初一数学同步(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数2.3指数与指数函数讲义

2020年11月22日发(作者：黄应淳)
§2.3 指数与指数函数
考纲解读

考点
指数与指数函数
内容解读
1.比较幂的大小
2.指数函数图象和性
质的运用
要求
B
五年高考统计
常考题型 预测热度
2013 2014 2015 2016 2017



分析解读 指数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.
五年高考
考点 指数与指数函数
xyz
1.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x ,y,z为正数,且2=3=5,则2x,3y,5z的大小关系为 (用“<”
连接).
答案 3y<2x<5z
2.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为 .

7题 19题
5分 16分

填空题
★★☆
解答题
答案 {x|-1|x-m|
3.(2015天津改编 ,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2-1(m为实数)为偶函数.记
a=f(log
0.5
3),b=f(log
2
5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 .
答案 b>a>c
x
4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)= a+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
答案 - < br>xx
5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1 ,b≠1).
(1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解析 (1)因为a=2,b=,
x-x
所以f(x)=2+2.
x-xx2x
①方程f(x)=2,即2+2=2,亦即(2)-2×2+1=0,
x2x
所以(2-1)=0,于是2=1,解得x=0.
2x-2xx-x22
②由条件知f(2x)=2+2=(2+2)-2=(f(x))-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤对于x∈R恒成立.
而=f(x)+≥2=4,且=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
00
(2)因为函数g(x)=f(x)-2 只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a+b-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点.
xx
由01知ln a<0,ln b>0,因为g'(x)=aln a+bln b,

1
所以g'(x)=0有唯一解x
0
=lo
xx
.
x2x2
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(aln a+bln b)'=a(ln a)+b(ln b),
从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当x∈(-∞,x
0
)时,g'(x)0
)=0;当 x∈(x
0
,+∞)时,g'(x)>g'(x
0
)=0.
因而函 数g(x)在(-∞,x
0
)上是单调减函数,在(x
0
,+∞)上是单调增 函数.
下证x
0
=0.
若x
0
<0,则x
0< br><<0,于是ga
2)=+-2>-2=0,且函数g( x)在以和log
a
2为端点
的闭区间上的图象不间断,所以在和log
a< br>2之间存在g(x)的零点,记为x
1
.因为0a
2<0.
又<0,所以x
1
<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾. < br>若x
0
>0,同理可得,在和log
b
2之间存在g(x)的非0的零 点,矛盾.
因此,x
0
=0.
于是-

=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点 指数与指数函数
x-x2
1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f (x)=e-e+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x)>2,则实数
x的取值 范围是 .
答案 (-1,3)
|x-a|
2.(2018江苏金陵中学 高三月考)已知函数f(x)=e(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取
值范围是 .
答案 (-∞,1]
2x
3.(苏教必1,三,1,3,变 式)若函数y=(a-1)在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是 .
答案 (-,-1)∪(1,)
4.(2016江苏苏州一模,11)函数f(x)=的值域为 .
答案 (-∞,1]
x-x
5.(2017江苏苏州期中,15)已知函数f(x)=3+λ·3(λ∈R).
(1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集;
(2)当x∈[0,2]时,不等式f(x)≤6恒成立,求实数λ的取值范围.
x-x
解析 (1)∵f(x)=3+λ·3为奇函数,
-xxx-xx-xx-x x-x
∴f(-x)+f(x)=3+λ·3+3+λ·3=(3+3)+λ(3+3)=(λ+1)( 3+3)=0,
x-x
∵3+3>0,∴λ+1=0,即λ=-1.
x-x
此时f(x)=3-3,
x-xx2x
由f(x)>1,得3-3>1,即(3)-3-1>0,
解得3<

x
(舍)或3>
x
,即x>log
3
.
2