-
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好 复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）
2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题
5 分，共 20 分）
(x y) ln(1
D
1．计算
y
)
x
y
.
dxdy
____________
，其中区域
D
由直线
x
y 1
与两
1 x
坐标轴所围成三角形区域
x y u, x v
解 : 令
，则
x v, y u v
，
d d det
0
1
1
D
( x y) ln(1
1 x y
y
)
x
1
u ln u
u ln v
D
dxdy
1
1 u
u
dudv
(
u ln u
dv
u
u
ln vdv)du
0
u
1 u 1
0 0
2
u ln u
u(u ln u u)
1
du
0
1 u
1 u
1
u
2
1 u
0
du
（ * ）
令
t 1 u
，则
u
1
t
2
du
2tdt
，
u
2
1
2t
2
t
4
，
u(1
u)
t
2
(1 t)(1 t)
，
(*)
2
( 1
1
0
2
2
t
t
4
)d
t
1
2 (1 2t
0
1
2
t ) dt
2 t
4
2
t
3
1
t
5
3 5
0
2．设
f ( x)
是连续函数，且满足
f (x)
3x
2
2
2
,
则
f (x)
f ( x)dx
0
16
15
____________.
解:
令
A
2
0
2
0
f (x)dx
，则
f ( x)
3x
2
A 2
，
A
( 3
x
2
A
2)d
x
8
2(
A
2)4 2
A
,
解得
A
4
。因此
f (x) 3x
2
3
y
2
10
。
3
z
0
的切平面方程是
__________.
3．曲面
z
x
2
2
平行平面
2x 2 y
2
解 : 因 平 面
2x
2 y z
0
的 法 向 量 为
(2,2,
1)
， 而 曲 面
z
x
2
y
2
2
在
2
( z
x
(x
0
, y
0
), z
y
( x
0
, y
0
), 1)
x
，
z
y
( x
0
, y
0
)
处 的 法 向 量 为 ， 故
( z
x
( x
0
, y
0
), z
y
( x
0
, y
0
),
1)
与
( 2,2,
1)
平 行 ， 因 此 ， 由
z
x
2 z
x
( x
0
, y
0
) x
0
,2 z
y
(x
0
, y
0
)
即
x
0
2y
知
2y
0
，
2, y
0
1
， 又
z( x
0
, y
0
)
z(2,1) 5
， 于 是 曲 面
2x
2y
z
0
在
( x
0
, y
0
, z( x
0
, y
0
))
处的切平面方程是
2( x 2) 2( y 1) ( z 5)
z
x
2
y
2
2
平行平面
2
2x 2 y z 0
的切平面方程是
2x 2 y z 1 0
。
4．设函数
y
y(x)
由方程
xe
f ( y)
e
y
ln 29
确定，其中
f
具有二阶导数，且
d
2
y
dx
2
________________.
解 : 方程
xe
f ( y )
e
y
ln 29
的两边对
x
求导，得
e
f ( y)
xf ( y) y e
f ( y )
e
y
y ln 29
因
e
y
ln 29 xe
f ( y)
，故
1 f ( y) y
y
，即
y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
d
2
y
1
f ( y) y
dx
2
y
x
2
(1
f ( y)) x[1
f ( y)]
2
f ( y)
1
f ( y) [1
f ( y)]
2
x
2
[1 f ( y)]
3
x
2
(1
f ( y))
x
2
[1
f
( y)]
3
e
e
二、（ 5 分） 求极限
lim (
e
x
2 x
e
nx
)
x
，其中
n
是给定的正整数
.
x 0
n
解 :因
e e
lim (
e
x
e
2 x
e
nx
)
x
lim (1
e
x
e
2 x
e
nx
n
x
x 0
x 0
)
n
n
故
A
lim
e
x
e
2 x
e
nx
n e
x 0
n
x
e lim
e
x
e
2 x
e
nx
n
x 0
e
nx
e lim
x
2e
2 x
ne
nx
e
1 2 n n 1
e
x 0
n
n 2
因此
e
x 2 x nx e
n 1
lim (
e
e
e
)
x
e
A
e
2
x 0
n
0
，即曲面
f
1
，则
三、（ 15 分）设函数
f ( x)
连续，
g( x)
1
0
f ( xt)dt
，且
lim
f (x)
A
，
A
为常数， 求
g (x)
x 0
x
并讨论
g ( x)
在
x
解 : 由
lim
0
处的连续性 .
