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( 经典 ) 高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示
1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映
射
集合 A，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 A→B 的映射 f:(x,y)→(x
2
2
，求象
， 的原
(5 2)
+y ,xy)
象
.
1
3.已知集合 A 到集合 B＝｛ 0，1，2，3｝的映射 f:x→
x 1
，则集合素
A 中的元素最多有几个 ?写出元
最多时的集合 A.
2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域两
个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是
（
）
A、
f ( x)
lg x
, g( x) 2 lg x
2
B、
f ( x) lg
x 1
, g(x)
lg( x
1) lg( x
1)
x 1
C、
f (u)
1 u , g( v)
1 u
1 v
1 v
D、 f（x）=x， f (x)
x
2
M 到集合 2、
M
{ x | 0 x 2}, N { y | 0 y 3}
给出下列四个图形，其中能表示从集合
N 的函数关系的有
（）
A、 0个
y
B、 1个
y
C、 2个
y
3
D、3
个
y
2
1
O
2
2
1
O
2
1
O
1
O
1 2 x 1 2 x
1 2 x
1 2 x
二、函数的解析式与定义域
函数解析式的七种求法
待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例 1 设
f (x)
是一次函数，且
f [ f (x)]
4 x 3
，求
f (x)
配凑法：已知复合函数
f [ g (x)]
的表达式，求
f (x)
的解析式，
f [ g( x)]
的表达式容易配成
时，常用配凑法。但要注意所求函数
例 2 已知
f (x
g ( x)
的运算形式
f (x)
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
g( x)
的值域。
1
) x
2
x
1 ( x
0)
，求
f ( x)
的解析式
x
2
三、换元法： 已知复合函数
f [ g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
注意所换元的定义域的变化。
f ( x)
的解析式。与配凑法一样，要
例 3
已知
f (
x 1) x 2 x
，求
f ( x
1)
四、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例
4 已知：函数
y x
2
x与
y g( x)
的图象关于点
( 2,3)
对称，求
g ( x)
的解析式
五、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
解方程组求得函数解析式。 例 5
设
f ( x满足 f ( x 2 f (
1
)
x
g(x)
,
求
f ( x)
x
1
,
试求
f ( x)和g( x)
的解析
例 6 设
f (x)
为偶函数，
g( x)
为奇函数，又
f (x)
式
x 1
六、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可 以对具有“任意性”的变量进
行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例 7
已知：
f (0)
1
，对于任意实数
x、y，等式
f (x
y) f ( x) y( 2x y
1)
恒成立，求
f (x)
七、递推法： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加 、迭乘
或者迭代等运算求得函数解析式。
例 8
设
f (x)
是
N
上的函数，满足
f (1) 1
，对任意的自然数
a,b
都有
f (a)
f (b)
f (a b)
ab
，求
f (x)
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零； （ 4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
1；
6.（05 江苏卷）函数 y
log
0.5
(4 x
2
3x) 的定义域为
2 求函数定义域的两个难点问题
（ 1）
已知
f (x)的定义域是
[-2,5],
求 f(2x+3)
的定义域。
（2）
已知 f (2 x－1)的定义域是
[-1,3],
求 f( x ) 的定义域
例 2 设
f ( x)
lg
2 x
，则
f ( x)
2 x
2
f ( 2)
的定义域为
__________
x
变式练习：
f (2
x)
4 x
2
，求
f (
x )
的定义域。
三、函数的值域
1 求函数值域的方法
①直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合 函数；②换元法：利用换元法
将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运 用方程思想，依据二次方程有根，
求出 y 的取值范围；适合分母为二次且
x
∈ R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（ x 有范围限
制时要画图） ；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1．（直接法）
y
x
2
1
2x
2． f ( x)
3
2
24 2x
x
2
3．（换元法）
y
x
2x
1
4. （ 法）
y
3x
5.
y
x
2
4
x
2
1
6. (分离常数法 ) ①
y
x
2
1
x
x 1
②
y
3x
( 2
x
2x 1
x 1
1
4)
7. (单调性 )
y
x
3
(x
[
1,3])
8.①
y
2x
，②
1
x 1
x 1
y
x
1
9．(图象法 )
y
3 2 x
x
2
(
1 x
2)
10．(对勾函数
)
y
2x 8 ( x 4)
x
11. (几何意义 ) y x 2 x
四．函数的奇偶性
1．定义 :2.性质：
①y=f(x)是偶函数
1
y=f(x)的图象关于 y 轴对称 ,
y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称 ,
②若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则
f(0)=0
奇×偶=奇[两函数的定义域 D
1
，
2
，
1
∩
2
要关于原点对称
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶
D D D ]
3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称
②看 f(x)与 f(-x)的关系
1
已知函数
f (x)
是定义在
(
x ( 0,
)
时，
f ( x)
,
)
上的偶函数
.
