数学小故事一年级十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量

2020年11月22日发(作者：蓝瑚)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题06 平面向量
1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A. B.2 C.5 D.50
【答案】A
【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.
2.(2019·全 国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b
2
=0,
所以a·b=b
2
.
所以cos=,
所以a与b的夹角为,故选B.
3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,A D为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图,=-
=-)
)

=
=)
=.
4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a· b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
【答案】B
【解析】a·(2a-b)=2a-a·b=2-(-1)=3.
5.(2018·北京·理 T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)=(3a+b).
∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.
∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.
6.(2018·浙江·T9)已知a,b ,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足
b-4e·b+3=0,则| a-b|的最小值是( )
A.-1 B.+1 C.2 D.2-
2
22
2
【答案】A
【解析】∵b-4e·b+3=0,∴(b-2e)=1,∴|b-2e|=1.
如图所示, 平移a,b,e,使它们有相同的起点O,以O为原点,向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则b
的终点在以点(2,0)为圆心,半径为1的圆上,|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值, 就是求圆上动点
到定直线的距离的最小值,也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长,因此|a- b|的最小值为-1.
22


7.(2018·天津·理T8)如图,在 平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则
A. B.
C. D.3

【答案】A
【解析】如图,以D为坐标原点建立直角坐标系.连接AC,由题意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD= ∠ACB=30°,
则D(0,0),A(1,0),B（）,C(0,).设E(0,y)(0≤y≤ ),则=(-1,y),=（-,y-）,∴
+y-y=（y-）+,∴当y=时,
22
有最小值.

8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON =2,∠MON=120°,=2=2,则的

值为( )
A.-15 B.-9
C.-6 D.0
【答案】C
【解析】连接MN,∵=2=2,∴=3=3.∴MN∥BC,且,∴=3=3(),
∴=3()·=3(-||)=3
2
=-6.
9.(2017·全国2·理 T12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
小值是( )
A.-2 B.-
·()的最
C.-
【答案】B
D.-1 < br>【解析】以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如 图.
可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).
=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y). 设P(x,y),则
所以=(-2x,-2y).
所以·()=2x-2y(
2
-y)=2x+2
2
≥-.
当点P的坐标为时,·()取得最小值为-,故选
10.(2017·全国3·理T12)在 矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
=λ
A .3
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
+μ,则λ+μ的最大值为( )
B.2 C. D.2

则A(0,1),B(0,0),D(2,1).

设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,即圆的方程是(x-2)+y=.
22
易知
由
=(x,y-1),
=λ+μ,
=(0,-1),=(2,0).
得所以μ=,λ=1-y,
所以λ+μ=x-y+1.
设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)+y=上,
22
所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,
即,解得1≤z≤3,
11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
【答案】A
【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得a+2a·b+b=a-2a·b+b,即a·b=0.又 a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC的边长为2
||的最大值是( )
2
2222
,平面ABC内的动点P,M满足||=1,,则

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设△ABC的外心为D,则||=||=||=2.
以D为原点,直线DA为x轴,过D点的DA的垂线
为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(-1,-
设P(x,y),由已知|
),C(-1,).
22
|=1,得(x-2)+y=1,
∵,∴M.
∴.
∴,它 表示圆(x-2)+y=1上点(x,y)与点(-1,-3
22
)距离平方的,
∴(||)
max
=
2
+1]=,
2
故选B.
13.(2016·天津·文T7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,B C的中点,连接DE并延
长到点F,使得DE=2EF,则的值为 ( )
A.-
【答案】B
B. C. D.
【解析】方法1(基向量法):如图所示,选取为基底,则

)+.
故=（）·()
=
×1×1×.
14.(2016·全国2·理T3) 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
【答案】D
【解析】由题意可知,向量a+b=(4,m-2) .由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8.故选D.
15.(201 5·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由已知2a+b=(1,0),
所以(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.
16.(2015·福建·文 T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
A.-
【答案】A
【解析】∵a=(1,2),b=(1,1),∴c=(1+k,2+k).
∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.∴k=-
B.- C. D.
17. (2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,
则=( )
=(1,-2),=(2,1),
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】=(3,-1),

所以=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.
=( ) 18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则
A.-a
2
B.-a
2
C.a
【答案】D
【解析】如图,设
2
D.a
2
=a,=b.
则=()·=(a+b)·a=a+a·b=a+a·a·cos 60°=a+a=a.
22222

