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有趣的数学教案2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 00:24
tags:研究生入学考试, 高等教育

-

2020年11月22日发(作者:孙竹生)
---












2013 年考研数三真题及答案解析

一、选择题

1.当
x

1

—8 小题.每小题


4 分,共 32 分.、




0

时,用
o(x)
表示比
x
高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(


( A)
x o
(

x

2

)

o(x
3
)

( C)
o( x
2

)

o( x
2
)

( B)
o( x) o(x

2

) o( x
3

)


( D)
o(x) o( x
2

) o( x

2

)




o( x
2
)


【详解】由高阶无穷小的定义可知(

如当
x 0


f (x)

A)( B)( C)都是正确的,对于(

D)可找出反例,例

x
2



x
3

o( x), g( x)









x
3




o(x
2
)
,但
f (x)



g(x)



o( x)
而不是





o( x
2
)
故应该选(

D).



x
2.函数
f ( x)




x


1

的可去间断点的个数为(








(D)3



x( x

1) ln x











(A)0

( B)1

x
( C)2

【详解】当
x ln x



0
时,
x

x
1



e
xln x


1 ~ x ln x





lim

f ( x)

lim

x 0
x


1

x


x 0

x( x 1) ln x


lim

x ln x

1
,所以

x

0
是函数

f ( x)

的可去间断点.

x 0
x ln x





lim

f ( x)

lim

x 1
x


1

x


x 1

x( x 1) ln x


lim

x ln x

x 0
2 x ln x


1


,所以
x





1
是函数

f ( x)

的可去间断点.





2


lim

f ( x)

x 1
lim

x
x


1



lim



xln x

(x 1) ln x









,所以所以
x







1
不是函数

f (x)





1

x(x 1) ln x









x 1
可去间断点.



故应该选( C).


3.设
D
k

是圆域
D








( x, y) | x
2





y
2

1
的第

k

象限的部分, 记

I

k











( y

x)dxdy
,则

D
k











( A)

I
1


0



B
I

2

0


( )


【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

C

3
( )
I


D
I

4

0




0

( )

-----
---












k 2

1



2
1

I
k



( y




x)dxdy


( k 1)
k

d


0

(sincos )r




dr

k

2
k 1
2

(sin


sin ) d

D
k



2






3


1

3





sin



cos

|
k

2

1








2
所以
I
1




I
3



0,I
2

2

, I
4


3


2

3


,应该选( B).



4.设
a
n

为正项数列,则下列选择项正确的是(




(A)若
a
n




a
n 1

,则


n 1
( 1)
n 1
a
n

收敛;

(B)若




( 1)
n 1
a
n

收敛,则
a
n

a
n 1



n 1

(C)若





a
n

收敛.则存在常数

P 1
,使
lim n
p
a
n

存在;

n 1
n
(D)若存在常数
P 1
,使
lim n

p

a
n
存在,则


a
n

收敛.

n 1


n
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(

D)正确,故应选(D).


此小题的( A)( B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(

条件
lim a
n




n
A),但少一

0
,显然错误. 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,


不是必要条件,

选项( B)也不正确,反例自己去构造.

5.设A,B,C均为

n
阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则

( A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价.
( B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.
( C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.
( D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价.




【详解】 把矩阵 A,C 列分块如下:
A

则可知

1 2
,,
,
n
, C
1
,

2
, ,
n

,由于AB=C,


i
b
i1 1
b
i 2 2

b
in n
(i

1,2,

, n)
,得到矩阵

C的列向量组可用矩阵 A 的

B 可逆,即

A CB
1

,同理可知矩阵

A 的列向量组可用矩阵

B).

列向量组线性表示.同时由于


C的列向量组线性表示,所以矩阵


C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.应该选(

1

a

1

6.矩阵
a

b

a


2

0

与矩阵

0

0




0

b

0

0



0

相似的充分必要条件是


1

a

1

( )
a


A



0,b


2



( )

B



为任意常数

a

0

b


-----
---





( C)
a 2,b

0


(D)
a 2


b
为任意常数


2

0

【详解】注意矩阵
0

b

0

0

是对角矩阵,所以矩阵

0

1

a

1

A=
a

b

2

0

0

b

0

0

0

0



0

a
与矩阵

0

0



1

a

1

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.





1


E A

a


1




a

b

a




1

a

1




(
2


(b 2)


2b 2a
2
)


从而可知
2b 2a
2

7 . 设
X
1
,X
2
,X
3

2b
,即

a

0

b
为任意常数,故选择(

B).


