数学辅导网立体几何高考题-模拟题带答案

2020年11月22日发(作者：凌晖)
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2014 高考及模拟立体几何带答案
一．解答题（共 17 小题）
1．（2014?山东）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中， AP⊥平面 PCD，AD ∥BC，AB=BC= AD ，E，F 分别为线段 AD ，
PC 的中点．
（Ⅰ）求证： AP∥平面 BEF ；
（Ⅱ）求证： BE⊥平面 PAC．
2．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形 ABB
1
A
1
和 ACC
1
A
1
都为矩形
（Ⅰ）若 AC ⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC
1
A
1
；
（Ⅱ）设 D、E 分别是线段 BC、CC
1
的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M ，使直线 DE∥平面 A
1
MC ？请证明你
的结论．
3．（2014?湖北）在四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PCD⊥底面 ABCD ，PD⊥CD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯
形，AB ∥CD ，∠ADC=90 °，AB=AD=PD=1 ，CD=2 ．
（Ⅰ）求证： BE∥平面 PAD ；
（Ⅱ）求证： BC⊥平面 PBD；
（Ⅲ）设 Q 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 λ的值，使得二面角 Q﹣BD﹣P 为 45°．
4．（2014?江苏）如图，在三棱锥
BC=8，DF=5 ．求证：
（1）直线 PA∥平面 DEF；
（2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．
P﹣ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，
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5．（2014?黄山一模）如图， PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面， AD=PA=2 ，CD=2
点．
（1）求证： AF∥平面 PCE；
（2）求证：平面 PCE⊥平面 PCD；
（3）求四面体 PEFC 的体积．
，E、F 分别是 AB 、PD 的中
6．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥
（Ⅰ）求证： PO⊥平面 ABCD ；
（Ⅱ）求证： OE∥平面 PDC；
P﹣ABCD 的底面是直角梯形， AB ∥CD，AB ⊥AD ，△PAB 和△PAD 是两个
边长为 2 的正三角形， DC=4 ，O 为 BD 的中点， E 为 PA 的中点．
（Ⅲ）求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值．
7．（2014?天津模拟）如图，在四棱台
（1）求证： B
1
B∥平面 D
1
AC；
ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，下底 ABCD 是边长为 2 的正方形，上底 A
1
B
1
C
1
D
1
是
边长为 1 的正方形，侧棱 DD
1
⊥平面 ABCD ，DD
1
=2．
（2）求证：平面 D
1
AC⊥平面 B
1
BDD
1
．
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8．（2013?北京）如图， 在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB ∥CD，AB ⊥AD ，CD=2AB ，平面 PAD⊥底面 ABCD ，PA⊥AD ．E
和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
（Ⅰ） PA⊥底面 ABCD ；
（Ⅱ） BE∥平面 PAD；
（Ⅲ）平面 BEF ⊥平面 PCD．
9．（2013 ?天津） 如图， 三棱柱 ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱 A
1
A⊥底面 ABC ，且各棱长均相等．
BC，A
1
C
1
的中点．
（Ⅰ）证明： EF∥平面 A
1
CD；
（Ⅱ）证明：平面 A
1
CD⊥平面 A
1
ABB
1
；
（Ⅲ）求直线 BC 与平面 A
1
CD 所成角的正弦值．
10．（2013?浙江） 如图， 在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD ，AB=BC=2 ，AD=CD= ，
G 为线段 PC 上的点．
（Ⅰ）证明： BD ⊥平面 PAC；
（Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 的值．
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D，E，F 分别为棱 AB ，
