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教学
参谋 新颖试题 2014年9月
接天莲叶无穷碧,映日荷花别样红
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对2014年四川省高考数学卷理科第20题的拓展研究
◎江苏省海安县立发中学朱函 颍
一
、
试题再现
(2014年四川省高考数学卷理科第20题)已 当直线JPQ的斜率不存在时,易得OT: ̄-分线段PQ;
当直线PQ的斜率存在时,设PO: y= (X--C)(k≠0),
由
【y= ( 一c),
题目
+
知椭圆c: 十 =l(n>6>0)的焦距为4,其短轴的两个端
旷 b
n ) x2-2k2 ̄cx+aZ(k2c。一6 )
=
点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C的标准方程.
(2)设F为椭圆c的左焦点, 为直线 =一3上任意一
点,过焦点腓 的垂线交椭圆c于点P、Q.
11
0,必有△=4a2b (1+k )>0,
,
L/
●
所
①证明D砰分线段PQ;②当 l Y I
最小时,求点 的
坐标.
本题综合考查了圆锥曲线,涉及的知识 点有求标准
方程、证明平分线段、线段长度的比值的最值问题及求
点的坐标等,体现了数形 结合、方程等数学思想.试题难
度适中,题目新颖,能较全面地检查学生对平面解析几
何的 学习水平.
.
2 2
对于第(1)问,易求得椭圆c的标准方程为 +冬= 0 Z
1.第(2)问中的条件“直线X--一3”恰是椭圆C的准线,笔者
考虑,可否将第 (2)问中的条件和第①问中的结论一般
化呢?下面笔者将此拓展整理成文,以供参考.
二 、拓展研究
结论1设F为椭圆c: + :1 a>6>0)的一个焦
b‘
点, 直线z是对应于焦点F的准线, 为z上任意一点,过焦
点腓 韵垂线交椭圆c于点P、Q,则D砰分 线段Pp.
证法一:(设直线)不妨设F为椭圆c: + :1(o>6>
旷 b‘ 一
2
0)的右焦点,如图1,则 c,0),右准线方程为 = .
将等一吾 _1两边对 求导’得警一 0'目 = .
而P(粕,y0)关于 轴的对称  ̄#rgP ( - yo),所以双曲
2x
线在P,( —y0)处切线的斜率为一—b
o
结论 得证.
-
瑶 q
.
学(上),2010(7).
2范宗标.一 道高考模拟题的探究教学与反思[J].中
学数学研究(上),2006(10).
3王泳 彩.圆锥曲线的一个统一性质的探究与引申
参考文献:
1.邵秀丽.一道湖北高考试题的引 申探究[J].中学数
[J].中学教研,2012(4).皿
中 ?敷.?高中版
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