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( 经典 ) 高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示
1 、映射:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映
射
集合 A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从
A→ B 的映射 f:(x,y)
→ (x
2
+y
2
,xy) ,求象 (5 ,2)
的原象 .
3. 已知集合 A 到集合 B={0,1,2,3}的映射 f:x →
x 1
1
,则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素
最多时的集合 A.
2、函数。构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
1、下列各对函数中, 相同的是
A、
f ( x) lg x
, g( x) 2 lg x
2
B 、
f ( x) lg
x1
(
)
, g (x) lg( x 1) lg( x 1)
x
2
x
1
C、
f (u)
1
u
, g( v)
1
u
1
v
D 、f (x)=x, f ( x)
1
v
2、
M { x | 0
x 2}, N { y | 0
y
3}
给出下列四个图形,其中能表示从集合
N的函数关系的有
A、 0 个
B 、 1 个C
、 2 个D
、 3个
M到集合
(
)
y
y
2
1
O
y
y
2
1
O
3
2
1
O
2
1
O
1 2 x
1 2 x
1 2 x
1 2 x
二、函数的解析式与定义域
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
待定系数法: 在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 1
设
f (x)
是一次函数,且
f [ f ( x)]
4x
3
,求
f (x)
配凑法:已知复合函数
f [ g (x)]
的表达式,求
f (x)
的解析式,
f [ g( x)]
的表达式容易配成
时,常用配凑法。但要注意所求函数
例 2 已知
f (x
g ( x)
的运算形式
f (x)
的定义域不是原复合函数的定义域,而是
g( x)
的值域。
1
) x
2
x
1
( x
0)
,求
f (x)
的解析式
x
2
三、换元法: 已知复合函数
f [ g(x)]
的表达式时,还可以用换元法求
注意所换元的定义域的变化。
f ( x)
的解析式。与配凑法一样,要
例 3
已知
f (
x 1) x 2 x
,求
f ( x
1)
四、代入法: 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。例
4 已知:函数
y x
2
x与
y g( x)
的图象关于点
( 2,3)
对称,求
g(x)
的解析式
1
五、构造方程组法: 若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过
解方程组求得函数解析式。 例 5
设
f ( x满足 f ( x 2 f (
1
)
x
,
求
f ( x)
,
试求
f ( x)和g (x)
的解析
例 6
设
f (x)
为偶函数,
g( x)
为奇函数,又
f (x)
g( x)
1
式
x
1
六、赋值法: 当题中所给变量较多 ,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进
行赋值,使问题具体化、简单化,从而 求得解析式。
例 7
已知:
f (0)
1
,对于任意实数
x、y,等式
f ( x
y) f ( x) y(2x y 1)
恒成立,求
f (x)
七、递推法: 若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘< br>或者迭代等运算求得函数解析式。
例 8
设
f (x)
是
N
上的函数,满足
f (1) 1
,对任意的自然数
a, b
都有
f ( a)
f (b) f (a b)
ab
,求
f (x)
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零; ( 4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
1;
6. ( 05 江苏卷)函数 y log
0.5
(4 x
2
3x) 的定义域为
2 求函数定义域的两个难点问题
( 1)
已知
f (x)的定义域是
[-2,5],
求 f(2x+3)
的定义域。
(2)
已知 f (2 x-1)的定义域是 [-1,3],
求 f( x ) 的定义域
例 2 设
f ( x)
2
x x2
lg
,则
f (
) f (
)
的定义域为
__________
2 x
2
x
变式练习: f (2 x)
4 x
2
,求
f (
x )
的定义域。
三、函数的值域
1 求函数值域的方法
①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x) 的取值范围,适合于简单的复 合函数;②换元法:利用换元法
将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;③判别式法: 运用方程思想,依据二次方程有根,
求出 y 的取值范围;适合分母为二次且
x
∈ R 的分式;④分离常数:适合分子分母皆为一次式( x 有范围限
制时要画图);⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1.(直接法)
y
x
2
2. f ( x)
1
2 x 3
5.
y
4
2
24
2x
x
2
3 .(换元法)
y
x
2x 1
4. (
法)
y
3x
x
2
x
x
2
2
1
1
6. ( 分离常数法 ) ①
y
x
x 1
②
y
( 2 x
3x
2x
1
1
4)
7. (
单调性 )
y x
3
(x
2x
[ 1,3])
8.
