三年级数学分数接天莲叶无穷碧,映日荷花别样红——对2014年四川省高考数学卷理科第20题的拓展研究

2020年11月22日发(作者：倪岳)
教学　
参谋　新颖试题　２０１４年９月　
接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红　
——
对２０１４年四川省高考数学卷理科第２０题的拓展研究　
◎江苏省海安县立发中学朱函 颍　
一
、
试题再现　
（２０１４年四川省高考数学卷理科第２０题）已　当直线ＪＰＱ的斜率不存在时，易得ＯＴ：￣－分线段ＰＱ；　
当直线ＰＱ的斜率存在时，设ＰＯ： ｙ＝　（Ｘ－－Ｃ）（ｋ≠０），　
由　
【ｙ＝　（　一ｃ），　
题目　
＋　
知椭圆ｃ：　十　＝ｌ（ｎ＞６＞０）的焦距为４，其短轴的两个端　
旷　ｂ　
ｎ　） ｘ２－２ｋ２￣ｃｘ＋ａＺ（ｋ２ｃ。一６　）　
＝
点与长轴的一个端点构成正三角形．　（１）求椭圆Ｃ的标准方程．　
（２）设Ｆ为椭圆ｃ的左焦点，　为直线　＝一３上任意一　
点，过焦点腓　的垂线交椭圆ｃ于点Ｐ、Ｑ．　
　１１　
０，必有△＝４ａ２ｂ　（１＋ｋ　 ）＞０，　
，　
Ｌ／　
　●
所　
①证明Ｄ砰分线段ＰＱ；②当　ｌ　Ｙ　Ｉ　
最小时，求点　的　
坐标．　
本题综合考查了圆锥曲线，涉及的知识 点有求标准　
方程、证明平分线段、线段长度的比值的最值问题及求　
点的坐标等，体现了数形 结合、方程等数学思想．试题难　
度适中，题目新颖，能较全面地检查学生对平面解析几　
何的 学习水平．　
．　
２　２　
对于第（１）问，易求得椭圆ｃ的标准方程为　＋冬＝　０ 　Ｚ　
１．第（２）问中的条件“直线Ｘ－－一３”恰是椭圆Ｃ的准线，笔者　
考虑，可否将第 （２）问中的条件和第①问中的结论一般　
化呢？下面笔者将此拓展整理成文，以供参考．　
二 、拓展研究　
结论１设Ｆ为椭圆ｃ：　＋　：１　ａ＞６＞０）的一个焦　
ｂ‘　
点， 直线ｚ是对应于焦点Ｆ的准线，　为ｚ上任意一点，过焦　
点腓　韵垂线交椭圆ｃ于点Ｐ、Ｑ，则Ｄ砰分 线段Ｐｐ．　
证法一：（设直线）不妨设Ｆ为椭圆ｃ：　＋　：１（ｏ＞６＞　
旷　ｂ‘　一
２　
０）的右焦点，如图１，则　ｃ，０），右准线方程为　＝　．　
将等一吾 ＿１两边对　求导’得警一　０＇目　＝　．　
而Ｐ（粕，ｙ０）关于　轴的对称　￣＃ｒｇＰ　（　－ ｙｏ），所以双曲　
２ｘ
线在Ｐ，（　—ｙ０）处切线的斜率为一—ｂ
ｏ
结论 得证．　
－
瑶　ｑ　
．
学（上），２０１０（７）．　
２范宗标．一 道高考模拟题的探究教学与反思［Ｊ］．中　
学数学研究（上），２００６（１０）．　
３王泳 彩．圆锥曲线的一个统一性质的探究与引申　
参考文献：　
１．邵秀丽．一道湖北高考试题的引 申探究［Ｊ］．中学数　
［Ｊ］．中学教研，２０１２（４）．皿　
中　？敷．？高中版