，∠ABC=120 °，

PA=
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11．（2013 ?湖南）如图．在直棱柱
在棱 BB
1
上运动．
（1）证明： AD ⊥C
1
E；
ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，∠ BAC=90 °，AB=AC= ，AA
1
=3，D 是 BC 的中点，点 E
（2）当异面直线 AC ，C
1
E 所成的角为 60°时，求三棱锥 C
1
﹣A
1
B
1
E 的体积．
12．（2012?山东）如图，几何体 E﹣ABCD 是四棱锥， △ABD 为正三角形， CB=CD ，EC⊥BD ．
（Ⅰ）求证： BE=DE ；
（Ⅱ）若∠ BCD=120 °，M 为线段 AE 的中点，求证： DM ∥平面 BEC．
13．（2012?江苏）如图，在直三棱柱 ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C
1
，D，E 分别是棱 BC，CC
1
上的点（点 D 不同
于点 C），且 AD ⊥DE，F 为 B
1
C
1
的中点．求证：
（1）平面 ADE ⊥平面 BCC
1
B
1
；
（2）直线 A
1
F∥平面 ADE ．
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14．（2011?天津）如图，在四棱锥
（Ⅰ）证明： PB∥平面 ACM ；
（Ⅱ）证明： AD ⊥平面 PAC；
P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ ADC=45 °，AD=AC=1 ，O 为 AC
中点， PO⊥平面 ABCD ，PO=2，M 为 PD 中点．
（Ⅲ）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．
15．（2011?北京）如图，在四棱锥
（Ⅰ）求证： BD ⊥平面 PAC；
P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB=2 ，∠ BAD=60 °．
（Ⅱ）若 PA=AB ，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．
16．（2010 ?深圳模拟）如图，在四棱锥
AB 、SC 的中点
（1）求证： EF∥平面 SAD
S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD ，E、F 分别是
（2）设 SD=2CD，求二面角 A ﹣EF﹣D 的大小．
17．（2010?重庆）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥平面 ABC ，PC=AC=2 ，AB=BC ，D 是 PB 上一点，且 CD⊥平
面 PAB．
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（1）求证： AB ⊥平面 PCB；
（2）求二面角 C﹣PA﹣B 的大小的余弦值．
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2014 年 12 月 05 日 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共 17 小题）
1．（2014?山东）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中， AP⊥平面 PCD，AD ∥BC，AB=BC= AD ，E，F 分别为线段 AD ，
PC 的中点．
（Ⅰ）求证： AP∥平面 BEF ；
（Ⅱ）求证： BE⊥平面 PAC．
考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）证明四边形 ABCE 是平行四边形，可得 O 是 AC 的中点，利用 F 为线段 PC 的中点，可得 PA∥OF，
从而可证 AP ∥平面 BEF；
（Ⅱ）证明 BE⊥AP、BE⊥AC ，即可证明 BE⊥平面 PAC．
解答： 证明：（Ⅰ）连接 CE，则
∵AD ∥BC，BC= AD ，E 为线段 AD 的中点，
∴四边形 ABCE 是平行四边形， BCDE 是平行四边形，
设 AC∩BE=O ，连接 OF，则 O 是 AC 的中点，
∵F 为线段 PC 的中点，
∴PA∥OF，
∵PA? 平面 BEF，OF? 平面 BEF ，
∴AP∥平面 BEF；
（Ⅱ）∵ BCDE 是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面 PCD，CD? 平面 PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC ，四边形 ABCE 是平行四边形，
∴四边形 ABCE 是菱形，
∴BE⊥AC ，
∵AP∩AC=A ，
∴BE⊥平面 PAC．
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点评： 本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直
的判定是关键
2．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形 ABB
