小学数学体系高一数学必修1基本初等函数的教材分析与建

2020年11月22日发(作者：安瑞凤)


高一数学必修1基本初等函数的教材分析与建议
一、课程标准
1．通过具体实例(如细胞的分裂，放射性元素的衰减，药物在人体内残留量 的变化等)，了解指数函数模型的
实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理 解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单
调 性与特殊点．
4．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
5 ．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，
了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．
6．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的 数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一
类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出 具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊
性．
7．知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1)．
的图象，了解它们的变化情8．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
况．
二、新旧教材比较

与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化，归纳起来有如下几点：
（ 1）以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近
无 理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”
的思想。
（2）以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对 数转化成自然对数
或常用对数。
（3）以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图 象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出
具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特 殊点。
（4）以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函 数的反函数；
这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只通过比较同底的指数 函数和对数函数，
说明指数函数y=
a
x
和对数函数y=log
a< br> x
互为反函数（a > 0,a≠1），不要求一般地讨论形式化的反函数定义，
也不要求求已知函数的反函数。
（5）以往教材不要求学习幂函数；这里要求通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x
2
, y=x
3
, y=1/x,
y=x
1/2
的图象，了解它们的变化情况。
（6）以往教材对指数 函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题的
过程中，体会指数函数 是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的 作用。
三、研读诠释
1．本章主要内容
本章主要学习有理指数幂的概念及运算性 质；对数的概念及运算性质．在此基础上分别从实际问题中抽
取出指数函数和对数函数模型，并分别研究 它们的图象及性质，另外还要学习幂函数的图象及
性质．
幂函数、指数函数、对数函数是重要 的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的
主要载体．特别是指数函数、对数函数 ，更是历届高考的重点、热点．从简单函数性质到复合函数知识，从
容易题到压轴难题，都可能以它们作 背景编拟．
2．本章内容的重点与难点
本章内容的重点是三种初等函数的概念、图象及性质 ．把指数函数、对数函数及幂函数的图象及性质之
间的内在联系搞清楚是本章的难点．
3．学习本章的方法与建议
本章是在上一章研究了函数的性质后研究了三种基本函数，学好 本章知识既是对前一章的复习与提高，
又为今后学习打下坚实的基础和培养良好的学习习惯创造条件．学 习本章的关键是从具体实例出发，正确认
识与运用指数、对数的概念和运算性质，指数函数、对数函数和 幂函数的概念、图象、性质和简单的实际应

用，探讨函数所具有的共同特征，运用科学的方法研究函数的性质．
4．应用的思想与方法
对本章内容的学习要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察、归纳得出一般图象及性质．这
种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．要深刻理解和掌握利用变化的观点处理问题，培养 函
数的思想、方程的思想、化归思想和数形结合思想．
5.注重学用结合
本章学 习的基本内容为三个基本初等函数(指数函数、对数函数和幂函数)及其基本性质运用它们解决一
些实际 问题．任何数学模型都是以大量的实际例子为现实原型的．因此，教学时要充分注意从实际例子中观
察、 抽象概括并建立数学模型，同时要注意把数学模型应用到实际问题中去．

3.1.1 有理指数幂及其运算（2课时）
知识线索：
整数指数幂－分数指数幂－无理指数幂；
教学难点：
根式的概念是教学的一个难点 ，但它是后续学习所必需的．将指数幂运算性质的适用范围从整数集推广
到实数集的过程中，可能遇到的 困难是对分数指数幂意义的了解，特别是对无理数指数幂意义的了解．
整数指数幂：
教材处理方法：温故知新，从初中的整数指数幂出发； 数值验算，通过具体实例理解幂的运算法则；合
理规定，如 .
教学注意点：熟悉运算法则，语言叙述，学会转化，活用公式（正用、逆用、变用、活用）。
分数指数幂：
教材处理特点：以旧引新，从平方根、立方根到n次方根；
学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整
数 指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，
说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无< br>理指数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．说明了引进分数指数幂和
无理指数幂的必要性，并且为指数函数的图象是连续不断的曲线现实背景．对比类推，除了教科书上的例 子，
建议再为学生提供一些实例，经过比较获得结论.
教学时，要让学生充分体会 “当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数”，这时学
生最容易犯错误．回归定义， 从方根定义出发，探讨根式的性质(P
87
);教学中要提醒学生，一般地合理规定, 通过具体实例说明分数指数幂与根式之间的转化公式的合理性、科学性，并由此推广将整数指数幂到有理指数< br>幂。
教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算．一 般可将根式
化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算．分数指数幂的教学要解决三个问题： 规定分数指数
幂的意义；学会根式与分数指数幂之间的相互转化；了解分数指数幂的运算性质．
引进分数指数幂，不是为了进行根式的运算，只是为了熟悉和掌握分数指数幂概念，所以有关根式的性
质的变形运算及繁琐的根式化简等都不必多练．合情推理，不足近似值、过剩近似值的介绍，关于对任意实
数值 有理指数幂的运输性质和法则仍成立。

计算器的应用是新课标的一个特色，教学中应适当地加以整合。
渗透的思想:
本 节安排的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有
理指数幂逼近无理指数幂)，数形结合的思想(用指数函数的图象探究指数函数的性质)等．逼近思想的应用是< br>新课标的一个新增的一个内容，应让学生有所了解。 指数幂的教学，要在回顾整数指数幂的概念及其运算 性
质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进 一步
体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼 近”过程.
主要题型:
1、 指数幂的运算，有理指数思维提示：准确运用性质、注意选择解法、使过程简洁。
(1)指数幂的一 般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒
数．底数是负数 ，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可
能用幂的形式 表示，便于用指数运算性质．
(2)根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性 质进行运算．在将根式化为分数指数
幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运 算性质准确求解．
2、指数幂运算的条件求值 思维提示：采取“整体代换”或“求值后代换”
3、指数幂运算的综合应用如化简