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数学周期问题川高考数学试卷 理科 含答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 13:17
tags:高考, 高中教育

-

2020年11月22日发(作者:严宽)
2014年四川省高考数学试卷(理科)


一、选择题:本大题共10小 题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分) (2014?四川)已知集合A={x|x
2
﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( )
A. { ﹣1,0,1,2} B. {﹣2,﹣1,0,1} C. {0,1} D. {﹣1,0}

2.(5分)(2014?四川)在x(1+x)
6
的展 开式中,含x
3
项的系数为( )
A. 3 0 B. 20 C. 15 D. 10

3.(5分)(2014?四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图 象,只需把y=sin2x的图象上所有的点( )
A. B.
向左平行移动个单位长度 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动1个单位长度 D.向 右平行一定1个单位长度

4.(5分)(2014?四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A. B. C. D.
> < > <

5.(5分)(2014?四川)执行如图 所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6.(5分)(2014?四川)六个人从左至右排成一 行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A. 1 92种 B. 216种 C. 240种 D. 288种

7.(5分)(2014?四川)平面向量 =(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,
则m=( )
A. ﹣ 2

B. ﹣1 C. 1 D. 2
8.(5分)(2 014?四川)如图,在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC
1
上,
直线OP与 平面A
1
BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )

A.
[,1]
B.
[,1]
C.
[,]
D.
[,1]

9.(5分)(2014?四川)已知f(x)=ln(1+x)﹣l n(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f()=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是( )
②③
A.


②③
B.

①③
C.
①②
D.
10.(5分)(2014?四川)已知 F为抛物线y
2
=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,
中O为坐标原 点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. 2 B. 3 C.


二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)(2014?四川)复数= _________ .
?=2(其
D.


12.(5分)(2014?四川)设f( x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)
=,则f()= _________ .

13.(5分)(2014?四川)如图,从气球A上测得正前 方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高
是46m,则河流的宽度BC约等于 _________ m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈,cos67°≈,< br>sin37°≈,cos37°≈,≈)


14.(5分)(2014? 四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|?|PB|的最大值是 _________ .

15.(5分) (2014?四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ
1
(x)=x
3
,φ
2
(x)
=sinx时,φ
1
(x)∈A,φ
2
(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义 域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x) 的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)?B.
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16 .(12分)(2014?四川)已知函数f(x)=sin(3x+
(1)求f(x)的单调递增区间 ;
(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+
).
)cos2α,求cosα﹣sinα的值.

17.(12分)(2014?四 川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,
要么不出现音 乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100
分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐 相互独
立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现 .若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统
计的相关知识分析分数减少 的原因.

18.(12分)(2014?四川)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如 图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,
P为线段BC上的点,且MN⊥NP.

(1)证明:P是线段BC的中点;
(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.

19.(12分)(2014?四川)设等差数列{a
n
}的公差为d,点(a
n
,b
n
)在函数f(x)=2
x
的图象上(n∈N
*< br>).
(1)若a
1
=﹣2,点(a
8
,4b
7)在函数f(x)的图象上,求数列{a
n
}的前n项和S
n

(2)若a
1
=1,函数f(x)的图象在点(a
2
,b
2
)处的切线在x轴上的截距为2﹣

20.(13分)(2014?四川)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
,求数列{}的前n项和Tn

成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
②当最小时,求点T的坐标.

21.(14分)(2014?四川)已知函数f(x)=e
x
﹣ax
2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.


2014年四川省高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析


一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2014?四川)已知集合A={x|x
2
﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( )
A. { ﹣1,0,1,2} B. {﹣2,﹣1,0,1} C. {0,1} D. {﹣1,0}

考点: 交集及其运算.
专题: 计算题.
分析: 计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.
解答: 解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,
∴A∩B={﹣1,0,1,2}.
故选:A.
点评: 本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本 考查题,
一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.

2.(5分)(2014?四川)在x(1+x)
6
的展开式中,含x
3项的系数为( )
A. 3 0 B. 20 C. 15 D. 10

考点: 二项式系数的性质.
专题: 二项式定理.
分析:
利用二项展 开式的通项公式求出(1+x)
6
的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x
2< br>的系数.然后求解
即可.
解答:
解:(1+x)
6
展开式 中通项T
r+1
=C
6
r
x
r

令r= 2可得,T
3
=C
6
2
x
2
=15x
2< br>,
∴(1+x)
6
展开式中x
2
项的系数为15,
在x(1+x)
6
的展开式中,含x
3
项的系数为:15.
故选:C.
点评: 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.

