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考点 29 基本不等式
一、选择题
1. （ 2013·重庆高考理科·Ｔ 3）
(3 a)(a 6)( 6 a 3)
的最大值为 ()
A.
9
B. C.
3
D.
2
93 2
2
【解题指南】
直接利用基本不等式求解
【解析】 选 B. 当
a
时,
(3 a)(a 6)
.
0
，当
a 6,
即
a
6
或
a 3
时,
(3 a)(a 6)
6 a 3
3 a a 6
2
9
, 当且仅当
3 a
3
时取等号 .
2 2
22
满足 x-3xy+4y -z=0.
2. （2013 ·山东高考理科·Ｔ 12）设正实数
x,y,z
xy21
2
则当 取得最大值时，
的最大值为（）
z
A.0
B.1
C.
9
4
x y z
D.3
【解题指南】 此题可先利用已知条件用
x,y 来表示 z ，再经过变形，转化
2 1
，进而再利用基
x y z
为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入
2
本不等式求出
21
x y z
2
的最值 .
z
0
，得
z
【解析】 选 B. 由
x
2
3xy 4 y
2
所以
x
2
3xy 4y
2
.
xy
z
x
2
xy
3xy
4 y
2
x
y
1
4 y
x
3
2
x
1
，当且仅当
1
x
4y
x
，即
x
2 y
时
4 y 3
y x
y
取等号此时
z
2 y
2
，
1
1
1
2 y
2
2
(
xy
z
)
max
1
.
2
1 2
x y z
2 1 2
2 y y xy
2
(1 1
)
x
2
(1 1
)
4
2 y
2 y
1
.
y y
3. （ 2013·山东高考文科·Ｔ 12）设正实数
x, y, z
满足
x
2
3xy
4 y
2
z
0
，
z
则当
取得最大值时，
x 2 y
z
的最大值为（）
xy
A.0B.
C.2D.
9
9
8 4
【解题指南】 此题可先利用已知条件用
x,y
来表示 z ，再经过变形，转化
x 2y z
，进而再利用基
为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入
本不等式求出
x
2 y
z
的最值
.
【解析】 选 C. 由
x
2
3xy
4 y
2
z 0
，得
z
x
2
所以
3xy 4y
2
.
z
xy
x
2
3xy
4y
2
xy
x
4 y 3 2 x 4 y 3
y
x
y x
2 y
2
，
1
，当且仅当
x 4 y
y x
，
即
x 2 y
时取等号此时
z
2
所以
x 2 y z 2y 2 y 2 y
2
4 y
2 y
2
2 y 2 y 2
y 2 y
2
，
2
当且仅当 y=2-y 时取等号 .
4. (2013 ·福建高考文科· T7) 若 2
x
+2
y
=1, 则 x+y 的取值范围是
A．
0,2
B．
2,0
C．
2,
D．
, 2
(
)
【解题指南】 “一正二定三相等”
, 当题目出现正数 , 出现两变量 , 一般而
言, 这种题就是在考查基本不等式 .
【解析】 选 D.
2
2
x y
1
≤ 2 +2 =1, 所以 2 ≤ , 即 2
x+y
≤ 2
-2
, 所以 x+y ≤ -2.
xyx+y
4
二、填空题
5. （ 2013·四川高考文科·Ｔ 13）已知函数
f ( x) 4x
a
( x
0,a
0)
在
x 3
时
x
取得最小值，则
a
____________ 。
【解题指南】 本题考查的是基本不等式的等号成立的条件， 在求解时需要
找到等号成立的条件，将
x
3
代入即可
.
a
【解析】 由题
f ( x)
4x
(x
0, a
0)
，根据基本不等式
4x a
4 a
，当且仅
x
x
当
4x
a
x
时取等号，而由题知当
x
3
时取得最小值，即
a
36
.
【答案】 36
6. （ 2013·天津高考文科·Ｔ
14）设 a+b=2, b>0, 则
1 | a |
b
的最小值为 .
2 | a |
【解题指南】 将
| a |
中的
1
1
2 | a | b
由
a
+
b
代换，再由均值不等式求解
.
【解析】 因为
a
+
b
=2,
b
>0，所以
1
2 | a |
| a | a b | a |
b
4 | a | b
a b | a |
b 4| a | 4 | a |
a
4 | a |
2
b
4| a |
| a |
a
4| a |
1
，当且仅当
b
| a |
b
时等号成立， 此时
a 2
，或
a
2
，
b 4 | a | 3
若
a
2
，则
a
4 | a |
1
3
，若
a
2
3
，则
a
4| a |
1 5
.
所以
4
1 | a |
3
的最小值为
.
【答案】
3
4
2 | a | b
4
4
7. （ 2013·天津高考理科·Ｔ 14）设 a+b=2,b>0, 则当 a=时 ,
1
2 | a |
| a |
取得
b
最小值 .
【解题指南】 将
| a |
中的
1
2 | a | b
1
由
a
+
b
代换，再由均值不等式求解
.
【解析】 因为
a
+
b
=2,
b
>0，所以
1
2 | a |
| a | a b | a |
b
4 | a | b
a
b | a |
b
4| a | 4 | a |
a
4 | a |
2
4| a |
b | a |
b
1
，当且仅当
b
4| a |
4 | a |
a
| a |
b
时等号成立， 此时
a 2
，或
a
2
，
3
若
a
2
，则
a
1
3
，若
a
2
，则
a
4 | a |
4 3
4 | a |
1 5
.
所以
1
4
2 | a |
| a |
b
取最小值时，
a
2
.
【答案】 -2
8. （ 2013·上海高考文科· T13）设常数 a＞ 0. 若
9x
a
2
x
a
1
对一切正实
数 x 成立，则 a 的取值范围为 .
【解析】 考查均值不等式的应用，
由题意知，当 x
0时 , f (x) 9x
a
2
x
2 9 x
a
2
x
6a a 1 a
1
5
【答案】
[
, )
1
5
9. （ 2013·陕西高考文科·Ｔ 14）在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建一个
面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ), 则其边长
x
为(
m
).
【解题指南】 设出矩形的高 y，由题目已知列出
x
，
y 的关系式，整理后利
用均值不等式解决应用问题
.
【解析】 设矩形高为 y, 由三角形相似得 :
x 40 y
40
, 且x 0, y 0, x 40, y 40
40
40 x y 2 xy, 仅当 x
y 20时，矩形的面积 s
xy取最大值 400
.
【答案】 20.
2014 年全国高考理科数学试题：不等式选讲
一、填空题
1．（ 2014 年广州数学（理）试题）不等式
x 1
x 2 5
的解集为。
2
a,b, m, n R a
设，且
)
2．（ 2014 年高考陕西卷（理）） ( 不等式选做题
b
2
5, ma nb 5
，
则
m
2
n
2
的最小值为 ___________________
3．（ 2014 年高考江西卷（理））对任意
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4．（ 2014 年高考安徽卷（理）若函数
A.5 或 8B.
5. （ 2014
x, y R
,
x 1 x
y 1
y 1
的最小值为（）
f ( x)
x
1 2x
a
的最小值
3 ，则实数
a
的值为（）
1
或
5C.
1
或
4
D.
4
或
8
年 高 考 湖 南卷 （ 理 ） 若 关 于 x
的 不 等 式
ax
2
3
的 解 集 为
x |
5
3
x 1
， 则
3
a=_________________
6. （ 2014
年 高 考 重 庆 卷 （ 理 ） 设 函 数
f(x)
＝ ｜ x － 1 ｜ ， 则 不 等 式
f (x) 1
的 解 集 为
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