当
x (, 0)
时，
f (x)
x
x
4
，则当
.
2 已知定义域为
R
的函数
f (x)
t
R ，不等式
f (t
2
2t ) f (2t
2
2
x
1
a
0
恒成立，求
k
的取值范围；
k)
f ( y) f (
2
x
b
是奇函数。（Ⅰ）求
a, b
的值；（Ⅱ）若对任意的
3 已知
f ( x)
在（－ 1，1）上有定义，且满足
x, y ( 1,1)有
f ( x)
x y
),
1
xy
证明：
f ( x)
在（－
1，1）上为奇函数；
4
若奇函数
f (x)( x
五、函数的单调性
R)
满足
f ( 2)
1
，
f ( x 2)
f (x)
f (2)
，则
f (5)
_______
1、函数单调性的定义： 2 设
y f g x
是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则
y f g x
f g x
在 M 上是增函数。
f (m) f ( n)
1
，并且当
x
在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则
y
2 例 函数
f (x)
对任意的
m,n
f ( x)
1
，
R
，都有
f (m n)
0 时，
⑴求证：
f ( x)
在
R
上是增函数；
3 函数
y log
0.1
(6
⑵若
f
(3)
4
，解不等式
f (a
2
a 5)
2
x 2x
2
)
的单调增区间是
________
4(高考真题 )已知 f (x)
(3a 1)x 4a, x 1
是
(
,
)
上的减函数，那么
a
的取值范围是
（A）
(0,1)
（B）
(0,
)
1
log
a
x, x
1
（C）
[
,
)
11
7 3
（D）
[
,1)
1
3 7
一：函数单调性的证明
1.取值 2，作差
二：函数单调性的判定，求单调区间
y x
2
3，定号 4，结论
2x 3
y x
2
2 x 3
y
x
2
5x 4
y
x
2
1
2x 3
x
4 x
2
2
2
y
log
2
( x
2
3 x 2)
y 1
2
y x
y
x
1
2x
y 1
x
2 1
x
5
y x
a
x
（ a
0 ）
a
x
（ a 0
）
三：函数单调性的应用 1.比较大小
f (2
f (4)
t) f (t
2)
，那么
A、
f ( 2)
例：如果函数
f ( x)
f (4)
x
2
bx
c
对任意实数
t
都有
f (4)
C、
f (2)
f (1)
B、
f (1)
f (2)
f (4) f (1)
C、
f (2) f (1)
2.解不等式 例：定义在（－ 1，1）上的函数
f ( x)
是减函数，且满足：
f (1 a)
围。 例：设
f ( a)
，求实数
a
的取值范
是定义在
上的增函数，
，且
，
求满足不等式
的 x 的取值范围 .
在
x 1
3.取值范围 例:? 函数
(3a
上是减函数 ,则
的取值范围是 _______．
1)x 4a
例：若 f ( x)
log
a
x
B.
(0,
)
3
x 1
是 R 上的减函数，那么
a
的取值范围是（
）
A.
(0,1)
1
C.
[
,)
7 3
11
D.
[
,1)
7
1
4. 二次函数最值 例：探究函数
f ( x)
x
2
2ax
1
在区间
0,1
的最大值和最小值。
例：探究函数
f ( x)
x
2
2x
1
在区间
a, a 1
的最大值和最小值。
5.抽象函数单调性判断
例：已知函数
f ( x)
的定义域是
(0,
)
，当
x 1 时，
f (x) 0
，且
f ( xy)
f (x)
f ( y)
⑴求
f (1)
，⑵证明
f ( x)
在定义域上是增函数
⑶如果
f (
1
)
1
，求满足不等式
f ( x)
3
f (
1
)
≥2
的
x
的取值范围
x
2
2
例：已知函数 f(x)对于任意 x， y∈R，总有 f(x)＋ f(y)＝ f(x＋y)，且当 x>0 时， f(x)<0， f(1)＝－
3
(1)求证： f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－ 3,3]上的最大值和最小值．
x
1
例：已知定义在区间 (0，＋ ∞)上的函数 f(x)满足 f(
＝ 时，
1
－
2
，且当
x>1
f(x )
)
f(x )
f(x)<0.
x
2
(1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性； (3)若 f(3)＝－ 1，解不等式 f(| x|)<－ 2.
六．函数的周期性：
1．（定义 ）若
f ( x
T )
期
.
f ( x)(T 0)
f (x)
是周期函数，
T
是它的一个周期。说明：
nT
也是
f (x)
的周
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