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2013 年考研数三真题及答案解析
一、选择题
1.当
x
1
—8 小题.每小题
4 分,共 32 分.、
)
0
时,用
o(x)
表示比
x
高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(
( A)
x o
(
x
2
)
o(x
3
)
( C)
o( x
2
)
o( x
2
)
( B)
o( x) o(x
2
) o( x
3
)
( D)
o(x) o( x
2
) o( x
2
)
o( x
2
)
【详解】由高阶无穷小的定义可知(
如当
x 0
时
f (x)
A)( B)( C)都是正确的,对于(
D)可找出反例,例
x
2
x
3
o( x), g( x)
x
3
o(x
2
)
,但
f (x)
g(x)
o( x)
而不是
o( x
2
)
故应该选(
D).
x
2.函数
f ( x)
x
1
的可去间断点的个数为(
)
(D)3
x( x
1) ln x
(A)0
( B)1
x
( C)2
【详解】当
x ln x
0
时,
x
x
1
e
xln x
1 ~ x ln x
,
lim
f ( x)
lim
x 0
x
1
x
x 0
x( x 1) ln x
lim
x ln x
1
,所以
x
0
是函数
f ( x)
的可去间断点.
x 0
x ln x
lim
f ( x)
lim
x 1
x
1
x
x 1
x( x 1) ln x
lim
x ln x
x 0
2 x ln x
1
,所以
x
1
是函数
f ( x)
的可去间断点.
2
lim
f ( x)
x 1
lim
x
x
1
lim
xln x
(x 1) ln x
,所以所以
x
1
不是函数
f (x)
的
1
x(x 1) ln x
x 1
可去间断点.
故应该选( C).
3.设
D
k
是圆域
D
( x, y) | x
2
y
2
1
的第
k
象限的部分, 记
I
k
( y
x)dxdy
,则
D
k
(
)
( A)
I
1
0
B
I
2
0
( )
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
C
3
( )
I
D
I
4
0
0
( )
-----
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k 2
1
2
1
I
k
( y
x)dxdy
( k 1)
k
d
0
(sincos )r
dr
k
2
k 1
2
(sin
sin ) d
D
k
2
3
1
3
sin
cos
|
k
2
1
2
所以
I
1
I
3
0,I
2
2
, I
4
3
2
3
,应该选( B).
4.设
a
n
为正项数列,则下列选择项正确的是(
)
(A)若
a
n
a
n 1
,则
n 1
( 1)
n 1
a
n
收敛;
(B)若
( 1)
n 1
a
n
收敛,则
a
n
a
n 1
;
n 1
(C)若
a
n
收敛.则存在常数
P 1
,使
lim n
p
a
n
存在;
n 1
n
(D)若存在常数
P 1
,使
lim n
p
a
n
存在,则
a
n
收敛.
n 1
n
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(
D)正确,故应选(D).
此小题的( A)( B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(
条件
lim a
n
n
A),但少一
0
,显然错误. 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,
不是必要条件,
选项( B)也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为
n
阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
( A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价.
( B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.
( C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.
( D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价.
【详解】 把矩阵 A,C 列分块如下:
A
则可知
1 2
,,
,
n
, C
1
,
2
, ,
n
,由于AB=C,
i
b
i1 1
b
i 2 2
b
in n
(i
1,2,
, n)
,得到矩阵
C的列向量组可用矩阵 A 的
B 可逆,即
A CB
1
,同理可知矩阵
A 的列向量组可用矩阵
B).
列向量组线性表示.同时由于
C的列向量组线性表示,所以矩阵
C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.应该选(
1
a
1
6.矩阵
a
b
a
2
0
与矩阵
0
0
0
b
0
0
0
相似的充分必要条件是
1
a
1
( )
a
A
0,b
2
( )
B
,
为任意常数
a
0
b
-----
---
( C)
a 2,b
0
(D)
a 2
,
b
为任意常数
2
0
【详解】注意矩阵
0
b
0
0
是对角矩阵,所以矩阵
0
1
a
1
A=
a
b
2
0
0
b
0
0
0
0
相
0
a
与矩阵
0
0
1
a
1
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
1
E A
a
1
a
b
a
1
a
1
(
2
(b 2)
2b 2a
2
)
从而可知
2b 2a
2
7 . 设
X
1
,X
2
,X
3
2b
,即
a
0
,
b
为任意常数,故选择(
B).
