数学桌面高一数学必修一函数知识点总结

2020年11月22日发(作者：洪学智)
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→ B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，
x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范 围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值
的集合{f(x)| x∈A }叫 做函数的值域．
注意：
x
的集合称为函数的定义域。1．定义域：能使函数式有意义的 实数
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2) 偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
x< br>的值组(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义 的
成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必
须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
y=f(x) , (x
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数∈A)中 的
x
为横坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y )
的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关 系y=f(x)，反过来，以
满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y< br>为坐标的点
(x
，
y)
，均在C上 .
(2) 画法A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩 变换
3)对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非 空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，
在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作
“f（对应关系）： A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合
A
中 的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元 素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 。
(2)各部分的自变量的取值情况．
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(3)分段函数的定义域是各 段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u= g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函 数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都
有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y= f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间
上是减函数. 区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象 的特点
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性，在单如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的 图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
○
2
○
3
○
4
○
5
○
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
作差f(x
1
)－f(x
2
)；
变形（通常是因式分解和配 方）；
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调性与构成它 的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律：“同增异减 ”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的 任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地 ，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．< br>利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0
○
，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－
x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域 关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若
不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x) =
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判
定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是 函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应
法则，二是要求出函 数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
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(3)分段函 数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)( u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函 数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都
有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y= f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间
上是减函数. 区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象 的特点
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性，在单如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的 图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
○
2
○
3
○
4
○
5
○
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
作差f(x
1
)－f(x
2
)；
变形（通常是因式分解和配 方）；
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调性与构成它 的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律：“同增异减 ”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的 任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地 ，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．< br>利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0
○
，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－
x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域 关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若
不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x) =
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判
定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是 函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应
法则，二是要求出函 数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
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