是随机变量,且
X
1

~ N (0,1), X
2

~ N(0,2
2
), X
3

~ N(5,3
2
)


P
i


P 2 X
i

(A)
P
1

(C)
P
3

2
,则

P
2

P
3


P
2

P
1


2


(B)
P
2

(D)
P
1

P
1

P
3

P
3

P
2



【详解】若
X ~ N(

,

)
,则

P





X

~ N(0,1)

2





P
1

2 (2) 1

P
2


2


X
2


P

1

X
2

2




1


2 (1) 1



P
3

P2X
3



2



P


2

5

3

X
3

5


2 5

3

( 1)

7

3

























7

3

1)


3




P
3
P
2
1


7

3


3(1)2



3 (1) 0






故选择( A).

X




8.设随机变量 X 和 Y 相互独立,且

0

1/2

Y

P


PXY2

(A)
P

X 和 Y 的概率分布分别为

1

1/4

-1

1/3

0

1/3



2

3P

1/8

1

1/3

1/8












(B)
1

1

(C)
1

(D)


1

2

12

8

6


-----
---











3,Y1




PXY2PX1,Y



1PX2,Y0PX

1

12


1

24


1

1

24

6


,故选择( C).

二、填空题(本题共



6 小题,每小题 4

分,满分 24

分 .




答案填在题中横线上)



9.设曲线
y



f (x)

y



x
2

x
在点

1,0

处有切线,则

lim nf



n

n
















n
2

【详解】由条件可知
f 1



0, f ' (1)



1
.所以






f

1

lim



2

n

2


f (1)

n 2








lim nf

n




n


n


2



2

2 f '(1)



2



n





n

2

y
x

2n



10.设函数
z



z x, y
是由方程


z




xy
确定,则


z
x

|
(1,2 )




【详解】






F x, y, z

z

(


y

)

x
xy








F
x
x, y, z

( z y)
x
l z y)

y, F
z
(x,ny, z) x(z y)
x 1


(


x 1, y

2
时,

z


1

0
,所以

z
|
(1, 2 )

2

2 ln 2







x


11.



ln x

(1

x)
2
d x









【详解】

1

ln x


2
dx

(1 x)



1


ln xd

1
y

4




1

1 x



ln x
|
1

1

x


1

1

x(1 x)

dx












1
ln

x

|
1
ln 2

x

1


12.微分方程
y


y

0
的通解为.


r






2

【详解】方程的特征方程为








x

1



0

,两个特征根分别为


1

2

,所以方程通



4












解为
y (C
1
C
2
x) e
2

,其中
C
1
,C
2

为任意常数.

13.设
A

a

ij
是三阶非零矩阵,

A
为其行列式,


A
ij

为元素
a
ij

的代数余子式,且满足


Aa
ijij
0(i , j

1,2,3)
,则

A

=.

-----
---





【详解】由条件

而可知


T
A
ij
a
ij
0(i, j


1,2,3)
可知
A


A*
T

0
,其中

A *



A

的伴随矩阵,从








3 1
A* A
*




A


A
,所以
A
可能为

n,r (A)

n


1


0.



但由结论
r ( A
*
)


1, r ( A)

n

0, r ( A)

n

1

可知,
A

A *
T


1



0

可知
r ( A)


r ( A*)
,

伴随矩阵的秩只

能为 3,所以
A

1.


2X
14.设随机变量

X 服从标准正分布

X ~ N ( 0,1)
,则
E Xe




【详解】





2


x








(x 2)
2
2





2



E Xe
2 X



(x 2)
2
xe

2x

1

e

dx

2



t
2
2
x


e

2


e
2
dt


t


2

2

dx



e


2



( x 2







2)e dx

2
e
2

2





te
2
dt 2



e
2
E( X ) 2e
2

2e
2




所以为
2e
2



三、解答题


15.(本题满分 10 分)



x

0
时,
1

cosx cos2x cos3x


ax

n

是等价无穷小,求常数

0
时常见函数的马克劳林展开式.















a, n






2
o( x



【分析】主要是考查
x










x 0








c x o 1 s x












1


2
)





cos2 x


1

1

1
1
2

2

2


















(2x)
2

o(x
2
)

1

2 x
2

o(x
2
)







cos3x







(3x)
2





o( x
2
)

1

9
x

2
o( x
2
)



2





1

cosx cos2xcos3x













1 (1

1

x
2

o( x
2
))(1

2





2x
2

o(x
2
))(1

9

x
2

2



o( x
2
))


7x
2









o( x
2
)

由于
1

cosx cos2 x cos3x


ax

n

是等价无穷小,所以

a

10 分)


7, n 2




16.(本题满分

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