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第３１卷第３期
２０１５年６月
大 学 数 学
ＣＯＬｌ正ＧＥ ＭＡ ＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．３１，№．３
ＪＨＩ］．２０１５
一
道全 国大学生数学竞赛试题的解法及推广
王永喜 ， 王泽文 ， 刘 冰 ， 邱淑芳
（１． 东华理工大学理学院，南昌３３００１３； ２．南昌二中，南昌３３００３８）
［摘要］给出了一道 全国大学生数学竞赛试题的三种解答，在此基础上研究了三角形三内角正弦的线
性和最大值问题，从而 推广了竞赛试题中的结论．最后，研究了三内角正弦的指数之积以及余弦的指数之积
的上界问题． < br>［关键词］大学生数学竞赛；三角形；嵌入不等式；正弦定理；余弦定理
［中图分类号］Ｏ１５ １．２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１５）０３—００９０—０７
考 虑２０１１年第三届全国大学生数学竞赛（数学类）的一道赛题：
对于△ＡＢＣ，求３ｓｉｎＡ＋４ｓ ｉｎＢ＋１８ｓｉｎＣ的最大值．
解法１ 该解法是依据全国大学生数学竞赛组委会给出的参考解答给 出的，但有所不同．
三角形三个角Ａ，Ｂ，ｃ的取值范围为
（Ａ，Ｂ，Ｃ）∈Ｄ兰｛（ａ， Ｉ９，ｙ）Ｉ ａ＞０，ｊ９＞０，ｙ＞０且ａ＋Ｉ９＋ｙ一丁ｃ｝．
首先，考虑３ｓｉｎＡ＋４ｓｉ ｎＢ＋１８ｓｉｎＣ在Ｄ的闭包
Ｄ一｛（口， ，ｙ）ｌ口≥ｏ，卢≥ｏ，），≥ｏ且口＋ ＋ｙ一７ ｃ｝
上的最大值．于是，有
ｍａｘ（３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎＣ）
（Ａ，Ｂ，Ｃ）∈
一 ｍａｘ （３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）４－１８ｓｉｎＣ
（１ ）
Ａ＋Ｃ≤ ，Ａ，Ｃ≥０
一ｍａｘ ｍａｘ（（３＋４ｃｏｓＣ）ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＣ ＣＯＳＡ＋１８ｓｉｎＣ）
≤ｍａｘ（￣／（３＋４ｃｏｓＣ） ＋１６ ｓｉｎ Ｃ＋１８ｓｉｎＣ ）
Ｏ≤Ｃ≤
一ｍａｘ（￣／—２５＋２—４ｃｏｓＣ＋１８ｓｉｎＣ）．
Ｏ≤Ｃ ≤“
上述过程与组委会给出的解答稍有不同，即倒数第二步直接利用Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｔｚ 不等式得到是“≤”
成立，这是因为我们认为用“一”不是直接的．考虑函数
／（ｃ）一４ ２５＋２４ｃｏｓＣ＋１８ｓｉｎＣ，０≤Ｃ≤７ｃ
在［Ｏ，冗］上的最大值问题．对于函数厂（Ｃ） ，显然有
／（Ｃ）≥ｆ（ｎ—Ｃ）， Ｖ Ｃ∈Ｅｏ，７【／２］．
于是，由微积分中一元 函数取极值的必要条件，得
／（ｃ）一１８ｃｏｓＣ一
（２）式等价于
一０， （２）
√２５＋２４ｃｏｓＣ
（８ｃＯＳＣ一１）（２７ ＣＯＳ０Ｃ＋３２ＣＯＳＣ＋４ ）一０．
［收稿日期］２０１４一ｌ１～１５
