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函数的有关概念
1．函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于
集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称
f ：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x) ，x∈A．其中， x 叫做自
变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函
数值的集合 {f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．
2．定义域： 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1) 分式的分母不等于零；
(2) 偶次方根的被开方数不小于零；
(3) 对数式的真数必须大于零；
(4) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使
各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .
(5) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.
(6) 指数为零底不可以等于零，
(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
.
3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）
①定义域一致 (化简前 )
②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；
4．值域：
先考虑其定义域
（ 1）图像观察法 （掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
y ax
b
(a, b 0)
三角函数等的图像，利用函数单调性）
x
（ 2）基本不等式
（ 3）换元法
（ 4）判别式法
5. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x ∈A) 中的 x 为横坐标，函数值
y=f(x),(x ∈ A) 的图象． C 上每一点
y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数
的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足
y=f(x) 的每一组有序实数
对 x、y 为坐标的点 (x ，y)均在 C 上 .
(2) 画法
描点法
图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换
伸缩变换 对称变换
6．区间的概念
（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（ 2）无穷区间
（ 3）区间的数轴表示．
7．映射
一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则
f，使对于
集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素
y 与之对应，那
么就称对应 f ：A
B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f（对应关系）：
A（原象）
B（象）”
对于映射 f： A →B 来说，则应满足：
(1)集合 A 中的每一个元素，在集合
B 中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。
8．分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
9．复合函数
如果 y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A)
称为 f 、g 的复合函数。
函数的性质
1．函数的单调性 (局部性质 )
（ 1）增函数
设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量
x1，x2，当 x1
（ 2）减函数
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ，x2，当 x1
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（ 3） 图象的特点
如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具
有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象
从左到右是下降的。
（ 4）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取 x1，x2∈D，且 x1
○3 变形（通常是因式分解和配方） ；
○4 定号（即判断差 f(x1) －f(x2) 的正负）；
○5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间 D上的单调性）．
(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )
(C) 导数法
(C) 复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]
的单调性与构成它的函数
u=g(x) ，y=f(u) 的单调性相关，规律：
“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间写成其
并集 .
2．函数的奇偶性 （整体性质）
（ 1）偶函数
一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做
偶函数。
（ 2）奇函数
一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f(-x)= -f(x) ，那么 f(x) 叫做
奇函数。
注：如果奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0)=0
（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特
征偶函数的图象关于 y 轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（ 4）函数奇偶性判定方法：
(A) 定义法
○1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○2 求出 f(-x)
，与 f(x) 进行比较；
○3 作结论：若
f(-x) = f(x)
，则
f(x)
是偶函数；若
f(-x) = -f(x)
，则
f(x)
是
奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 首先看函数的定义
域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称，再根据定义判
定。
(B) 借助函数的图象判定 .
3、函数的解析表达式
（ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关系
时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 .
（ 2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法
4、函数最大（小）值
（ 1）一般的，设函数
y
f ( x)
的定义域为
I，如果存在实数
M 满足
（ a）对于任意的
x
I ,
都有
f ( x)
M
；（
b）存在
x
0
I
，使得
f (x
0
)
M
那么称 M 为
y
f ( x)
的最大值。
（ 2）求函数最值的方法
○1 利用二次函数的性质（配方法）
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数 y=f(x) 在区间 [a ，b] 上单调递增，在区间 [b ，c] 上单调递减则函数
y=f(x)
在 x=b 处有最大值 f(b) ；
如果函数 y=f(x) 在区间 [a ，b] 上单调递减，在区间 [b ，c] 上单调递增则函数 y=f(x)
在 x=b 处有最小值 f(b) ；
函数的概念
一、选择题
1．集合
A
＝ {
x
|0 ≤
x
≤4} ，
B
＝ {
y
|0 ≤
y
≤2} ，下列不表示从
A
到
B
的函数是
(
)
A ．
f x
:
y
1
x
．
2
B
1
3
．
f : x yx
C
f : x
2
3
yx D
．
f : x yx
2．某物体一天中的温度是时间
为℃，
t
t
的函数：
T(t)
t
3
3t
60
，时间单位是小时，温度单位
8 时的温度为 (
)
0
表示
12:00
，其后
t
的取值为正，则上午
B．112℃ C
．58℃
A ．8℃
D．18℃
3．函数
y
＝
x
＋
1＋
1 x
的定义域是
A．（-1 ，1）
B． [0 ，1] C
．[-1 ，1]
D．（-
，-1 ） （1， + ）
4．函数
y
f (x)
的图象与直线
x a
的交点个数有
(
)
A．必有一个
B．一个或两个 C ．至多一个
D．可能两个以上
5．函数
f ( x)
1
的定义域为
R
，则实数
a
的取值范围是
()
ax
2
4ax 3
A ．R
B．
[0,
3
]
C ．
[
3
, )
D．
[0,
3
)
4 4
4
二、填空题
6．某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数
y
(
元
)
表示为茶杯个数
x
(
个
)
的函数，则
________，其定义域为 ________．
1
7．函数
y
＝
x
＋
1＋
2
－
x
的定义域是
(
用区间表示
)________
．
三、解答题
1
8. 求函数
y
＝
x
＋
x
2
－
4
的定义域．
9. 已知函数
f ( x)
的定义域为
[0
，
1]
，求函数
f ( x a)
f (x
a)
的定义域
(
其中
0 a
1
).
2
10. 已知函数
f ( x) x
2
x 1
(1)
求
f ( 2)
(2) 求
f (
1 1)
(3)
若
f ( x) 5
,
求
x
的值
.
x
函数相等、函数的值域
y
＝
1. 下列各题中两个函数是否表示同一函数
?
(1)
f ( x) 1
,
g( x) x
0
( )
（2）
f ( x)
x
2
x
x
2
4
,
g( x) x 2
( )
2
2x
,
g (t ) t
2
（3）
f ( x)
2t
( )
（4）
f ( x) | x 1 |
,
g (x)
x 1( x 1)
1 x( x 1)
( )
2. 下列函数中值域是 (0,+
) 的是
A．
y 2x 1( x
0)
B．
x
2
．
C
1
D
．
2
(x 0) y
x
2
1
x
3. 设函数
f ( x)
x
2
3x
1
,
则
f ( a)
f ( a)
A． 0
B．
6a
C．
2a
2
2
D
．
2a
2
6a
2
4. 已知
f (x)
满足
2 f (x) f ( x)
3x 2
,
且
f ( 2)
16
3
, 则
f ( 2)
5. 已知函数
f ( x)
x
2
1 x
2
(1) 计算
f (2)
与
f (
)
(2) 计算
f (3)
与
f ( )
11
2 3
(3) 计算
f (1) f (2) f (3) ... f (2011) f (
)
1
f ()
3
1
2
f ( ) ...
f (
1
)
4 2011
1
6. 求下列函数的值域
:
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本文更新与2020-11-22 11:30，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/454932.html