f (x)
A
和函数
f ( x)
连续知，
f (0)
lim f ( x) lim xlim f ( x) 0
x 0
x 0
x 0 x 0
因
x
x
g (x)
1
1
f (xt )dt
，故
g(0)
f
(0)dt f (0)
0
，
0
0
因此，当
x
0
时，
g( x)
1
x
f (u)du
，故
x
0
x
lim g( x)
lim
f (u)du
0
lim
f ( x)
f (0) 0
x 0
x 0
x
x 0
1
当
x 0
时，
1
x
f (x)
g ( x)
2
f (u)du
，
0
x
x
1
x
x
g (0)
lim
g( x)
g (0)
lim
x
f (t) dt
f (t)dt
0
lim
0
lim
f ( x) A
lim g ( x) lim [
x 0
x x
x 0
x
2
x 0
2
1
x 0
f ( x)
]
lim f ( x)
lim
1
f (u)du
2x
A
A
x
f (u)du
x
x 0
x 0
x
2
0
x
x 0
x
x 0
x
2
0
2
这表明
g ( x)
在
x
0
处连续 .
四、（ 15 分）已知平面区域
D
{( x, y) | 0 x
, 0 y
}
，
L
为
D
的正向边界，
（ 1）
xe
sin y
dy ye
sin x
dx xe
sin y
dy
ye
sin x
dx
；
L
L
（ 2）
xe
sin y
dy ye
sin y
dx
5
2
.
L
2
证 :因被积函数的偏导数连续在
D
上连续，故由格林公式知
（ 1）
sin y
sin x
sin y
xe dy ye dx
x y
( xe )
ye
sin x
(
) d d
L
D
x
y
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
D
xe
sin y
dy ye
sin x
dx
L
( xe
sin y
)
(
ye
sin x
) dxdy
D
x
y
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
D
而
D
关于
x
和
y
是对称的，即知
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
sin y
D
(e
e
sin x
)dxdy
D
A
2
试证：
因此
xe
sin y
dy
ye
sin x
dx
L
xe
sin y
dy ye
sin x
dx
L
（2）因
e
t
e
t
2(1
t
2
2!
t
4
4!
) 2(1
t
2
)
故
e
sin x
e
sin x
2
sin
2
x
2 1 cos 2x
2
5 cos 2x
2
由
xe
sin y
dy
L
ye
sin y
dx
D
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
D
( e
sin y
e
sin x
)dxdy
知
xe
sin y
dy
L
ye
sin y
dx
1
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
1
(e
sin y
e
sin x
)dxdy
2
D
2
D
e
sin y
)dxdy
1
2
D
(e
sin y
1
(e
sin x
2
D
5
0
e
sin x
)dxdy
2
D
( e
sin x
e
sin x
)dxdy
(e
sin x
0
e
sin x
)dx
cos2 x
dx
5
2
2
2
即
L
xe
sin y
dy
ye
sin y
dx
5
2
x
五、（ 10
分） 已知
y
1
xe
e
2x
，
y
2
xe
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
x
e
x
，
y
3
xe
x
e
2 x
e
x
是某二阶常系数
解 设
y
1
xe
x
e
2x
，
y
2
xe
x
e
x
，
y
3
xe
x
e
2x
e
x
是二阶常系数线性非齐
次微分方程
y by cy f (x)
的三个解，则
y
2
x
e
都是二阶常系数线性齐次微分方程
y
1
e
x
e
2 x
和
y
3
y
1
y
by
by
cy
0
的解，因此
y
征多项式是
2
cy
0
的特征多项式是
(
0
2)(
1)
，而
y
0
by
cy 0
的特
b c
因此二阶常系数线性齐次微分方程为
y
xe
x
y
2y
4e
2 x
0
，由
y
1
y
1
2y
1
f ( x)
和
y
1
e
x
xe
x
知，
f ( x) y
1
2e
2x
，
y
1
2e
x
y
1
2 y
1
xe
x
2e
x
4e
2 x
( xe
x
e
x
2e
2x
) 2( xe
x
e
2 x
)
(1
2x) e
x
y
y 2y
二阶常系数线性非齐次微分方程为
e
x
2xe
x
六、（ 10 分） 设抛物线
y
ax
2
bx
2 ln c
过原点
.当
0 x 1
时
,
y
0
,又已知该抛物线
与
x
轴及直线
x 1
所围图形的面积为
1
.试确定
a, b, c
,使此图形绕
x
轴旋转一周而成的旋
3
转体的体积最小 .
