1的补码：爱因斯坦质能方程的证明过程

2020年11月22日发(作者：巢于)
爱因斯坦质能方程 的证明过程



爱因斯坦质能方程 的证明过程
悬赏分：0 | 提问时间：2011-2-9 14:13 | 提问者：孙飞絮 | 问题为何被关闭
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质能方程E=mc^2的推导过程

第一步：要讨论能量随质量变化，先要从量纲得知思路：
能量量纲[E]=[M]([L ]^2)([T]^(-2)),即能量量纲等于质量量纲和长度量纲的平方以及时间量纲的负
二次方三 者乘积。
我们需要把能量对于质量的函数形式化简到最简，那么就要求能量函数中除了质量，最好 只有一
个其它的变量。
把([L]^2)([T]^(-2))化简，可以得到只有一个量纲-速度[V_]的形式：
[V_]*[V_]。
也就是[E]=[M][V_]*[V_]
可见我们要讨论质能关系，最简单的途径是从速度v_下手。
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第二步：先要考虑能量的变化
与能量的变化有关的有各种能量形式的转化，其中直接和质量有关的只有做功。
那么先来考虑做工对于能量变化的影响。
当外力F_(后面加_表示矢量，不加表示标量 )作用在静止质量为m0的质点上时，每产生ds_（位
移s_的微分）的位移，物体能量增加
dE=F_*ds_(*表示点乘)。
考虑最简化的 外力与位移方向相同的情况，上式变成
dE=Fds
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第三步：怎样把力做功和速度v变化联系起来呢？也就是说怎样来通过力的作用效果来得出速度
的变化 呢？
我们知道力对物体的冲量等于物体动量的增量。那么，通过动量定理，力和能量就联系起来了：
F_dt=dP_=mdv_
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第四步：上式中显然还要参考m质量这个变量，而我们不想让质量的加入把我们力和速度的关
系复杂化 。我们想找到一种办法约掉m，这样就能得到纯粹的速度和力的关系。
参考dE=Fds和F_dt=dP_，我们知道，v_=ds_dt
那么可以得到
dE=v_*dP_
如果考虑最简单的形式：当速度改变和动量改变方向相同：
dE=vdP
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第五步：把上式化成能量和质量以及速度三者的关系式（因为我们最初就是要讨论这个形式）：
dE=vd(mv)----因为dP=d(mv)
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第六步：把上式按照微分乘法分解
dE=v^2dm+mvdv
这个式子 说明：能量的增量含有质量因速度增加而增加dm产生的能量增量和单纯速度增加产生
的能量增量2个部 分。（这个观点非常重要，在相对论之前，人们虽然在理论物理推导中认识到
质量增加也会产生能量增量 ，但是都习惯性认为质量不会随运动速度增加而变化，也就是误以为
dm恒定为0，这是经典物理学的最 大错误之一。）
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第七步：我们不知道质量随速度增加产生的增量dm是怎样的，现在



要研究它到底如何随速度增加（也就是质量增量dm和速度增量dv之间
的直接关系）：
根据洛仑兹变换推导出的静止质量和运动质量公式：
m=m0[1-(v^2c^2)]^(-12)
化简成整数次幂形式：
m^2=(m0^2)[1-(v^2c^2)]
化成没有分母而且m和m0分别处于等 号两侧的形式（这样就是得到运动质量m对于速度变化
和静止质量的纯粹的函数形式）：
(m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2
用上式对速度v求导得到dmdv （之所以要这样做，就是要找到质量增量dm和速度增量dv之
间最直接的关系，我们这一步的根本目的 就是这个）：
d[(m^2)(c2-v2)]dv=d[(m02)c2]dv(注意式子等号 右边是常数的求导,结果为0)
即
[d(m2)dv](c2-v2)+m2[d(c2-v2)dv]=0
即
[m(dmdv)+m(dmdv)](c2-v2)+(m2)[0-2v]=0
即
2m(dmdv)(c2-v2)-2vm2=0
约掉公因式2m(肯定不是0，呵呵，运动质量为0？没听说过)
得到：
(dmdv)(c2-V2)-mv=0
即
(dmdv)(c^2-V^2)=mv
由于dv不等于0（我们研究的就是非静止的情况，运动系速度对于静止系的增量当然不为0）
(c^2-v^2)dm=mvdv
这就是我们最终得到的dm和dv的直接关系。
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第八步：有了dm的函数，代回到我们第六步的能量增量式
dE=v^2dm+mvdv
=v^2dm+(c^2-v^2)dm
=c^2dm
这就是质能关系式 的微分形式，它说明：质量的增量与能量的增量成正比，而且比例系数是常数
c^2。
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最后一步：推论出物体从静止到运动速度为v的过程中，总的能量增量：
对上一步的结论进行积分，积分区间取质量从静止质量m0到运动质量m，得到
∫dE=∫[m0~m]c^2dm
即
E=mc^2-m0c^2
这就是 物体从静止到运动速度为v的过程中，总的能量增量。
其中
E0=m0c^2称为物体静止时候的静止能量。
Ev=mc^2称为物体运动时候的总动能（运动总能量）。
总结：对于任何已知运动质量为m的物体，可以用E=mc^2直接计算出它的运动动能。