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中国大学生数学竞赛竞赛大纲
(2009年首届全国大学生数学竞赛)
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程
的教学水平，激励大学 生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更
好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大 纲。
一、竞赛的性质和参赛对象
“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学 生学习数学的兴趣，进
一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，
发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上
的在校大学生。
二、竞赛的内容
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛
题。
（一）中国大 学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学
专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%， 高等代数占35%，解析几何
占15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确 界存在
性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
2. 上的距离、邻域、聚 点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）
集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点 列，以及上述
概念和定理在上的推广.
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐 函数概念，反函数与逆变
换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、
不等式性质）.
2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛
与其子列收敛的关系），极限及 其应用.
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、
保号 性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要
极限及其应用，计算一元函数 极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶
的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念 、基本性质，
二元函数的二重极限与累次极限的关系.
4. 函 数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、
保号性），有界闭集上连续函数的性质 （有界性、最大值最小值定理、介
值定理、一致连续性）.
三、一元函数微分学
1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微
分及其几何意义、可 微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle 定理，Lagrange定理，Cauchy
定理，Taylor公式(Peano余项与Lagran ge余项).
3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、
凸 函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必
达（L'Hospital）法则 、近似计算.
四、多元函数微分学
1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微 与偏导存在、连续之间的关系，
复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高
阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反
函数组与坐标变换.
3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲
面的切平面与法线）.
4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
五、一元函数积分学
1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元< br>法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.
2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积
函数类.
3. 定积 分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积
分第一中值定理）、变上限积分函数、微积 分基本定理、N-L公式及定积分
计算、定积分第二中值定理.
4.无限区间上的广义 积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、
非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法） 、Abel判别法、Dirichlet
判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲
线弧长与弧微分、 旋转体体积），其他应用.
六、多元函数积分学
1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标
变换、一般坐标变换）.
2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.
3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.
4.含参量 正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换
性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法 ，含参量广义积分的连续性、
可微性、可积性，运算顺序的可交换性.
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路
径无关的条件.
7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke
公式，两类线 积分、两类面积分之间的关系.
七、无穷级数
1. 数项级数
级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级
数基本性质；正项级数收敛的 充分必要条件，比较原则、比式判别法、根
式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判 别法；一般项级数
的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
2. 函数项级数
函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收 敛性判别法
（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
3.幂级数
幂级数概念、Abel定理、收敛半 径与区间，幂级数的一致收敛性，幂
级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的 关系、
函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
r级数
三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、
Beseel不等式、Riemanm- Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的
收敛性定理.
Ⅱ、高等代数部分
一、 多项式
1. 数域与一元多项式的概念
2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
6. 本原多项式、G auss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein
判别法、有理数域上多项式的有理根 .
7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
二、 行列式
1. n级行列式的定义.
2. n级行列式的性质.
3. 行列式的计算.
4. 行列式按一行（列）展开.
5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
6. 克拉默(Cramer)法则.
三、 线性方程组
1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般
解.
2. n维向量的运算与向量组.
3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
四、 矩阵
1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运
算律.
2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
4. 分块矩阵及其运算与性质.
5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
五、 双线性函数与二次型
1. 双线性函数、对偶空间
2. 二次型及其矩阵表示.
3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交
变换法.
4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
六、 线性空间
1. 线性空间的定义与简单性质.
2. 维数，基与坐标.
3. 基变换与坐标变换.
4. 线性子空间.
5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
七、 线性变换
1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
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