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数学动脑筋题必修1高一数学对数与对数函数

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 12:44
tags:对数函数, 数学, 高中教育

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2020年11月22日发(作者:羊晓东)

高一数学——对数与对数函数
一、本次课教学目标

1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、
换底公式与自然对数;
2. 掌握对数函数的概念、图象和性质.
二、考点、热点回顾
知识点一、对数及其运算

我们在学习过程遇到2
x
=4的问题 时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2
x
=3时,我们就无法
用已学过的知识来 解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1. 如果
对数的底
数,N叫做真数.
,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:log
a
N=b.其中a叫做
2. 对数恒等式:
3. 对数
(1)0和负数没有对数,即
(2)1的对数为0,即
(3)底的对数等于1,即
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,
.

具有下列性质:


.
.以e为底的对数叫做自然对数,
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的< br>关系可由下图表示.


1


由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
(四)积、商、幂的对数
已知
(1)
推广:




(2)
(3).

(五)换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有:
(1)
, 即, 令 log
a
M=b, 则有a
b
=M, (a
b
)
n
=M
n
,即
即:.
(2)

,令log
a
M=b, 则有a
b
=M, 则有
即, 即,即
当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某 些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)
还可以得到一个重要的结论:
.
知识点二、对数函数

1. 函数y=log
a
x(a>0,a≠1)叫做对数函数.
2. 在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0<a<1时,对


2

数函数的图
象随a的增大而远离x轴.(见图1)

(1)对数函数y=log
a
x(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R
(2)对数函数y=log
a
x(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)
(3)当a>1时,
三、规律方法指导

容易产生的错误
(1)对数式log
a
N=b中各字母的取值范围(a>0 且a≠1, N>0, b∈R)容易记错.
(2)关于对数的运算法则,要注意以下两点:
一 是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式
才能成立. 如:log
2
(-3)(-5)=log
2
(-3)+log
2(-5)是不成立的,因为虽然log
2
(-3)(-5)是存在的,但log
2
(-3)与
log
2
(-5)是不存在的.
二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是
错误的:
log
a
(M±N)=log
a
M±log
a
N,
log
a
(M·N)=log
a
M·log
a
N,
loga.
(3)解决对数函数y=log
a
x (a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.
(4)关于对数式log
a
N的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经
常出错.下面介绍 一种简单记忆方法,供同学们学习时参考.
以1为分界点,当a, N同侧时,log
a
N>0;当a,N异侧时,log
a
N<0.



三、典型例题
类型一、指数式与对数式互化及其应用

1.将下列指数式与对数式互化:


3

(1);(2);(3);(4);(5);(6).
思路点拨:运用对数的定义进行互化.
解:(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化 又是解
决问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:(1)
(2)
(3)10
x
=100=10
2
,于是x=2;
(4)由


.
类型二、利用对数恒等式化简求值

2.求值:
解:
总结升华:对数恒等式
其值为真数.

举一反三:
【变式1】求
.
中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③
的值( a,b,c∈R
+
,且不等于1,N>0)
思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
解:.
类型三、积、商、幂的对数




3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.
4
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解:(1)原式=lg3
2
=2lg3=2b
(2)原式=lg2
6
=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b
(4)原式=lg2
2
+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a
(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三:
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)
2
(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)
2

解:(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)
2
=lg2+lg2lg5+ (lg5)
2
=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)
2

=2lg 5+lg2+lg2lg5+(lg2)
2
=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+l g5+lg2=2.
【变式2】已知3
a
=5
b
=c,,求c的值.
解:由3
a
=c得:
同理可得
.
【变式3】设a 、b、c为正数,且满足a
2
+b
2
=c
2
.求证:.
证明:
.
【变式4】已知:a
2
+b
2
=7ab,a>0,b>0. 求证:.
证明:∵ a
2
+b
2
=7ab, ∴ a
2
+2ab+b
2
=9ab,即 (a+b)
2
=9ab, ∴ lg(a+b)
2
=lg(9ab),
∵ a>0,b>0, ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb


5






























.
类型四、换底公式的运用

4.(1)已知log
x
y=a, 用a表示;
(2)已知log
a
x=m, log
b
x=n, log
c
x=p, 求log
abc
x.
解:(1)原式=
(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.
方法一:a
m
=x, b
n
=x, c
p
=x
∴,

∴ ;
方法二:
举一反三:
【变式1】求值:(1)
解:(1)


;(2);(3)
.
.

(2);
(3)法一:
法二:.
总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于0 不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,
一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常 用对数也可.


6

类型五、对数运算法则的应用

5.求值
(1) log
8
9·log
27
32
(2)
(3)
(4)(log
2
125+log
4
25+log
8< br>5)(log
125
8+log
25
4+log
5
2 )
解:(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log
2
125+log
4
25+log< br>8
5)(log
125
8+log
25
4+log
5
2)

举一反三:
【变式1】求值:
解:
另解:设 =m (m>0).∴ ,
∴ ,∴ ,
∴ lg2=lgm, ∴ 2=m,即.
【变式2】已知:log
2
3=a, log
3
7=b,求:log
42
56=?
解:∵ ∴,


7

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