19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD为平行四边形,|
=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
|=6,||=4.若点M,N满足=3=2,则
【答案】C
【解析】如图所示,,
所以=()·（
=|-
2
|+
2

=×36-×16=9.
20.(2015·福建·理T9)已知,||=,||=t.若点 P是△ABC所在平面内的一点,且

,则
A.13 B.15 C.19
的最大值等于( )
D.21
【答案】A
【解析】以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
则A(0,0),B,C(0,t),
∴=(1,0),=(0,1).
∴=(1,0)+4(0,1)=(1,4).
∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4).
∴=1-- 4t+16=-+17≤-4+17=13,当且仅当=4t,即t=时取“=”.
∴的最大值为13.
=(-4,-3),则向量=( ) 21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4)
【答案】A
【解析】∵
∴
=(3,1),=(-4,-3),
D.(1,4)
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
22.(2015·重庆·理T6)若非 零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ( )
A.
【答案】A
B. C. D.π
【解析】由(a-b)⊥(3a+ 2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|-a·b-2|b|=0.设a与b的夹角为θ,则22

3|a|-|a||b|cos θ-2|b|=0,即3·
22
|b|cos θ-2|b|=0,整理,得cos θ=.故θ=.
22
23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b满足|b|=4 |a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
即2|a|
2
+a·b=0.
设a与b的夹角为θ,则有2|a|
2
+|a||b|cos θ=0.
又|b|=4|a|,所以2|a|
2
+4|a|
2
cos θ=0,
则cos θ=-,从而θ=.
24.(2015·全国1·理T7)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图,
∵=3,
∴)
=-.
25.(2014·全 国1·文T6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则=()

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
=-)-)=-)=)=×2,故选A.
26.(2014·山东·文T7 )已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m=(
A.2 B. C.0 D.-
【答案】B
【解析】∵cos=,
∴cos,解得m=.
27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
【答案】A
【解析】2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选A.
28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( )
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
【答案】B
【解析】由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.
29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e
1
=(0,0),e
2
=(1,2) B.e
1
=(-1,2),e
2
=(5,-2)
C.e
1
=(3,5),e
2
=(6,10) D.e
1
=(2,-3),e
2
=(-2,3)
)

【答案】B
【解析】对于A,C,D,都有e
1
∥e
2
,故选B.
3 0.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】A
【解析】∵|a+b|=,∴(a+b)
2
=10.
∴|a|
2
+|b|
2
+2a·b=10, ①
∵|a-b|=,∴(a-b)
2
=6,
∴|a|
2
+|b|
2
-2a·b=6, ②
由①-②得a·b=1,故选A.
31.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b为单位 向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】由已知得|a|=|b|=1,=60°,
∴(2 a-b)·b=2a·b-b
2
=2|a||b|cos-|b|
2

=2×1×1×cos 60°-1
2
=0,故选B.
32.(201 4·大纲全国·理T4)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
A.2 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】∵(a+b)⊥a,|a|=1,
∴(a+b)·a=0.∴|a|
2
+a·b=0.∴a·b=-1.
又(2a+b)⊥b,∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|
2
=0.
∴|b|
2
=2.∴|b|=.故选B.
33.(2014·重庆·理T4 )已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=(
A.- B.0 C.3 D.
【答案】C
)

【解析】由已知(2a-3b)⊥c,可得(2a-3b)·c=0,
即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简,得4k-12=0,
所以k=3.故选C.
34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )
A.
【答案】C
【解析】∵a⊥b,∴a·b=0,
∴-1+2cosθ=0,即cos 2θ=0. 35.(2012·重庆·理T6)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4 ),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= ( )
A. B. C.2 D.10
2
B. C.0 D.-1
【答案】B
【解析】由a⊥c,得a·c=2 x-4=0,解得x=2.由b∥c得,解得y=-2,所以
a=(2,1),b=(1,-2),a+ b=(3,-1),|a+b|=.故选B.
36.(2010·全国·文T2)a,b为平面向量, 已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.
【答案】C
【解析】b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12),
因此cos=.
B.- C. D.-
37.(2019·全国3·文 T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= .
【答案】
【解析】cos==-.
38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .
【答案】8