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2013 年考研数三真题及
答案解析
—8 小题．每小题4 分，共
一、选择题1
32 、
分．
x0
o(x) x
１．当高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
（时，用表示比）
2233
)(
xx o
（ A）
)o( x) o(x) o( x )o(x
（ B）
22222
)o(x) o( xo( x)) o( x )o( x o( x )
D） （ C）
（
A）（ B）（ C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例【详解】
由高阶无穷小的定义可知（
2323
x 0
f (x)o(x ) xxx
D故应该选（）．
o( x) f (x)g(x)o( x), g( x)
，但如当而不是时
2
o( x )
x
x1f ( x)
2．函数）的可去间断点的个数为
（
x( x1) ln x
（A）0（（D）3 B）1（ C）2
x
e
1 ~ x ln x x x ln x0 1
，【详解】当时，
xln x
x
x1x ln x
x0
f ( x)1 limlimf ( x)lim
的可
去间断点．，所以是函数
x 0x 0
x ln x x( x 1) ln
x
x 0
x
1
x ln xx1 x
1
f
( x)limlimlimf ( x)
，所以
的可去间断点．是函数
x 0x
1
2 x ln x x( x 1) ln x2
x 1
x
x1xln x
x1
f (x)limlimlimf ( x)
的，所以所以不是函数
1
x(x 1) ln x(x 1) ln x
x x 1 1x
可去间断点．
故应该选（ C）．
22
kIx)dxdy ( y
D D 1 y
( x, y) | x
记的第是圆域象限的部分，３．设 ，则
kk
D
k
（）
I II000
D B ） A（C
412
3
I0
）
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
（）） （（
1
k
k 2 21 2
I dr(sincos )r( yx)dxdyd(sinsin
k
k 1 ( k 1)
0
3
2
D 2
k
k
1
2
cossin
|
1
3
2
II 0,I, I 22
所以，应该选（ B）．
1432
33
a
４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）
n
k
) d
n 1
a
）若（A
a ( 1) a
收敛；，则
n
nn 1
n 1
n 1
a
n 1
p
aa ( 1)
；收敛，则）若B（
n 1nn
aP 1 lim n
a
存在；，使收敛．则存在常数）若C（
nn
alim nP 1
a
收敛． （D）若存在常数 存在，则，使
n n 1
p
nn
n n 1
D）正确，故应选（Ｄ）．【详解】由正项级数的比较审
敛法，可知选项（
此小题的（ A）（ B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹
条件，对于选项（A），但少一
lim a0
条件，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛
的充分条件，不是必要条件，
n
n
选项（ B）也不正确，反例自己去构造．
n
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为
阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（ A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．
A 的列向量组等价．）矩阵 C 的列向量组与矩阵（ B
的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ C）矩阵 C
B 的列向量组等价．（ D）矩阵 C 的列向量组与矩阵
,,
, , ,, , CA
，由于ＡＢ＝Ｃ， ，C 列分块如下：
【详解】 把矩阵 A
1 2
n21 n
则可知
b bb (i, n) 1,2,
，得到矩阵C的列向
量组可用矩阵 A 的
i 2 2ii1 1
in n
1
A CB
列向量组线性表示．同时由于，同理可知矩阵B 可逆，
即
A 的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列
向量组等价．应该选（
）．B
1a1200
a0b0ba
6．矩阵相似的充分必要条件是与矩阵
1a1000
a0,b2
）（ （ ），为任意常数
a0b
BA
a 2 b
a 2,b0
为任意常数 ，（D） C）（
2001a1200
a 00bab00b
与矩阵【详解】注意矩阵A= 相是对角
矩阵，所以矩阵
001a01000
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
2a (
1a1
22
)2b
(b 2)bE Aaa
1a1
2
a0 b
2b 2a 2b
从而可知为任意常数，故选择（，即，
B）．
22
) ~ N(5,3,X,XXX), X~ N (0,1), X ~ N(0,2
，是随机变量，
且7 ． 设
131232
PP 2 X 2
，则
ii
PPPPPP
） （B（A）
213312
PPPPPP
） （D
（C）
132312
若
X
2
)
，则
~ N(0,1)
X ~ N(,
【详解】
X
2
P2 (2) 1X P2 (1) 11P22P
，，1
221
2
X 52 55772
3
P2XPP2
1)( 1)
33
33333
，
7
1PP
3 (1) 03(1)2
．
23
3
故选择
（ A）．
8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的
概率分布分别为
3P20X1
1/81/8P1/41/2
10-1Y
1/31/31/3P
PXY2
则（）
111
1
A（）（CB （） ）
）D（
21286
【详解】
1111
1PX2,Y0PXPXY2PX1,Y
3,Y1
2424612
，故选择（ C）．
6 小题，每小题 4分，满分 24分 .
把二、填空题（本题共
答案填在题中横线上）
2
x
x yyf (x) 1,0lim nfn
在点 和9．设曲线．处有切线，则
n
2n
f 110, f ' (1)
．所以【详解】由条件可知
2
1f
f (1)
nn22 f '(1)lim2lim nf
2n 2n2
nn
n22n
z
x
|y
xy z x, y zz
确定，则10．设函数 是由方程．
(1,2 )
x
【详解】
x(z y)
zyxy
F x, y, z
x
设
)(
，则
xx 1
y, F (x,ny, z)
(F x, y, z( z y) l z y)
，
zx
z
|2 ln 2 2
0
z
．
2
x 1, y
(1, 2 )
，所以时，当
x
ln x
d x
．11．
2
x)(1
1
【详解】
ln x
|
| ln 2 dxx1ln x1ln xddxln
1
12
11 1
11(1 x)1 xxx(1 x)x
1
y
y0 y
的通解为． 12．微分方程
4
1
1
0
，两个特征根分别为【详解】方程的特
r
征方程为
，所以方程通
21
4
2
x
2
,C x) e C y (C C
，其中解为为任意
常数．
2211
a
A aA A
为元素为其行列式， ．设13的代数余子式，
且满足是三阶非零矩阵，
ij
ijij
Aa
A
1,2,3) 0(i , j
=，则．
ijij
Aa
T
A *
A*
0 A1,2,3) 0(i, j
的伴随矩阵，从为，其中A可知【详
解】由条件
ij ij
而可知
T 3 1
*
A* AA A 1 A
0．，所以或可能为
nn,r (A)
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