详解2】 因为
lim(cosx?1)?x?01?lim2ln(1?x)x?0
所以原式=e?1
2?1
e.
（2） 曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是
2x?4y?z?5.
【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标
即可求出平面方程, 而切点坐标
22可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.
22??【详解】 令 f(x,y,z)?z?x?y，则
fx???2x，fy???2y， fz??1.
设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其
与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有
?2x0?2y01??， 24?1
22可解得x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.
故所求的切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.
【篇二：2003年数学二考研试题与答案】
=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案
填在题中横线上）
1
（1） 若x?0时，(1?ax)4?1 与xsinx是等价无穷小，则a=.
（2） 设函数 y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点
(1,1)处的切线方程是 .
（3） y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 .
（4） 设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从
0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
?1???1???1
?11?1
1?
?
?1，则 ?1??
2
（5） 设?为3维列向量，?t是?的转置. 若??
t
t
??= .
（6） 设三阶方阵a,b满足a2b?a?b?e，其中e为三阶单位矩阵，
若?1?a?0
????2
020
1?
?
0，则b?. ?1??
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出
的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题
后的括号内）
（1）设{an},{bn},{c n}均为非负数列，且
liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??
n??n??
(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.
(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ]
n??
n??
（2）设an?
3
nn?1
?2
32
x
n?1
?xdx, 则极限limnan等于
n??
n
3?1
(a) (1?e)?1. (b) (1?e)2?1.
3?1
3
(c) (1?e)2?1. (d)(1?e)2?1. [ ]
（3）已知y?
xlnx
22
是微分方程y??
xx
??()的解，则?()的表达式为 xyy
yx
xy
22
y
（a） ?
yx
xy
22
. (b) .
22
(c) ?.(d) .[ ]
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则
f(x)有 (a) 一个极小值点和两个极大值点. (b) 两个极小值点和一个
极大值点.
(c) 两个极小值点和两个极大值点.
(d) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
?
?
（5）设i1?
?
4
tanxx
dx,i2?
?
4
xtanx
, 则
(a) i1?i2?1. (b) 1?i1?i2.
(c) i2?i1?1. (d) 1?i2?i1. [ ] （6）设向量组i：?1,?2,?,?r可由向
量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，则 (a) 当r?s时，向量组ii必线性相
关. (b) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (c) 当r?s时，向量组i必
线性相关. (d) 当r?s时，向量组i必线性相关. [ ]
三 、（本题满分10分）
?
3?ln(1?ax)
,x?0,?
?x?arcsinx
6,x?0, 设函数 f(x)??ax2
?e?x?ax?1x?0,
,?
x
?xsin
4?
问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时 ，x=0是f(x)的可去
间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,2
dy?u
1?2lnte设函数y=y(x)由参数方程?(t?1)所确定，求2
y?dudx??1u?
x?9
.
五 、（本题满分9分） 计算不定积分
?
xe
arctanx
3
.
2
(1?x)
2
六 、（本题满分12分）
设函 数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)
的反函数 .
dxdy
22
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程分方程；
?(y?sinx)(
dxdy
)?0变换为y=y(x)满足的微
3
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满
分12分）
讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(交点为q，且线段pq被x轴平
分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程；
4
32
的解.
x的交点个数.
21
,)，其上任一点p(x,y)处的法线与y轴的22
(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的
弧长s. 九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的
旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当
以3m/min的速率向容器内注入液体时，
液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器
内无液体）.
(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲
线x??(y)的方程.
2
3
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十 、（本题满分
10分）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0.
若极限
lim?
f(2x?a)x?a
存在，证明：
x?a
(1) 在(a,b)内f(x)0; (2) 在(a,b)内存在点?，使
b?a
2
2
?
b
?
2?f(?)
；
a
f(x)dx
(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b2?a2)?十 一、
（本题满分10分） ?2
?
若矩阵a?8
???0
p
?1
2?
?
??a
b
a
f(x)dx.
220
0?
?
a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵p使?6??
ap??.
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2:
bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
1
一．（1）. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim
(1?ax)4
xsinx
2
x?0
?1，反过
来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行
化简.
1
2
【详解】 当x?0时，(1?ax)4?1~?
14
2
ax，xsinx~x.
22
1
于是，根据题设有 lim
(1?ax)xsinx
2
4
??lim
x?0
1
x?0
42x
-
-
-
-
-
-
-
-
本文更新与2020-11-22 00:23，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/453851.html