电桥法：数学建模-单摆的运动分析

2020年11月22日发(作者：尹右)










对大幅度单摆运动周期公式的研究






























摘要
单摆作为经典的力学模型，已被众多学者加以研究。多数关于单摆的研究都以摆
角小于5度为限，将单 摆运动周期近似拟合为在重力和绳拉力下合力的简谐运动
的周期。这阻碍了我们对单摆运动周期的进一步 探索。此次我们先用力学原理对
单摆运动做一般性分析，再通过数学手法简化运动公式，从而得出一般情 况下单
摆的周期公式，并使用插值法求解出最终结果。

关键字 大幅度 单摆运动 周期 公式

一问题重述
通常对于小幅度（θ≤5。）的单摆 运动周期可以近似拟用简谐运动周期公式求解。
现在我们试图探究如何求解大幅度单摆运动的周期，并推 导出近似公式。

二问题分析
单摆的摆球在重力，摆线拉力的联合作用下做大幅度 摆动（θ≥5。）。其运动轨
迹可以通过力学分析得到基本运动公式，并以此推导出周期公式。最后通过 数学
手段简化得出数学解析式。

三基本假设
1空气对单摆运动的阻力和 浮力是如此之小，以至于可以忽略且并不对问题的研
究产生交大影响。
2摆线是一根柔软且无弹性的轻线。

四符号说明
意义
小球质量
摆线长度
小球半径
重力加速度
摆角
时间

符号
m
L
r
g
θ
t
单位
kg
m
m
ms2
rad
s

角速度 ω rads

五模型建立和求解
1．模型建立
一个质量为 ｍ 的小球由一根轻质的长度为 Ｌ 的刚性细绳悬挂在一个固定的
支架上（小球 半球远远小于细绳长度），小球在重力的作用下可在垂直平面内来
回摆动（ 不考虑空气阻力），单摆的受力分析图如下：

2．模型的求解（即求解大幅摆角单摆运动周期的解析式）

由牛顿第二定律：


（１）
式（１）是关于θ（角位移）、ｇ（重力加速度）、l（摆长）的一般普遍公式。若给定初始条件，式（１）的任意精度的数值解是可以求出来的.当
式可由近似求解。但是当
5。
。由于误差增大，不能再由上述
近似条件求解。通过数值模拟求解的方法可得。 当单摆的摆动角度＞５°，由于系统的机械能守恒，从能量的观点出发也可以求
解单摆周期的精确解 ，这样就不需要详细讨论式（１）非线性微分方程。这时小
球运动的速度需要用θ来表示，选择质点运动 的轨迹的最低点为势能零点，初
始条件为:
θ
|
t=0
＝+
θ
0

|
t=0
＝０
由此可得：
(2)


对（2）式数学分析求解，由（2）式得：

（3）
上式中 ＋（－）表示质点逆时针（顺时针）摆动。
分离变量得摆动周期：
T=2
又
设, k=

（4）

则（4）式改写为：
T=2
（5）
其中|θ|<π，k<1。若给定一个摆动幅度（振幅），利用计算机编写程序对式（ ５）
进行数值模拟不难求出周期 Ｔ。无论怎样，这个计算比较麻烦的， 不能直接简
单地求解。
令

其在（0，内为

的单值函 数可选择（0,1）和（两点数据采用线
性内插法近似求解式(5)。用这个近似公式可以获得单摆的周 期公式, 这里
=
r（）=1-
,选取
(6)
里面去,我们可以找到K(k)的解用式(6)直线方程作线性内插应用到函数
析表达式:

(7)







与的关系及线性方程（7）图示。
将式（7）代入（5）可得

(8)

因为| |<π,< 0,所以>0。

求解完毕。

六推广与深化
对误差的分析
考虑到，周期公式的相对误差表示
| | (9)
可得
||