［基金项目］江西省高等学校教学改革研究课 题（ＪＸＪＧ－１３—６～７）；江西省青年科学家培养计划（２０１２２ＢＣＢ２３０２４）；江西
省自然科学基金（２０１４２ＢＡＢ２０１００８）
第３期 王永喜，等：一道全国大学生数学竞赛试 题的解法及推广 ９１
从而，方程（２）在［ｏ，兀／２］的解为ｃ—ａｒｃｃ。ｓ吉．于是，有 < br>，（Ｃ）：
０Ｏ≤Ｃ≤ ≤ｍ Ｃ≤ａ ｘ，／ ２ （Ｃ 一…｛Ｓ（ａｒｃｃｏｓ吉）ｏ ＇ ，（Ｏ），，（号）厶 ，）一ｆ（ ａｒｃｃｏｓ告）一ｏ ．
接下来，我们验证当ｃ＝＝＝ａｒ ｃｃｏｓ吉∈［ｏ， ／２］时式（１）中不等式的等号能成立．众所周知，Ｃａｕｃｈｙ
一
Ｓｃｈｗａｒｔｚ不等式成立的条件是向量（ｓｉｎＡ，ｃｏｓＢ）与向量（３＋４ｃｏｓＣ，４ｓｉｎＣ）线性 相关．令
￡一
．
—３￣４—
４ｓｉｎＣ
ｃｏｓＣ’
则 有ｔ＞０且Ａ—ａｒｃｔａｎ（ｔ）∈（Ｏ，ｎ／２）（＝＝［Ｏ，７ｃ—ｃ］．因此，成立
ｍａｘ（ （３＋４ｃｏｓＣ）ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＣｃｏｓＡ－ｔ－１８ｓｉｎＣ）一￣／（３＋４ｃｏｓＣ） ＋１６ ｓｉｎ Ｃ ４－１８ｓｉｎＣ．
Ｏ≤Ａ≤Ｔ广Ｃ
综上所述，即得
ｍａ
ｘ（３ｓｉｎＡ￣４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎｃ）一丁３５，ｖ／￣＂
，
（
Ａ Ｂ ，，Ｃ）
。
Ｃ
Ｄ ４
且最大值点落在Ｄ内，故对于ＡＡＢＣ，３ｓ ｉｎＡ＂＂１４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎｃ的最大值为Ｔ３５￣ｆ
．
另一方面，不难看
到３ｓｉｎＡ十４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎＣ在 的边界上（Ａ，Ｂ，Ｃ之一为零）的最大值为２２．
解 法２（配凑法） 直接利用Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ不等式Ⅲ，得
３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＢ＋１ ８ｓｉｎＣ
一
３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋１８ｓｉｎＢｃｏｓＡ < br>一
３ｓｉｎＡ（１＋６ｃｏｓＢ）＋３ｃｏｓＡ（６ｓｉｎＢ）＋４ｓｉｎＢ
≤￣／（ ９ ｓｉｎ。Ａ＋９ ＣＯＳ。Ａ）（（１＋６ｃｏｓＢ） ＋（６ｓｉｎＢ） ］＋４ｓｉｎＢ
一< br>３、 丁干了 百＋４
（１一ＣＯＳＢ）（１＋ＣＯＳＢ）
≤
２４７ < br>０
（２Ｏ＋８ｃｏｓＢ）（２９—８ｃｏｓＢ）
≤
２４７×萼＝Ｚ ＝＝ ４．
上式中三个不等等号取等条件均为ｃ。ｓＡ— ３
，ｃ。ｓＢ一 成立，故最大值为— ３５ ，ｖ／￣－
．
解法３ 因为０＜Ａ，Ｂ，Ｃ＜７ｃ且Ｃ一 一（Ａ＋Ｂ），所以 ３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎＣ一３ｓｉｎＡ ４－４ｓｉｎＢ ４－１８ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）． < br>为此，在区域（０，７ｒ）×（Ｏ，７ｃ）上考虑二元函数