3.( 5分)(2014?四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的 点( )
A. B.
向左平行移动个单位长度 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动1个单位长度 D.向 右平行一定1个单位长度

考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析:
根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
解答:
解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所 有的点向左平行移动个单位长度,
即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,
故选:A.
点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

4.(5分)(2014?四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.

B.

C.

D.


考点: 不等式比较大小;不等关系与不等式.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 利用特例法,判断选项即可.
解答: 解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,
则,,∴A、B不正确;
,=﹣,
∴C不正确,D正确.
故选:D.
点评: 本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.

5.(5分)(2014?四川 )执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )

A. 0 B. 1

考点: 程序框图.
专题: 计算题;算法和程序框图.
分析:
算法的功能是求可行域
标,求出最大值.
解答:
解:由程序框图知:算法的功能是求可行域
画出可行域如图:
内,目标还是S=2x+y的最大值,
C. 2 D. 3
内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐

当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.
故选:C.
点评: 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.

6.(5分)(2014?四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端 不能排甲,则不同的排法共有( )
A. 1 92种 B. 216种 C. 240种 D. 288种

考点: 排列、组合及简单计数问题.
专题: 应用题;排列组合.
分析: 分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.
解答:
解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,
根据加法原理可得,共有120+96=216种.
故选:B.
点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.

7.(5分) (2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=( )
A. ﹣ 2 B. ﹣1 C. 1 D. 2

考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析:
由已知求出向量 的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解
方程可得答案.
解答:
解:∵向量=(1,2),=(4,2),

又∵

=m+=(m+4,2m+2),
与的夹角等于与的夹角,
=,


=,
=,
解得m=2,
故选:D
点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.

8.(5分)(2014? 四川)如图,在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC
1
上,
直线OP与平面A< br>1
BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )

A.
[,1]
B.
[,1]
C.
[,]
D.
[,1]

考点: 直线与平面所成的角.
专题: 空间角.
分析:
由题意可得:直线OP于平面A
1
BD所成的角α的取值范围是利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.
解答:
解:由题意可得:直线O P于平面A
1
BD所成的角α的取值范围是
不妨取AB=2.
在Rt△AOA
1
中,==.
∪.再
∪.
sin∠C< br>1
OA
1
=sin(π﹣2∠AOA
1
)=sin2∠AOA
1
=2sin∠AOA
1
cos∠AOA
1
=
=1 .
∴sinα的取值范围是
故选:B.



点评: 本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.

9.(5分)(2014?四川)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈ (﹣1,1).现有下列命题:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f()=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是( )
②③ ①③ ①②
A.


②③
B. C. D.

考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据已知 中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答
案.
解答: 解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),
∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;
f(
2
)=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln()=ln[()
]=2ln( )=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;
当x∈[0,1)时,|f( x)|≥2|x|?f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2 x(x∈[0,
1))
∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g (x)=f(x)﹣2x≥g(0)=0,
又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以丨f(x)丨≥2丨x丨成立,故③正确;
故正确的命题有①②③,
故选:A
点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.

10.(5分)(2014?四川)已知F为抛物线y
2
=x的焦点,点A,B在该抛 物线上且位于x轴的两侧,
中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. 2 B. 3 C.

?=2(其
D.


考点: 直线与圆锥曲线的关系.
专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及
消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.
?=2
解答:
解:设直线AB 的方程为:x=ty+m,点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),直线AB与x轴的交点为M((0,m),

∵?
?y
2
﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y
1
?y
2
=﹣m,
=2,∴x
1
?x
2
+y
1
?y
2
=2,从而,
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y
1
?y
2
=﹣2,故m=2. < br>不妨令点A在x轴上方,则y
1
>0,又
∴S
△ABO
+S< br>△AFO
=

=.
当且仅当,即时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.
点评: 求解本题时,应考虑以下几个要点:
1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利 用韦达定理与已知条件消元,这是处理此
类问题的常见模式.
2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.
3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)(2014?四川)复数= ﹣2i .

考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.
解答:
解:复数===﹣2i,
故答案为:﹣2i.
点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.

12.(5分)(2 014?四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)
=,则f ()= 1 .

考点: 函数的值.
专题: 计算题.
分析:
由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.
解答: 解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,
∴=1.
故答案为:1.
点评: 本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住 ,在高考
中,属于“送分题”.

13.(5分)(2014?四川)如图,从气 球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高
是46m,则河流的 宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈,cos67°≈, sin37°≈,
cos37°≈,≈)


考点: 余弦定理的应用;正弦定理;正弦定理的应用.
专题: 应用题;解三角形.
分析: 过A 点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.
解答: 解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,
则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m
∴CD==46≈.
=≈ 又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD=
∴BC=CD﹣BD=﹣=≈60m
故答案为:60m

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