1
A
1
和 ACC
1
A
1
都为矩形
（Ⅰ）若 AC ⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC
1
A
1
；
（Ⅱ）设 D、E 分别是线段 BC、CC
1
的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M ，使直线 DE∥平面 A
1
MC ？请证明你
的结论．
考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）先证明 AA
1
⊥平面 ABC ，可得 AA
1
⊥BC，利用 AC ⊥BC，可以证明直线 BC⊥平面 ACC
1
A
1
；
（Ⅱ）取 AB 的中点 M，连接 A
1
M ，MC ，A
1
C，AC
1
，证明四边形 MDEO 为平行四边形即可．
解答： （Ⅰ）证明：∵四边形
∵AB ∩AC=A ，
∴AA
1
⊥平面 ABC ，
∵BC? 平面 ABC ，
∴AA
1
⊥BC，
∵AC⊥BC，AA
1
∩AC=A ，
∴直线 BC⊥平面 ACC
1
A
1
；
（Ⅱ）解：取 AB 的中点 M ，连接 A
1
M ，MC ，A
1
C，AC
1
，设 O 为 A
1
C，AC
1
的交点，则 O 为 AC
1
的中
点．
连接 MD ，OE，则 MD ∥AC ，MD= AC ，OE∥AC，OE= AC ，
∴MD ∥OE，MD=OE ，
连接 OM ，则四边形 MDEO 为平行四边形，
∴DE∥MO ，
∵DE? 平面 A
1
MC ，MO ? 平面 A
1
MC ，
∴DE∥平面 A
1
MC ，
∴线段 AB 上存在一点 M （线段 AB 的中点），使直线 DE∥平面 A
1
MC ．
ABB
1
A
1
和 ACC
1
A
1
都为矩形，
∴AA
1
⊥AB ，AA
1
⊥AC，
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点评： 本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能题． 档中于属，力
3．（2014?湖北）在四棱锥P﹣ABCD 中，侧面 PCD⊥底面 ABCD ，PD⊥CD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯
形， AB ∥CD，∠ ADC=90 °，AB=AD=PD=1 ，CD=2 ．
（Ⅰ）求证： BE∥平面 PAD ；
（Ⅱ）求证： BC⊥平面 PBD；
（Ⅲ）设Q 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 λ的值，使得二面角 Q﹣BD﹣P 为 45°．
考点 ： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
： 证明题． 题专
分析： （Ⅰ）取 PD 的中点 F，连接EF、AF ，由中位线得性质和
形，则BE∥AF，根据线面平行的判定得 BE∥平面 PAD；
AB ∥CD 及 AB=1 证出四边形 ABEF 为平行四边
（Ⅱ）由平面 PCD⊥底面 ABCD ，PD⊥CD 证出 PD⊥AD ，利用三条线相互垂直关系，建立直角坐标系，
求出 ，即 BC⊥DB ，再由 PD⊥平面 ABCD ，可得 PD⊥BC，即证 BC⊥平面 PBD；
PBD 的法向量 ，利用 求出 Q 的坐标，再利 （Ⅲ）利用（Ⅱ）建立的坐标系和结论，求出平面
用垂直关系求平面
λ∈（0， 1）的值．
解答： 解：（Ⅰ）取 PD 的中点 F，连接EF，AF ，
∵ E 为 PC 中点，∴ EF∥CD，且
在梯形 ABCD 中， AB ∥CD，AB=1 ，
，
QBD 的法向量 的坐标，由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值，化简后求出
∴ EF∥AB ，EF=AB ，∴四边形 ABEF 为平行四边形，
∴ BE∥AF ，∵ BE? 平面 PAD，AF ? 平面 PAD，
∴ BE∥平面 PAD．（4 分）
（Ⅱ）∵平面 PCD⊥底面 ABCD ，PD⊥CD，∴ PD⊥平面 ABCD ，
∴ PD⊥AD ．（ 5 分）
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz．
则A （1， 0，0）， B（1，1，0），C（0，2， 0），P（ 0，0，1）．（6 分）
， ，
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∴ ，BC⊥ DB，（8 分）
又由 PD⊥平面 ABCD ，可得 PD⊥BC，
∴ BC⊥平面 PBD．（9 分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面
∵
PBD 的法向量为
， ，且 λ∈（ 0，1）
，（10 分）
∴ Q（0，2λ，1﹣λ），（11 分）
设平面 QBD 的法向量为 =（a，b， c）， ， ，
由 ， ，得
，
∴ ，（12 分）
∴ ，（13 分）
因 λ∈（0，1），解得 ．（14 分）
点评：本题用了几何法和向量法进行证明 平行及垂直关系、求值，有中点时通常构造中位线证明线线平行，根据
线面平行的判定定理转化到线面平行；向量法主要利用数量积为零证明垂直，对待二面角、线面角问题用
向量法要简单些，建立坐标系要利用几何体中的垂直条 ．件
