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2010 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科
数学（全国卷 II ）
本卷共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
题目要求的。
参考公式：
如果事件
A，B
互斥，那么
P(A B) P( A)
球的表面积公式
只有一项是符合
P(B)
2
S 4πR
如果事件
A，B
相互独立，那么
R
表示球的半径其中
P
，那么
n
次独立重复试验中事件
P(A B) P( A) P( B)
如果事件
A
在一次试验中发生的概率是
k
n n
k n k
A 恰好发生
k
次的概率
P (k) C P (1 P) (k 0，1 ,2， ，n)
一．选择题
*
1. 设全集
U
{x
N
|
x 6}
集合 A={1，3}，B={3，5}，则 C( A B)=
u
A. {1 ，4} B. {1 ，5} C.{2.4} D.{2 ，5}
x
3
2. 不等式的
0
解集为
A.{x|-2
3. 已知
9
3
4. 函数
y 1 ln(x 1)( x 1)
的反函数是
A.
5
x 2
x 3}
B.
{ x |x 2}
C.
2
则
sin ,
cos( 2 )
3
1
{ x| x 2或x>3} D.
{ x | x 3}
B. C.
1
9
D.
5
3
x
1
x
x 1
1( 0)
A.
1
1( 0)
y e x B.
y e x
x 1
1( ) y
e x R
C. y e
1( )
x R D.
x 1.
5. 若变量
x, y
满足约束条件
y x.
, 则
z 2x y
的最大值为
3x 2y 5.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如果等差数列 {a } 中,a
3
a
4
a
5
12,那么a
1
a
2
n
a
7
A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
2
7. 若曲线
y x ax b 在点
(0, b)
处的切线方程是
x y 1 0
, 则
A.
a 1,b 1
B.
a 1,b 1
C.
a 1,b 1
D.
a 1,b 1
8. 已知三棱锥
S ABC
中, 底面
ABC
为边长等于 2 的等边三角形 ,
SA
垂直于底面
ABC
,
SA 3,
那么直线
AB
与平面
SBC
所成角的正弦值是
A.
3
4
B.
5
4
C.
7
4
D.
3
4
9. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入个 3 不同的信封中，若每个信封放 2
张，
其中，标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同放法共有
A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种
10．
ABC
中，点 D的边 AB上，CD平分
ACB
，若
CB a, CA b,| a | 1,| b| 2,
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1
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则CD
1 2
A.
a b
B.
3 3
2 1
a b
3 3
1 1 1 1
C.
3 4
a b
5 5
D.
4 3
a b
5 5
11．与正方体
ABCD ABC D 的三条棱
AB
、CC
1
、A
1
D
1
所在直线的距离相等的
点
A.有且只有 1 个 B.
2 2
x y
12．已知椭圆
C :
2 2
有且只有 2 个 C.
1(a b 0)
有且只有 3 个 D. 有无数个
3
，过右焦点 F 且斜率为
的离心率为
2
a b
k k
的直线与 C相交于 A、B两点，若 AF
( 0)
3FB ，则
k
2 C. 3 D. 2
第Ⅱ 卷（非选择题， 共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡上 .
1
则cos __________.
10. 已知 是第二象限的角 ,
tan ,
2
A. 1 B.
11.
1
3
9
的展开式中
x
的系数是__________.
( x )
x
2
12. 已知抛物线
C : y 2 px( p 0)的准线为
l
,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与
l
相
MB
,则
p
_______. 交于点 A,与C 的一个交点为 B,若
AM
13. 已知球 O的半径为 4, 圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆 ,AB 为圆 M 与圆 N 的公
14.共弦,AB=4, 若 OM=ON=3, 则两圆圆心的距离 MN=_______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。
17(本小题满分 10 分)
ABC
中，D为 BC边上一点,BD=33,
sin B
5
,
cos ADC
13
3
,
求 AD.
5
18(本小题满分 12 分) 已知{
a }是各项均为正数的等比数列，
n
且
a
1
a
2
1
1
1
a
2
2(
a
)
,
a
3
a
4
a
5
1
3
1
a
4
1
)
a
5
64(
a
(I) 求{
a } 的通项公式 (II)
n
设
1
b
n
2
(a
n
)
a
n
b } 的前 n 项和
, 求数列{
n
T .
n
19(本小题满分 12 分) 如图，直棱柱
ABC A BC 中，AC=BC，A
1
A AB ，D为
BB
1
1 1 1
的中点， E为AB
1
上的一点， AE 3EB
1
.
AB 与 CD的公垂
(I) 证明：DE为异面直线
线；
C
C
1
1
AB 与 CD 的夹角为 45 , 求二面角
(II) 设异面直线
1
A AC B 的大小.
1 1 1
B
D
E
20(本小题满分 12 分)
如图, 由M到 N的电路中有 4 个元件, 分别标
为
----
r
1
,r
2
,r
3
,r
4
,
B
1
****
电流能通过
r
1
,r
2
,r
3
的概率都是 p , 电流能通过
4
0.9, 电流能否通过各元件相互独立 , 已知
r
1
,r
2
,r
3
中至少
有一个能通过电流的概率为 0.999
(I) 求 p ； (II) 求电流能在
M
与
N
之间通过的概率 .
r 的概率是
A
A
1
2
----
****
r
1
r r
M N
2 3
21(本小题满分 12 分)
3 2
已知函数
f (x) x 3ax 3x 1.
(I) 设
a 2
, 求
f (x)
的单调区间；
4
r
(II) 设
f ( x)
在区间(2,3) 上有一个极值点 , 求
a
的取值范围 .
15.( 本小题满分 12 分)
已知斜率为 1 的直线
l
与双曲线
中点为
M (1,3)
.
2 2
x
2
y
1(a 0,b 0)
2
交于
B,D
两点，
BD
的
C :
a b
(I) 求
C
的离心率；
(II) 设
C
的右顶点为 A, 右焦点为
F
,
| DF | | BF | 17
, 过
A, B, D
的圆与
x
轴相
切.
----
****
3
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2010 年高考试文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题
1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B
二、填空题
0.10
2 5
5
0.11
84 15. 2 16.
3
三、解答题
（17）解：
由
3
cos ADC 0知B
由已知
cos
12
得
B
13
,sin ADC
5 2
从而
sin BAD sin( ADC B)
=sin ADC cos B cos ADC sin B
4 12 3 5
33
5 13 5 13 65
.
由正弦定理得
AD BD
sin B sin BAD
,
5
所以
AD
BD sin B
33
sin BAD
13
.
=
33
=25
65
（18）解：
（Ⅰ）设公比为 q，则
n 1
a a q
.由已知有
n 1
1 1
a a q
2
2 ,
化简得
a q
2，
1 1
1
a a q
2 6
64.
1 1
a q
1
1 1 1
2 3 4
a q a q a q 64 .
1 1 1 2 3 4
a q a q a q
1 1 1
又
a
1
0
，故
q 2, a
1
1
所以
a
n
n
1
2
----
4
5
，
****
2
1 1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2
b a a
n
n n
a
n
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n 1
2 4 2
2
n
1
a 4
n
4
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