高等数学51998全国大学生数学建模大赛试题

2020年11月22日发(作者：何世琨)
1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）S
i
( i=1,…n) 供投资者选择， 某公司
有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这
n种资产 进行了评估，估算出在这一时期内购买S
i
的平均收益率为，并预测出
购买S
i
的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当
用这笔资金购买若干种资 产时，总体风险可用所投资的S
i
中最大的一个风险来
度量。
购买S
i
要付交易费，费率为
买
，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购
计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交
易费又无风险。（=5%）
1. 已知n = 4时的相关数据如下：
S
i

(%)
S
1

S
2

S
3

S
4

28
21
23
25
(%)
2.5
1.5
5.5
2.6
(%)
1
2
4.5
6.5
(元)
103
198
52
40
2. 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购 买
若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
3. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
S
i

(%)
9.6
(%)
42
(%)
2.1
(元)
181 S
1

S
2

S
3

S
4

S
5

S
6

S
7

S
8

S
9

S
10

S
11

S
12

S
13

S
14

S
15





18.5
49.4
23.9
8.1
14
40.7
31.2
33.6
36.8
11.8
9
35
9.4
15
54
60
42
1.2
39
68
33.4
53.3
40
31
5.5
46
5.3
23
3.2
6.0
1.5
7.6
3.4
5.6
3.1
2.7
2.9
5.1
5.7
2.7
4.5
7.6
407
428
549
270
397
178
220
475
248
195
320
267
328
131
B题 灾情巡视路线
下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。
今年夏天该县遭 受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负
责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路 线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、
村，又回到县政府所在地的路线。
1. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2. 假定巡视人员在各乡 （镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，
汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24 小时内完成巡视，至少应分几组；
给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3. 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短
时间是多少；给出在这种最 短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视
路线。
4. 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最
佳巡视路线的影响。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）S
i
( i=1,…n) 供投资者选择， 某公司
有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这
n种资产 进行了评估，估算出在这一时期内购买S
i
的平均收益率为，并预测出
购买S
i
的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当
用这笔资金购买若干种资 产时，总体风险可用所投资的S
i
中最大的一个风险来
度量。
购买S
i
要付交易费，费率为
买
，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购
计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交
易费又无风险。（=5%）
1. 已知n = 4时的相关数据如下：
S
i

(%)
S
1

S
2

S
3

S
4

28
21
23
25
(%)
2.5
1.5
5.5
2.6
(%)
1
2
4.5
6.5
(元)
103
198
52
40