①
y
1
x 1
x
,②
1
2
y
x 1
x 1
9
.( 图象法 )
y
4)
3 2x x
2
( 1 x 2)
10.(
对勾函
数) y
2x
8
x
(x
11. (
几何意义 ) y
x
2 x 1
四.函数的奇偶性
1.定义 :2. 性质:
①y=f(x) 是偶函数
y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 ,
y=f(x)
是奇函数
y=f(x) 的图象关于原点对
称,
②若函数 f(x) 的定义域关于原点对称,则
f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶
奇×奇=偶
偶×偶=偶 奇×偶=奇[ 两函数的定义域 D
1
,D
2
,D
1
∩D
2
要关于原点对
称]
3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称
②看 f(x)
与 f(-x) 的关系
1
已知函数
f (x)
是定义在
(
x
( 0,
)
时,
f ( x)
,
)
上的偶函数
.
当
x
(
, 0 )
时,
f ( x)
4
x
x
,则当
.
2
已知定义域为
R
的函数
f (x)
2
x
b
是奇函数。(Ⅰ)求
a,b
的值;(Ⅱ)若对任意的
t
R ,不等式
f (t
2
2t ) f (2t
2
2
x
1
a
k)
0
恒成立,求
k
的取值范围;
3
已知
f ( x)
在(-
1,1)上有定义,且满足
x, y
( 1,1)有 f ( x) f ( y)
证明:
f ( x)
在(-
1,1)上为奇函数;
4
若奇函数
f (x)( x
五、函数的单调性
f (
xy
),
1
xy
R)
满足
f (2)
1
,
f ( x 2)
f (x)
f (2)
,则
f (5)
_______
1、函数单调性的定义: 2 设
y f g
x
是定义在 M上的函数,若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反,则
y f g x
在 M上是减函数;若 f(x)
与 g(x) 的单调性相同,则
y
2
例 函数
f (x)
对任意的
m, n
f ( x) 1
,
f g x
在 M上是增函数。
f (m)
R
,都有
f (m n)
f (n) 1
,并且当
x
0 时,
⑴求证:
f ( x)
在
R
上是增函数;
3
函数
y
⑵若
f (3)
4
,解不等式
f (a
2
a
5)
2
log
0.1
(6
x 2x
2
)
的单调增区间是
________
4( 高考真题 ) 已知 f ( x)
(A)
(0,1)
(3a
1)x
4a, x
1
是
(
log
a
x, x
1
,
)
上的减函数,那么
a
的取值范围是
(B)
(0,
)
3
1
( C)
[
,
)
(D)
[
,1)
111
7
3
7
一:函数单调性的证明 1. 取值 2 ,作差
3 ,定号 4
,结论
3
二:函数单调性的判定,求单调区间
y x
2
2x 3
y x
2
2 x 3
y
x
2
5x 4
y
x
2
1
2x
3
x 4 x
2
y
2
y
log
2
( x
2
3 x
2)
y
1
2
y x
1
x
2
y
2x
1
x
2
1
x
5
y x
a
x
( a
0 )
a
x
( a
0 )
三:函数单调性的应用 1.
比较大小
f (2
f (4)
t) f (t
2)
,那么
A
、
f ( 2)
f (2)
f (1)
例:如果函数
f ( x) x
2
f (4)
B 、
f (1)
bx
c
对任意实数
t
都有
f (4) f (1)
C
、
f (1)
f (2)
f (4)
C、
f (2)
2. 解不等式 例:定义在(- 1,1)上的函数
f (x)
是减函数,且满足:
范围。 例:设
f (1
a)
f (a)
,求实数
a
的取值
是定义在
上的增函数,
,且
,
求满足不等式
函数
的 x 的取值范围 .
3. 取值范围 例:
例:若 f ( x)
在
上是减函数 , 则
的取值范围是 _______.
)
(3a
1)x
4a
log
a
x
x
B.
(0,
1
)
x 1
1
C.
是 R 上的减函数,那么
a
的取值范围是(
A.
(0,1)
3
[
1
,
1
)
7
3
2ax
D.
[
1
,1)
7
4. 二次函数最值 例:探究函数
f ( x) x
2
1
在区间
0,1
的最大值和最小值。
例:探究函数
f ( x)
x
2
2x
1
在区间
a, a
1
的最大值和最小值。
5. 抽象函数单调性判断
例:已知函数
f ( x)
的定义域是
(0,
)
,当
x
1 时,
f (x)
0
,且
f ( xy)
f (x)
f ( y)
⑴求
f (1)
,⑵证明
f ( x)
在定义域上是增函数
⑶如果
f ( )
1
)
≥2
的
x
的取值范围
3
x
2
例:已知函数 f ( x) 对于任意 x, y∈R,总有 f ( x) +f ( y) =f ( x+ y) ,且当 x>0 时, f ( x)<0 ,f (1) =
1
1
,求满足不等式
f ( x)
f (
2
-
3
.
4
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-
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