解 因抛物线
y
ax
2
bx
2 ln c
过原点，故
c 1
，于是
1
(ax
1
2
bx)dt
a
x
1
3
b
x
2
a
b
3
0
3 2
0
3 2
即
b
2
(1 a)
3
而此图形绕
x
轴旋转一周而成的旋转体的体积
V (a)
1
(ax
2
bx )
2
dt
(ax
1
2
2
(1
a) x)
2
dt
0
0
3
4
1 3
a
2 1 4
x
dt
a(1
a) x
dt
4
(1
a)
2 1
x
2
dt
0
0
0
3
9
1
a
2
1
a(1
a) 4
(1
a)
2
5
3
27
即
V (a) 1
a
2
1
a(1 a)
4
(1 a)
2
5
3 27
令
V (a) 2 a
1
(1 2a)
8
(1 a) 0
，
5
3 27
得
54a 45 90a 40 40a
0
即
4a 5
0
因此
a 5
,
b 3
,
c 1
.
4
2
七、（ 15
分） 已知
u
n
(x)
满足
u
n
(x) u
n
( x) x
n 1
e
x
(n 1,2, )
,
且
u
n
(1)
级数
u
n
( x)
之和
.
n 1
解
u
n
( x) u
n
( x)
x
n 1
e
x
，
即
e
, 求函数项
n
y y
x
n 1
e
x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
y e
x
(C
x
n 1
dx)
即
x
x
n
y e (C
)
因此
u
n
( x) e
x
(C
x
n
)
由
e
n
u
n
(1) e(C
1
)
知，
C
0
，
n
n
于是
x
n
e
x
u
n
( x)
n
下面求级数的和：
令
S(x)
u
x
n
e
x
n
( x)
n 1
n 1
n
则
S (x) ( x
n 1
e
x
x
n
e
x
) S(x)
n 1 x
x
x
e S( x)
e
n 1
n
n 1
1 x
即
S (x) S(x)
e
x
1 x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x)
e
x
(C
1 dx)
1 x
令
x 0
，得
0
S(0)
C
，因此级数
u
n
(x)
的和
n 1
S(x)
e
x
ln(1
x)
八、（ 10 分）求
x 1
时
,
与
x
n
2
等价的无穷大量 .
n 0
解
令
f (t )
x
t
2
，则因当
0
x
1
，
t (0, )
时，
f (t )
2tx
t
2
ln x 0
，故
2
1
f (t)
x
t
2
e
t
ln
x
在
(0,
)
上严格单调减。因此
f (t)d t
n 1 n
0 n
f (t)d t
f (n) f (0)
n 1
f (t)d t 1
0
f (t )dt
n 0 n 0
n 1
即
0
f (t)d t
n 0
f (n) 1
0
f (t )dt
，
又
f (n)
n 0
x
n
2
n 0
，
ln
1
2
2
lim x lim
x
x 1
x
1
1
1
x
1
t
2
1
dt
f (t )dt
0
x
0
e
0
t ln
1
x
dt
1
ln
1
e
0
t
dt
1
ln
1
2
x
，
x
2 1 x
所以，当
x
1
时,
与
x
n
2
等价的无穷大量是
1
。
n 0
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞 赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题 。 ）
一、（ 25 分，每小题 5 分）
（1）设
x
n
(1 a)(1 a
2
)L (1
a
2
),
其中
| a | 1,
求
lim x
n
.
