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鹿晗数学八年级数学上 第六章 一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

作者:高考题库网
来源:https://bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 07:57
tags:八年级, 数学, 知识点

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2020年11月22日发(作者:莫文蔚)
八年级数学上 第六章 一次函数的图象和性质
一、知识要点:
1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1;
(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。
2、图象:一次函数的图象是一条直线,
(1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0)
(2)由图象可 以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x
平行。
3、性质:
(1)图象的位置:

(2)增减性
k>0时,y随x增大而增大
k<0时,y随x增大而减小
4.求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种
(1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问 题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或
不易)判断两个变 量之间具有什么样的函数关系。
(3)用待定系数法求函数解析式。
- 1 -
“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些
待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况:
①利用一次函数的定义

构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为 函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b
平行于y=kx,即由k来定方向 。
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程 。
二、例题举例:
例1.已知y=
证明:∵

∵y=
∴y=

=a
,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。

成正比例,
(a≠0的常数),
, =(k≠0的常数),
·a=akx,
其中ak≠0的常数,
∴y与x也成正比例。
例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断=(3-)
是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
解:依题意,得
解得 n=-1,



=-3x-1,
=(3-)x, 是正比例函数;
随x的增大而减小;

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限,
- 2 -
=(3-)x的图象经过第一、三象限,随x的增大而增大。
说明:由于一次函数的解析式含有 待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用
“一次函数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。
例3.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y= -3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析
式。
分析:直线y=kx+b的位 置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直
线平行,则解析式的一次项系数 k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。
解:∵y=kx+b与y=5-4x平行,
∴k=-4,
∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴,
∴b=18,
∴y=-4x+18。
说明:一次函数y=kx+ b图象的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定点,即函数图
象平行于直线y=kx,经过 (0, b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y轴交点定b。
例4.直线与x轴 交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析
式。
解:∵点B到x轴的距离为2,
∴点B的坐标为(0,±2),
设直线的解析式为y=kx±2,
∵直线过点A(-4,0),
∴0=-4k±2,
解得:k=±,
x+2或y=-x-2. ∴直线AB的解析式为y=
说明:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备
的。
(1)图象是直线的函数是一次函数;
(2)直线与y轴交于B点,则点B(0,
(3)点B到x轴距离为2,则||=2;
);
- 3 -
(4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=
(5)已知直线与y轴交点的纵坐标
下面只需待定k即可。
,可设y=kx+


例5.已知一 次函数的图象,交x轴于A(-6,0),交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象
限,它的横坐标 为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式。
分析:自画草图如下:
解:设正比例函数y=kx,
一次函数y=ax+b,
∵点B在第三象限,横坐标为-2,
设B(-2,



),其中<0,
=6,
AO·|
=-2,
|=6,
把点B(-2,-2)代入正比例函数y=kx,得k=1
把点A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b,

解得:
∴y=x, y=-x-3即所求。
说明:(1)此例需要利用正比例函数、一次 函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中
的系数要用不同字母表示;
(2) 此例需要把条件(面积)转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步:一是利用面积公式
AO·BD=6 (过点B作BD⊥AO于D)计算出线段长BD=2,再利用||=BD及点B在第三象限计算出
=-2 。若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,结果会有什么变化?(答:有两种可能,
点B 可能在第二象限(-2,2),结果增加一组y=-x, y=
- 4 -
(x+3).

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本文更新与2020-11-22 07:57,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://bjmy2z.cn/gaokao/454651.html

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