灿烂数学第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类)

2020年11月22日发(作者：许寒冰)
第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准
（非数学类，2019年3月30日）
一、填空题（本题满分30分，每小题6分）
1、设函数在点在处连
续，则
答案：
2、设
的值为

则

答案：
的3、设曲线L是空间区域
表面与平面的交线，则
答案：
4、设函数

由方程确定，其中

具有连续二阶偏导数，则
答案：
5、已知二次型
则的规范形为
二、设在区间
答案：
内三阶连续可导，满足
，
又设数列
，

满足
严格单调减少且
计算
【解】由于
有Taylor公式

在处在区间（-1,1）内三阶可导，

又
，
所以
分 ① 由于
数列严格单调且，则 ，且
为严格单调增加趋于正无穷的数列，注意到
，故由Stolz定理及①式，有

分


分
在上具有连续导数，且

三、设
证明：对于
【证明】令
上严格单调增加，记
成立
则< br>的反函数为
故函数
，则

在
定义在
上，且

4
分
于是

根据积分中值定理，存在使得

分


因此
注意到

则

即

分
四、计算三重积分：，其中

【解】采用“先二后一”法，并利用对称性，得
其中
分
用极坐标计算二重积分，得