是随机变量,且
X
1
~ N (0,1), X
2
~ N(0,2
2
), X
3
~ N(5,3
2
)
,
P
i
P 2 X
i
(A)
P
1
(C)
P
3
2
,则
P
2
P
3
P
2
P
1
2
(B)
P
2
(D)
P
1
P
1
P
3
P
3
P
2
【详解】若
X ~ N(
,
)
,则
P
X
~ N(0,1)
2
P
1
2 (2) 1
,
P
2
2
X
2
P
1
X
2
2
1
2 (1) 1
,
P
3
P2X
3
2
P
2
5
3
X
3
5
2 5
3
( 1)
7
3
7
3
1)
3
,
P
3
P
2
1
7
3
3(1)2
3 (1) 0
.
故选择( A).
X
8.设随机变量 X 和 Y 相互独立,且
0
1/2
Y
P
则
PXY2
(A)
P
X 和 Y 的概率分布分别为
1
1/4
-1
1/3
0
1/3
2
3P
1/8
1
1/3
1/8
(
)
(B)
1
1
(C)
1
(D)
1
2
12
8
6
-----
---
【
详
解
3,Y1
】
PXY2PX1,Y
1PX2,Y0PX
1
12
1
24
1
1
24
6
,故选择( C).
二、填空题(本题共
6 小题,每小题 4
分,满分 24
分 .
把
答案填在题中横线上)
9.设曲线
y
f (x)
和
y
x
2
x
在点
1,0
处有切线,则
lim nf
n
n
.
n
2
【详解】由条件可知
f 1
0, f ' (1)
1
.所以
f
1
lim
2
n
2
f (1)
n 2
lim nf
n
n
n
2
2
2 f '(1)
2
n
n
2
y
x
2n
10.设函数
z
z x, y
是由方程
z
xy
确定,则
z
x
|
(1,2 )
.
【详解】
设
F x, y, z
z
(
y
)
x
xy
,
则
F
x
x, y, z
( z y)
x
l z y)
y, F
z
(x,ny, z) x(z y)
x 1
,
(
当
x 1, y
2
时,
z
1
0
,所以
z
|
(1, 2 )
2
2 ln 2
.
x
11.
ln x
(1
x)
2
d x
.
【详解】
1
ln x
2
dx
(1 x)
1
ln xd
1
y
4
1
1 x
ln x
|
1
1
x
1
1
x(1 x)
dx
1
ln
x
|
1
ln 2
x
1
12.微分方程
y
y
0
的通解为.
r
2
【详解】方程的特征方程为
x
1
0
,两个特征根分别为
1
2
,所以方程通
4
解为
y (C
1
C
2
x) e
2
,其中
C
1
,C
2
为任意常数.
13.设
A
a
ij
是三阶非零矩阵,
A
为其行列式,
A
ij
为元素
a
ij
的代数余子式,且满足
Aa
ijij
0(i , j
1,2,3)
,则
A
=.
-----
---
【详解】由条件
而可知
T
A
ij
a
ij
0(i, j
1,2,3)
可知
A
A*
T
0
,其中
A *
为
A
的伴随矩阵,从
3 1
A* A
*
A
A
,所以
A
可能为
n,r (A)
n
1
或
0.
但由结论
r ( A
*
)
1, r ( A)
n
0, r ( A)
n
1
可知,
A
A *
T
1
0
可知
r ( A)
r ( A*)
,
伴随矩阵的秩只
能为 3,所以
A
1.
2X
14.设随机变量
X 服从标准正分布
X ~ N ( 0,1)
,则
E Xe
.
【详解】
2
x
(x 2)
2
2
2
E Xe
2 X
(x 2)
2
xe
2x
1
e
dx
2
t
2
2
x
e
2
e
2
dt
t
2
2
dx
e
2
( x 2
2)e dx
2
e
2
2
te
2
dt 2
e
2
E( X ) 2e
2
2e
2
.
所以为
2e
2
.
三、解答题
15.(本题满分 10 分)
当
x
0
时,
1
cosx cos2x cos3x
与
ax
n
是等价无穷小,求常数
0
时常见函数的马克劳林展开式.
当
a, n
.
2
o( x
【分析】主要是考查
x
【
详
解
】
x 0
时
,
c x o 1 s x
1
2
)
,
cos2 x
1
1
1
1
2
2
2
(2x)
2
o(x
2
)
1
2 x
2
o(x
2
)
,
cos3x
所
(3x)
2
o( x
2
)
1
9
x
2
o( x
2
)
,
2
以
1
cosx cos2xcos3x
,
1 (1
1
x
2
o( x
2
))(1
2
2x
2
o(x
2
))(1
9
x
2
2
o( x
2
))
7x
2
o( x
2
)
由于
1
cosx cos2 x cos3x
与
ax
n
是等价无穷小,所以
a
10 分)
7, n 2
.
16.(本题满分
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