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高中数学高考总复习复数习题及详解
一、选择题
3＋2i
1．(2010 ·全国Ⅰ理 )复数
2
－
3i
＝ (
A ． i
B．－ i
)
C． 12－13i
D． 12＋ 13i
[ 答案 ] A
3＋ 2i
(3＋ 2i )(2＋ 3i)
6＋ 9i＋ 4i－ 6
[ 解析 ]
＝
＝
＝ i.
2－ 3i (2－ 3i )(2＋ 3i)
13
2．(2010 ·北京文 )在复平面内，复数
6＋ 5i，－ 2＋ 3i 对应的点分别为 A， B.若
C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 (
)
A ． 4＋ 8i
B． 8＋ 2i
C． 2＋ 4i
D． 4＋ i
[ 答案 ]
C
解析
[
由题意知
]
， －
，
中点
， ，则
＝
6－ 2
＝
2
，
y
＝
5＋ 3
A(6,5)
B(
2,3) AB
C(x y)
x
2
2
＝ 4，
∴ 点 C 对应的复数为 2＋ 4i，故选 C.
3．若复数 (m
2
－ 3m－ 4)＋ (m
2
－ 5m－6)i 表示的点在虚轴上，则实数
m 的值是
(
)
A ．－ 1
B． 4
C．－ 1 和 4
D．－ 1 和 6
[ 答案 ] C
2
由 m－ 3m－4＝0 得 m＝ 4 或－ 1，故选 C.
[ 解析 ]
[ 点评 ]
复数 z＝ a＋ bi(a、b∈ R)对应点在虚轴上和 z 为纯虚数应加以区别． 虚
轴上包括原点 (参见教材 104 页的定义 )，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
4．(文)已知复数 z＝
1
－
，则 z ·i在复平面内对应的点位于 (
)
1＋ i
A ．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[ 答案 ]
B
解析
－i
1
－
＝
1
， z ＝
＋
i
－
1
1
， z ·＝－
＋
实数－
[
] z
2
2
2
i
2
2
i.
在第二象限，故选
B.
(理)复数 z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数
A ．是纯虚数
B．是虚数但不是纯虚数
C．是实数
D．只能是零
[ 答案 ]
C
[ 解析 ]
解法 1： ∵z 的对应点 P 在单位圆上，
∴ 可设 P(cosθ， sinθ)，∴ z＝ cosθ＋ isinθ.
z
2
＋1
cos2θ＋ isin2θ＋ 1 2cos
2
θ＋ 2isinθcosθ
＝＝
则
z
cosθ＋ isinθ
cosθ＋isinθ
＝ 2cosθ为实数．
解法 2：设 z＝ a＋ bi(a、 b∈R)，
∵ z 的对应点在单位圆上， ∴ a
2
＋ b
2
＝ 1，
∴ (a－bi)(a＋ bi)＝ a
2
＋ b
2
＝1，
∴
z
2
＋1
＝z＋
1
＝ (a＋ bi)＋ (a－bi)＝2a∈R .
z
z
1
，虚部
1
2
2
z
2
＋ 1
z
(
)
1 1
，
2 2
，对应点
－
5．(2010 ·广州市 )复数 (3i－ 1)i 的共轭复数 是(
．．．．
A ．－ 3＋i
B．－ 3－i
C． 3＋ i
)
D． 3－ i
[ 答案 ] A
[ 解析 ] (3i－ 1)i＝－ 3－ i，其共轭复数为－ 3＋ i.
6．(2010 ·湖南衡阳一中 )已知 x，y∈ R， i 是虚数单位，且 (x－ 1)i－ y＝ 2＋ i，
x
－
y
则 (1＋i )
的值为 ()
A ．－ 4
B． 4
C．－ 1
D． 1
[ 答案 ] A
[ 解析 ]
由 (x－1)i －y＝ 2＋i 得， x＝ 2， y＝－ 2，所以 (1＋ i)
x
－
y
＝ (1＋ i)
4
＝ (2i)
2
＝－ 4，故选 A.
7．(文)(2010 吉·林市质检 )复数 z
1
＝ 3＋i， z
2
＝ 1－i，则 z＝z
1
·z
2
在复平面内对
应的点位于 (
)
A ．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[ 答案 ] D
[ 解析 ]
∵ z＝ z
1
z
2
＝ (3＋ i)(1－i)＝4－ 2i ，∴ 选 D.
i θ
(理)现定义： e
＝ cosθ＋ isinθ，其中 i 是虚数单位， e 为自然对数的底， θ∈ R，
i θ
0
5
2
3
2
且 实 数 指 数 幂 的 运算 性 质 对
e
4
都适 用 ， 若 a ＝ C
5
cos
θ－ C
5
cos θsin θ＋
41432355
cosθsin θ，b＝ C
5
cos θsinθ－C
5
cosθsinθ＋ C
5
sinθ，那么复数 a＋ bi 等于 (
C
5
)
A ． cos5θ＋isin5 θ
B． cos5θ－isin5 θ
C． sin5θ＋icos5θ
D． sin5θ－icos5θ
[ 答案 ]
A
0
5
1
4
2
2
3
2
3
3
2
3
a＋ bi ＝ C
5
cos θ＋ iC
5
cos θsinθ＋ i
C
5
cos
θsin θ＋ i C
5
cos
[ 解析 ]
θsin
θ＋
4
5
4
θ
4
θ＋
5
5
5
5
5
＝ (e
i
θ
5
＝ e
i (5θ)
＝cos5θ＋isin5 θ，选 A.
i C
cos sin
i
C
sin
θ＝ (cosθ＋ isinθ)
)
8．(文)(2010 安·徽合肥市质检 )已知复数 a＝3＋2i， b＝4＋xi(其中 i
a
位 )，若复数
b
∈R，则实数 x 的值为 (
)
A ．－ 6
B． 6
8
C.
3
8
D．－
3
[ 答案 ]
C
a
＝
3＋ 2i
(3＋ 2i )(4－
[ 解析 ]
b
＋
＝
＋
2
xi)
4
xi
16 x
＋
8
－
8－ 3x
＝
12 2x
2
＋
2
i∈ R， ∴
3x
2
＝0， ∴x＝
8
.
16＋x
16＋ x
16＋ x
3
理
山·东邹平一中月考 设 ＝
－
是虚数单位 ，则
2
＋
2
＝
(
(
)(2010
)
z
1
i(i
)
z
z
A ．－ 1－i
B．－ 1＋i
C． 1－ i
D． 1＋ i
[ 答案 ] C
∵ z＝ 1－ i， ∴ z
2
＝－ 2i，
2
＝
2
＝
1＋ i， z 1－ i
∴ z
2
＋
2
z
＝1－i ，选 C.
为虚数单
)
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