n
n
（2）求
lim e
x
x
1
1
x
x
2
。
（3）设
s
0
，求
I
0
e
sx
x
n
dx( n
1,2,L
)
。
（4）设函数
f (t )
有二阶连续导数，
r
x
2
y
2
, g( x, y) f
1
r
，求
2
g
2
g
。
x
2
y
2
（5）求直线
l
1
x y 0
x
与直线
l
2
:
2
:
z 0
4
的距离。
y 1 z
2
1
3
解：（ 1）
x
n
=
(1 a
2
)(1
2
(1 a)(1
a
2
) L (1
a
2
n
)
=
x
n
(1
a)(1
a)(1 a ) L (1
a
2
n
) / (1 a)
a
2
) L
(1
a
2
n
) / (1 a)
=
L
=
(1
1/ (1 a)
a
2
n
1
) / (1 a)
lim x
n
n
lim(1
n
a
2
n 1
) / (1 a)
(2)
lim e
x
x
1
1
x
x
2
lim e
x
ln e
x
1
x
(1
)
x
2
x
2
lim e
x
ln(1
1
) x
x
令 x=1/t, 则
t 0
(ln(1 t ) t )
t
2
t 0
1/(1 t ) 1
1
2(1 t )
原式 =
lim e
lim e
2t
lim e
t 0
e
2
1
I
n
n
（3）
e xdx ( )
s
0
n
sx n 1
sxn
1
xde
0
nsx
n(n 1)
s
2
,
( )[ x
n
e
sx
|
0
s
n!
L
1
e
sx
dx
n
]
0
n!
s
0
e x dx
s
I
n 1
I
n 2
s
n 0
s
n 1
I
二、（ 15
分）设函数
f ( x)
在
(
)
上具有二阶导数，并且
f (x)
0, lim f ( x)
x
0, lim f ( x)
x
0,
且存在一点
x
0
，使得
f ( x
0
) 0
。
证明：方程
f ( x)
0
在
(
,
)
恰有两个实根。
解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，
两边找两大于
0 的值。
将 f(x) 二阶泰勒展开：
f(x) 先减后增，因为 f(x) 有小于 0 的值，所以只需在
f ( x)
f (0)
f
'
(0) x f
''
(
)
x
2
2
因为二阶倒数大于 0，所以
lim f ( x)
x
，
lim
f (x)
x
证明完成。
三、（ 15 分）设函数
y
f (x)
由参数方程
t
2
u
2
1
e du
x
2t
t
2
(t
1)
所确定，其中
(t )
具有二阶
y
3
2e
(t )
导数，曲线
y (t)
与
y
在
t 1
出相切，求函数
(t)
。
d
2
y
解：（这儿少了一个条件
dx
2
）由
y
(t)
与
y
t
1
2
e du
u
2
3
2e
在
t 1
出相切得
(1)
3
，
'
(1)
2
2e
e
dy
dx
d
2
y
dx
2
dy / dt
dx / dt
'
(t)
2 2t
d ( dy / dx) d (dy / dx) / dt
''
(t )(2
2t )
2
'
(t)
(2
2t)
3
dx
dx / dt
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
n
四、（ 15
分）设
a
n
0, S
n
k 1
a
k
,
证明：
（ 1）当
1
时，级数
a
n
收敛；
n 1
S
n
(n
（ 2）当
1
且
s
n
)
时，级数
a
n
发散 。
n 1
S
n
解：
（1）
a
n
>0,
s
n
单调递增
当
a
a
n
收敛时，
Q
a
n
a
n
，而
n
收敛，所以
n 1
s
n
s
1
s
1
当
a
n
发散时，
lim s
n
n 1
n
Q
a
n
s
n
s
n 1
s
n
dx
s
n
dx
s
n
s
n
s
n 1
s
n
s
n 1
x
a
n
a
s
n
所以，
1
dx
a
1
s
n
dx
n 1
s
n
s
1 n 2
s
n 1
x s
1
s
1
x
s
1 1
而
s
n
dx a
1
1
n
s
1
a
1
s
1
s
lim
n
1
xs
1
1
s
1
1
所以，
a
n
收敛。
n 1
s
n
（2）
Q lim s
n
n
k
1
所以
a
n
发散，所以存在
k
1
，使得
a
n
a
1
n 1
n 2
k
1
k
1
k
于是，
a
n
1
a
n
2
a
n
1
s
s
2
n
2
s
n
k
1
2
依此类推，可得存在
1 k
1
k
2
...
k
i 1
使得
a
n
1
a
n
成立，所以
k
N
N
1
k
i
s
n
2
1
s
n
2
a
n
收敛；
s
n
k
，收敛于
k。
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本文更新与2020-11-22 04:41，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/454012.html