2012年数学建模高中数学必修一函数大题(含详细解答)_(1)

2020年11月22日发(作者：纪大奎)
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高中函数大题专练
２、对定义在
[0,1]
上 ，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
①对任意 的
x[0,1]
，总有
f(x)0
；
②当
x
10,x
2
0,x
1
x
2
1
时，总有
f (x
1
x
2
)f(x
1
)f(x
2
)成立。
已知函数
g(x)x
2
与
h(x)a2
x
1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g
(2
x
1)
h
(
x
)
m(mR)
解的个 数情况。
3.已知函数
f(x)2
x
1
2
|x|
.
（1）若
f(x)2
，求
x
的值；
（2）若
2t
f(2t)mf(t)0
对于
t[2,3]
恒成立，求实数m的取值范 围.
1
4.设函数
f(x)
是定义在
R
上的偶函数.若当
x0
时，
f(x)
1
x
,
x0;
0,x0.
（1）求
f(x)
在
(,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0ab
时，若
f(a)f(b)
，求
ab
的取值范围.
（4）若关于< br>x
的方程
f
2
(
x
)
bf
(
x
)
c
0
有7个不同实数解，求
b,c
满足的条件
5．已知函数
f
(
x
)
a
b
|x|
(< br>x
0)
。
（1）若函数
f(x)
是
(0,)
上的增函数，求实数
b
的取值范围；
. 专业word可编辑.
.
. . . . .
（2）当
b2
时，若不等式
f(x)x
在区间
(1,)
上恒成立，求实数
a
的取值范围；
[m,n]时，函数
g(x)
的值域也
，
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](mn)
，使
x
是
[m,n]
，则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x)
是某区 间上的闭函数
试探求
a,b
应满足的条件。
6、设
f
(x
)
ax
2
bx
，求满足下列条件的实数
a
的 值：至少有一个正实数
b
，使函数
f(x)
的定义域和值域相同。
7 ．对于函数
点。
f(x)
，若存在
x
0
R
，使f(x
0
)x
0
成立，则称点
(x
0
,x0
)
为函数的不动
（1）已知函数
值；
f
(
x
)
ax
2
bxb
(
a
0)
有不动点（1， 1）和（-3，-3）求
a
与
b
的
（2）若对于任意实数
的 取值范围；
（3）若定义在实数集
数。
b
，函数
f
(
x
)
ax
2
bxb
(
a
0)
总有两个相 异的不动点，求
a
R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇
8．设函数
f(x)x
1
x，
(
x
0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对称的图象为
C
2
，
C
2
对应的函数为
g(x)
.
（1）求函数
y
（2）若直线
y
g(x)
的解析式；
b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐标.
. 专业word可编辑.
. . . . .
9．设定义在
(0,)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：< br>a
、
b
，都有
f(ab)f(a)f(b)1
；①对于任意正 实数
②
f(2)
③当
0
；
x1
时，总有
f (x)1
.
1
（1）求
f(1)及f(
)
的值；
2
（2）求证：
f(x)在(0,)
上是减函数.
10．已知函数
为常数）。
f(x)
是定义在
2,2
上的奇函数，当
x[2,0)< br>时，
f(x)tx
1
3
x
（
t
2
（ 1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t[2,6]
时，求
f(x)
在
2,0
上的最小值，及取得最小值时的
x
，并猜想f(x)
在
0,2
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t 9
时，证明：函数
yf(x)
的图象上至少有一个点落在直线
y14
上。
11.记函数
fx
B
，
2
x
x
72
的定义域为
A
，
gxlg2xbax1b0,aR
的
定义域为
（1）求
（2）若
A
：
AB
，求
a
、
b
的取值范围
12、设
fx
a
x
1
x
1a
a0,a1
。
. 专业word可编辑.
. . . . .
（1）求
fx
的反函数
（2）讨论
f
（3）令
gx
1
f
1
x
：
上的单调性，并加以证明：
x
在
1.
1log
a
x
，当
m,n1,mn
时，f
1
x
在
m,n
上的值域是
gn,gm
，求< br>a
的取值范围。
13．集合A是由具备下列性质的函数
(1) 函数
f (x)
的定义域是
[0,
f(x)
组成的：
)
；
( 2) 函数
f(x)
的值域是
[2,4)
；
(3) 函数
f (x)
在
[0,
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)
要说明 理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合
是否对于任意的
A的函数
f(x)
，不等式
f(x)
)
上是增函数．试分别探究下列两小题
x2(x0 )
，及
f
2
(x)46()(x
2
1
x
：
0)
是否属于集合A？并简
f(x2)2f(x1)
，
x0
总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数f(x)=ax
2
+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
f(x)
f(x)
(x
(x0)
0)
（1）若f(-1)=0且对任意实数
（2）在（1）的条件下,当x< br>x均有f(x)
0
成立，求F(x)表达式。
2,2
时,g(x)=f (x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0
15．函数f(x)=
x
ax b
(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1) 求a、b的值；
(2)是否存在实常数
.
m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
. 专业word可编辑
. . . . .
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此 函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
. 专业word可编辑.
. . . . .
函数大题专练答案
２、对定义在
[0,1]
上，并且同时满足以下两个条 件的函数
①对任意的
x
②当
x
1
f(x)
称为G
函数。
[0,1]
，总有
f(x)
0,x
1
2
0
；
f(x
1
x
2
)f(x
1
)f(x
2
)
成立。
0,x
2
x
2
1时，总有
a2
x
已知函数
g(x)x
与
h(x)1是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
（2）若函数
h(x)
是
G
函数？并说明理由；
G
函数，求实数
a
的值；
x
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2
解：（1）当
当
x
1
1)
h
(
x
)
2
m(mR)
解的个数情况。
x
0,x
2
0,1
时，总有
g(x)
0,x
1
x
2
1
x0
，满足①，
x
2
2
1
时，
2x
1< br>x
2
x
2
1
g(x
1
x
2
)x
2
x
2
2
g(x
1
)g(x
2
)
，满足
h(0)+h(0) （2）因为h（x）为G函数，由①得，h(0)
所 以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1；
（3）根据（２）知：a=1，方程为
0
,由②得，h(0+0)
4
x
2
x
m
，
由
02
0
x
x
11
x1
t
得
x[0,1]
令
2[1,2]
，则
mt
2
t(t
1
2< br>)
2
1
4
由图形可知：当
m
当
m
[ 0,2]
时，有一解；
)
时，方程无解。
(,0)(2,
７．对于函 数
点。
（1）已知函数
.
f(x)
，若存在
x
0
R
，使
f(x
0
)x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动
f
(
x
)
ax
2
bxb
(
a
0)
有不动点（1，1）和（ -3，-3）求
a
与
b
的
. 专业word可编辑