高斯数学小故事专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

2020年11月22日发(作者：常鲤)

【2014考纲解读】
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体
的结构．
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱 、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述三视
图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的 直观图．
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的 不
同表示形式．
4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、 线条等不作严格要
求).
【重点知识梳理】
一、多面体的结构特征
多面体

棱柱

相等
棱锥

棱台


二、旋转体的形成
几何体

圆柱

圆锥

圆台

球


三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由 简单几何体截去
或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形

直线
半圆

直径所在的直线
旋转轴
任一边所在的直线
一条直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分
结构特征
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的交线都平行且

四、平行投影与直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：
(1 )原图形中
x
轴、
y
轴、
z
轴两两垂直,直观图中,
x
′轴、
y
′轴的夹角为45°(或135°),
z
′
轴 与
x
′轴和
y
′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的 线段,直观图中仍平行于坐标轴．平行于
x
轴和
z
轴的线段在直观
图 中保持原长度不变,平行于
y
轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
五、三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察
几何体画出的轮廓线．
【方法技巧】
1.正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形 的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底
面；②底面是正多边形．
(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意正棱锥中
“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心,②底面是正多边形,特
别 地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
2．对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何 体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到
的该几何体的侧面表示 的图形．
(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线． < br>(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用
平行投影画出的轮廓线．
3．对斜二测画法的认识及直观图的画法
(1)在斜二测画法中, 要确定关键点及关键线段,“平行于
x
轴的线段平行性不变,长度不变；平
行于
y
轴的线段平行性不变,长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图
＝
2
S
原图形
,
S
原图形
＝2 2
S
直观图．
4
【随堂训练】

1．如图,在下列四个 几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是
( )

A．②③④
C．①③④
B．①②③
D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
C．3






B．2
D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的 该
几何体的侧视图是( )



5.如图△
A
′
B
′
C
′是△
ABC
的直观图,那么△
ABC
是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )

A．2＋3
C．2＋23






B．1＋3
D．4＋3
1
7．一个几何体的正视图 和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则这个几何体的俯视图可
2
能是下列图形中的__ ______．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．
8．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________．

< br>9．正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体,试按图 示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视
图,试说明该几何体的构成．

【高频考点突破】
考点1 空间几何体的结构特征
例1、下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【感悟提升】 (1)熟悉空间几何 体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,可
变换模型中线面的位置关系或增加线、 面等基本元素,然后再依据题意判定．
(2)三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常 见的空间几何体,也是重要的几何模
型,有些问题可用上述几何体举特例解决．
【变式探究】以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点2 空间几何体的三视图
例2.(1)(2012·高考福建卷)一个几何体的 三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以
是( )
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
( 2)(2011·高考江西卷)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为
( )


【感悟提升】 画三视图时,应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽 相等”,注意虚、实线的区别,
同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体,进而进 行有关计算的题目,关键是
准确把握三视图和几何体之间的关系．
π
【变式探究】已 知某几何体的体积为,它的正视图、侧视图均为边长为1的正方形(如图所示),
4

则该几何体的俯视图可以为( )


考点三 空间几何体的直观图
例3、已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．
【感悟提升】 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点
的位置一旦确定,依次连接这些顶点就可画出相应的多边形,因此平面多边形的直观图的画法可以归
结为 确定点的位置的画法．
【变式探究】若将本例中△A′B′C′是边长为a的正三角形改为△ABC是 边长为a的正三角形,求
直观图△A′B′C′的面积．
【规律总结】1．对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个 两两垂直的平面上的正投影；并不是从三个方向看到
的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线． < br>(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用
平行投影画出的轮廓线．
2．对斜二测画法的认识及直观图的画法
(1)在斜二测画法中, 要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变；平行
于y轴的线段平行性不变, 长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：
S
直观图
＝
2
S,S＝22S
直观图．

4
原图形原图形
【经典考题精析】