ｆ（ｘ， ）一３ｓｉｎｘ－４－４ ｓｉｎｙ＋１８ｓｉｎ（ｘ＋ ）
的极值问题．由二元函数极值的必要条件，得
ｉ
一
３ｃｏｓｘ＋１８ｃｏｓ（ｘ＋ ）一０，
（３）
一
４ｃｏｓｙ＋１ ８ｃｏｓ（ｘ＋ ）一０．
（４）
（３）式与（４）式中的两个子式相减，得ｚ＝＝＝ａｒ ｃｃ。ｓ（告ｃ。ｓ ）并带人到（４）式，得
４ｃｏｓｙ＋ ８［ｃ。ｓ（ａｒｃｃｏｓ（一 ｃ。 ｓ ））ｃｏｓｙ－－ｓｉｎ（ａｒｃｃｏｓ（４ｃ。ｓｙ））ｓｉｎ ］一ｏ．
令 一ｃ。ｓ ，显 然 ∈［一 ３， ３］，从而有
２ ＋１２ｔ 一３ 可，
９２
整理得 大 学 数 学 第３１卷
（１６ｔ一９）（３￡ ＋１６ｔ＋９）一０． （５）
于 是，得到方程（５）在［一 ３， ３］上有两个解，分别为 一 ，￡。一—Ｃ ￣Ｙ －一８．那么， 对应ｔ 有
３ ９
—ａｒｃｃｏｓ ’
对应ｔ。有
：ａｒｃｃｏ ｓ而
Ｖ＂￣ －８
～ｃｃｏｓ ， —ａｒｃｃ。ｓ—
．
又
Ｅ 一 ａ２ｆ一
－
３ｓｉｎｘ－－１８ｓｉｎ（ｚ＋ ），Ｆ一丽ａ２ｆ－－１８ｓｉｎ（ ＋ ），
Ｇ＝ ：一４ｓｉｎ 一１８ｓｉｎ（ ＋ ），
那么
ＥＧ—Ｆ ：１２ｓ ｉｎｘｓｉｎｙ＋１８ｓｉｎ（ｘ＋ ）［３ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｙ］．
直接计算可知，当 ：ａｒｃ ｃ。ｓ ， ：ａｒｃｃ。 ９时有 一Ｆ ＞ｏ且Ｅ＜０
故，（ｚ， ）取到极大值
，，（ａｒｃｃｏｓ ３
￣ａｒｃｃｏｓ
）一Ｔ３５Ｖ￣－．
而当 ＝ａｒｃｃ 。ｓ ， ＝＝＝ａｒｃｃ。ｓ 时无极值．因此
ｆ（ｘ，ｙ）一３ｓｉｎ．ｚ＋４ｓｉｎ ＋１８ｓ ｉｎ（ ＋ ）≤学， 。＜ ， ＜兀
且在（ａｒｃｃｏｓ ３
，ａｒｃｃｏｓ
）处取到最大值．注意到
０＜ａｒｃｃｏｓ ３＋
ａｒｃｃｏｓ
９＜
丌，
所以在三角形上３ｓｉｎＡ＋４ｓｉｎＢ＋１８ｓｉｎＣ的最大值为＿３５４７
．
正士
受此启发，考虑一般的问题：对于ＡＡＢＣ，求 ｓｉｎＡ＋ｙｓｉｎＢ＋ｚｓｉｎＣ的最大值． 为此，先给出著名
的嵌入不等式．
引理ｌ［
当且仅当
对于任一ＡＡＢ Ｃ和任意的实数ｚ，Ｙ， 和正整数 ，均有
ｚ。＋Ｙ。＋ ≥（一１）井 ２（ｙｚｃｏｓ（ｎＡ） ＋ｚｘｃｏｓ（ｎＢ）＋ｘｙｃｏｓ（ｎＣ））， （６）
ｚ。Ｙ。 —ｓｉｎ（ｈＡ）：ｓｉｎ（ｎ Ｂ）。ｓｉｎ（ｎＣ）
时不等式（６）取等号．
不等式（６）常称为Ｗｏｌｓｔｅｎｈｏｌ ｍｅ－－Ｋｌａｍｋｉｎ加权三角不等式．
定理１设 ， ，ｚ，ｋ均是正数，且满足
寿＋ ＋愚。 Ｙ ｋ＋ 。＋寿ｋ— ＋ ’
对于任意三角形ＡＡＢＣ，有
ｓｉｎＡ＋ ｓ ｉｎＢ＋ｚｓｉｎｃ≤ｉ１
（ ＋忌）（ 。＋志）（ｚ ＋ ），
（７）
其中 上式等号成立当且仅当成立
Ｘ南 ｋ＋ Ｙ：南 。＋点 ＋。南ｋ 一 －Ｓ…“…ｉｎＢ＝ Ｃ． ……
（８）
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