求平均速度：常用导数公式

2020年11月22日发(作者：贺建山)

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程
1. y=c(c 为常数
)
y'=0
2. y=x
A
n y'=nx
A
(n-1)
3. y=a
A
x y'=aAxlna
y=eAx y'=eAx
4. y=logax y'=logaex
y=lnx y'=1x
5. y=sinx y'=cosx
6. y=cosx y'=-sinx
7. y=tanx y'=1cosA2x
8. y=cotx y'=-1sinA2x
9. y=arcsinx y'=1 V -xA2
10. y=arccosx y'=-1 V-x入2
11. y=arctanx y'=11+xA2
12. y=arccotx y'=-11+xA2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1. y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中 g(x)看作整个变量，而 g'(x)中把 x 看作
变量』
2. y=uv,y'=u'v-uv'vA2
3. y=f(x)的反函数是 x=g(y)，则有 y'=1x'
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行
于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx“0


y x=0
o

2. 这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广
到n为任意实数的一般情况。 在得到y=e
A
x y'=e
A
x和y=lnx y'=1x这两个结
果后能用复合函数的求导给予证明。
3. y=aAx,
y=aA(x+ x)-aAx=aAx(aA x-1)
y x=aAx(aA x-1) x
如果直接令 x“0,是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数
x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道： x=loga(1+ $$)
所以(aA x-1) x= 6 loga(1+ p)oga(1+ p )A1p
显然，当 x^O时，6也是趋向于
lim 6“00ga(1+ 。
0的。而lim 6“0(1+ 6尸1 =新以
6= aA
把这个结果代入 lim x“0 yx=lim x”0aAx(aAx-1) x后得到 lim
x“0 y x=aAxlna。
可以知道，当a=e时有y=eAx y'=eAx。
4. y=logax
y=loga(x+ x)-logax=loga(x+ x)x=loga[(1 + xx)Ax]x
y x=loga[(1+xx)A(x x)]x
因为当 x”0时， xx趋向于0而x x趋向于所以lim x”0loga(1 +
xx)A(x x)= logae，所以有 lim x“0 y x= logaex
0

可以知道，当 a=e时有y=lnx y'=1x
0

这时可以进行 y=x
A
n y'=nx
A
(n-1)的推导了
y=eA|n(xAn)=eAnlnx,
因为y=xAn,所以


所以 y'=eAnlnx?(nlnx)'=x、n?nx=nxA(n -1)。
5. y=sinx
y=sin(x+ x)-sinx=2cos(x+ x2)sin( x2)
y x=2cos(x& x2)sin(x2) x=cos(x+x2)sin(x2)( x2)
所以 lim x“0 y x=lim x”0cos(x+ x2)?lim x”0sin( x2)(
x2)=cosx
6. 类似地，可以导出 y=cosx y'=-sinx。
7. y=tanx=sinxcosx
y'=[(sinx)'cosx- sinx(cos)']cosA2x=(cosA2x+sinA2x)cosA2x=1cosA2x
8. y=cotx=cosxsinx
y'=[(cosx)'sinx- cosx(sinx)']sinA2x=-1sinA2x
9. y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1x'=1cosy=1 V-sinA2y=1 V-x入2
10. y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1x'=-1siny=-1 V-cosA2y=-1 v
7
^2
11. y=arctanx
x=tany
x'=1cos
A
2y


y'=1x'=cos
A
2y=1sec
A
2y=11+tan
A
2x=1 1+xA2
12. y=arccotx
x=coty
x'=-1sinA2y
y'=1x'=-sinA2y=-1cscA2y=-11+cotA2y=-11+xA2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他
较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4. y=u 土 v,y'=u'土 v'
5. y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。