4．（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC 中， D，E，F 分别为棱PC，AC ，AB 的中点，已知 PA⊥ AC，PA=6，
BC=8，DF=5 ．求证：
（1）直线 PA∥平面 DEF；
（2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．
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考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．
专题： 证明题；空间位置关系与距离．
分析： （1）由 D、E 为 PC、AC 的中点，得出 DE∥PA，从而得出 PA∥平面 DEF；
（2）要证平面 BDE⊥平面 ABC ，只需证 DE⊥平面 ABC ，即证 DE⊥EF，且 DE⊥AC 即可．
解答： 证明：（1）∵D、E 为 PC、AC 的中点，∴ DE∥PA，
又∵ PA? 平面 DEF ，DE? 平面 DEF，
∴PA∥平面 DEF；
（2）∵D、E 为 PC、AC 的中点，∴ DE= PA=3；
又∵ E、F 为 AC 、AB 的中点，∴ EF= BC=4 ；

2 2
∴DE

，
2
+EF =DF
∴∠ DEF=90 °，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC ，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面 ABC ；
∵DE? 平面 BDE ，∴平面 BDE⊥平面 ABC ．
点评： 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相
转化关系，是基础题目．
5．（2014?黄山一模）如图， PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面， AD=PA=2 ，CD=2
点．
（1）求证： AF∥平面 PCE；
（2）求证：平面 PCE⊥平面 PCD；
（3）求四面体 PEFC 的体积．
，E、F 分别是 AB 、PD 的中
考点： 直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征；平面与平面垂直的判定．
专题： 计算题；证明题．
分析：
（1）设 G 为 PC 的中点，连接 FG，EG，根据中位线定理得到 FG
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CD，AE CD，进而可得到 AF∥GE，
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再由线面平行的判定定理可证明
面垂直的判定定理得到
AF∥平面 PCE，得证．
PA⊥CD，然后由 AD ⊥CD 结合线 （2）根据 PA=AD=2 可得到 AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到
CD⊥平面 PAD，同样得到 GE⊥平面 PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．
（3）先由（ 2）可得知 EG 为四面体 PEFC 的高，进而求出 S
△
PCF
，根据棱锥的体积公式可得到答案．
解答： 解：（1）证明：设 G 为 PC 的中点，连接 FG，EG，
∵F 为 PD 的中点， E 为 AB 的中点，
∴FG
∴FG
CD，AE CD
AE，∴AF ∥GE
∵GE? 平面 PEC，
∴AF∥平面 PCE；
（2）证明：∵ PA=AD=2 ，∴AF⊥PD
又∵ PA⊥平面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，
∴PA⊥CD，∵AD ⊥CD，PA∩AD=A ，
∴CD⊥平面 PAD，
∵AF? 平面 PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D ，∴AF ⊥平面 PCD，
∴GE⊥平面 PCD，
∵GE? 平面 PEC，
∴平面 PCE⊥平面 PCD；
（3）由（ 2）知， GE⊥平面 PCD，
所以 EG 为四面体 PEFC 的高，
又 GF∥CD，所以 GF⊥PD，
EG=AF= ，GF= CD= ，
S
△
PCF
= PD?GF=2．
得四面体 PEFC 的体积 V= S
△
PCF
?EG= ．
点评： 本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理．考查对立体几何中基本定理的掌握
程度和灵活运用能力．
6．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥
（Ⅰ）求证： PO⊥平面 ABCD ；
（Ⅱ）求证： OE∥平面 PDC；
P﹣ABCD 的底面是直角梯形， AB ∥CD，AB ⊥AD ，△PAB 和△PAD 是两个
边长为 2 的正三角形， DC=4 ，O 为 BD 的中点， E 为 PA 的中点．
（Ⅲ）求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值．
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