数学必修四试卷2010江苏省高考数学真题(含答案)

2020年11月22日发(作者：段理琦)
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2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.
本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满 分
160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.
请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 < br>4.
请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0 .5
毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.
如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.
请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
1

锥体的体积公式:V
锥体
=
Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题 ．卡．相．应．的．位．．
置．上．.
+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a
2
2、设复数z满足z(2- 3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是_▲__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___
根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(e+ae)(xR)是偶函数 ，则实数a=_______▲_________
x-x
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2y
x
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线1
2
上一点M，点M的横坐标是3，则M到412
双曲线右焦点的距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______
8、函数y= x(x>0)的图像在点(ak,a
k
)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数 ，a1=16，
则a
1
+a3+a5=____▲_____
22
2y
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
2
10、定义在区间
0,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作

2
PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的 长为_______▲_____。

21,0
11、已知函数
f(x)
xx
1,x0

,则满足不等式
2
f(1x)f(2x)的x的范围是__▲___。
12、设实数x,y满足3≤

2

2

3

x
≤9，则
4
的最大值是▲。
xy≤8，4≤
y
x
y
ba C
，则
ab
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cos

tanCtanC
tanAtanB

=____▲_____。
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14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2
(梯形的周长）
S
,则S的最小值是____▲____。梯形的面积
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
0
17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，
仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
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18、（本小题满分16分）
2yx
在平面直角坐标系xoy
中，如图，已知椭圆
1
的左、右顶点为A、B，右焦点为95
F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别 交于点M(x
1
,y
1
)、N(x
2
,y
2
)，其中
m>0,y
1
0,y
2
0。
2PB
2
2
（1）设动点P
满足
PF4,求点P的轨迹；
1
（2）设
x
1
2,x
2
，求点T的坐标；
3
（3
）设
t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐
标与m无关）。
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列a
n
的前n项和为S< br>n
，已知2a
2
a
1
a
3
，数列S
n是公差为
d
的等差数列。
（1）求数列

a的通项公式（用n,d表示）；
n
（2）设c
为实数，对满足
mn3k且mn
的任意正整数
m,n,k，不等式S
m
S
n
cS
k

都成立。求证：c的最大值为
9

。
2
20、（本小题满分16分）
设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数
2ax
h(x)，其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h( x)(x1)，则称
函数f(x)具有性质P(a)。
b2
(1)设函数f(x)
lnx(x1)
x1
，其中b为实数。 (i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。
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(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x
1
,x< br>2
(1,),x
1
x
2
,设m为实数，
mx
1
(1m)x，(1m)x
1
mx
2
，且1,1，
2
若|g()g()|<|g()()|，求m的取值范围。
x
1
gx
2
数学Ⅱ（附加题）
7.
[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请 ．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．。
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
CAB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
AB
O
D
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵
k

0

0

1

，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A
1
、B1、C1，
M= ,N=
0 1 1 0
△A
1
B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆 ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
D．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：

33()
ababab。
22
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[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答．题．卡． 指．定．区．域．内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等
品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二
等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2
万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整 数n，cosnA是有理数。
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2010年答案
填空题
1、[解析]考查集合的运算推理。3B,a+2=3,a=1
2、[解析 ]考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为
2。
3、[解析]考查古典概型知识。31
p
62
4、[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e
x-x
+ae为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
MF

4

6、[解析]考查双曲线的定义。
e 2
，
d
为点
M
到右准线
x1
的距离，
d=2，
d 2
MF=4。

24

7、[解析]考查流程图理解。
122L23133,输出
25
S122L263。
8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a
k
,a
k
)处的切线方程为：
2


22(),
yaaxa当y0时，解得
kkk
a
k
x，
2
a
所以
k
a
1
,a
1
a
3
a
5
164121。
k
2
9、[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
|c| 1，c的取值范围是（-13，13）。
13
10、[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，


2

2

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx= 。线段P
1
P2的长为
3 3
2

11、[解析]考查分段函数的单调性。
1x2x
x(1,21)
2
1x0
12、[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。

2
()[16,81]
y
2
x

111
，2
[,]
xy83

32
，
xx1
42
yyxy
2
()[2,27]

3

，
x
的最大值是27。
4
y
13、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题
多解。
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（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

1
2
C1cosC1

当A=B或a=b时满足题意，此时有：
cosC，tan
321cosC2
C

，tan
22

2
，
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tanAtanB2
1
C
tan
2
tanCtanC

，
tanAtanB

=4。

（方法二）
ba

ab

6cosC6abcosCab
22
，
2222
abc22223c
6abab,ab
2ab2
2
tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sinC
tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

222
1ccc
2
113
cosCab(ab)c
22
662
14、[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
22

设剪成的小正三角形的边长为x，则：
(3x)4(3x)
S(0x1)
1331x
(x1)(1x)
22
（方法一）利用导数求函数最小值。

S(x)
2

4(3x)
，
S(x)
2

3

1

x
由正弦定理，得：上式=
4

2
22

4(2x6)(1x)(3x)(2x)
22

3

(1x)
22
4(2x6)(1x)(3x)(2x)42(3x1)(x3)
2222
3(1x)3(1x)
1
S(x)0,0x1,x，
3
1 1
当
x(0,]时，S(x)0,递减；当 x[,1)时，S(x)0,递增；
3 3
323

1

故当 。
x时，S的最小值是
3
3
（方法二）利用函数的方法求最小值。

111
令
3xt,t(2,3),(,)
t32

，则：
S

4t41
2
86
3t6t831
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2
2
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tt

131

故当
,x
t83
323

。
时，S的最小值是
3
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一、解答题
15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分
14分。
uuuruuur
（1）（方法一）由题设知AB(3,5),AC(1,1)
，则
uuuruuuruuuruuur
ABAC(2,6),ABAC(4,4).
uuuruuuruuuruuur
所以|ABAC|210,|ABAC|42.
故所求的两条对角线的长分别为42、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；
uuur

uuuruuur
（2）由题设知：OC =(－2,－1)，ABtOC(32t,5t)
由(ABtOC)·OC=0，得：(32t,5t)(2,1)0，
从而5t11,所以

uuuruuuruuur
或者：
ABOCtOC
·
11

t。
5

uuur
2
，AB(3,5),

。

uuuruuur

ABOC
t
uuur
2
|OC|

11
5
16、[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考
查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=90，得CD⊥BC，
又PDIDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
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0
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易知DF=

2

，故点A到平面PBC的距离等于2。
2
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=90，所以∠ABC=90。
从而AB=2，BC=1，得ABC的面积1
S。
ABC
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积
11

VSPD。
33
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
222
又PD=DC=1，所以

PCPDDC。
由PC⊥BC，BC=1，得PBC的面积2
S。
PBC
2
由V
APBC
V
PABC
，
11
S
V
hV，得h2，
PBC
33
00
ABC
故点A到平面PBC的距离等于2。
17、[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
HH
（1）tan
AD
ADtan

AD—AB=DB，故得

HHh
tantantan
htan41.24

，解得：
H124。
tantan1.241.20
H

，同理：
AB，
tan

BD。
h
tan
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
HHhHh
（2
）由题设知
dAB
，得
tan,tan
dADDBd
HHh

tan()
tantanhdh
dd
HHhdHHhHHh
2()
1tantan1()
d
ddd
H(Hh)

d2H(Hh)
d
故当d555时，tan()最大。
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，


，