-
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第一部分
函数图象中点的存在性问题
§1．1
因动点产生的相似三角形问题
例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题
例 2 2014 年益阳市中考第 21 题
例 3 2015 年湘西州中考第 26 题
例 4 2015 年张家界市中考第 25 题
例 5 2016 年常德市中考第 26 题
例 6 2016 年岳阳市中考第 24 题
例 7
2016
年上海市崇明县中考模拟第
25 题
例 8
2016
年上海市黄浦区中考模拟第
26 题
§1．2
因动点产生的等腰三角形问题
例 9 2014 年长沙市中考第 26 题
例 10 2014 年张家界市第 25 题
例 11 2014 年邵阳市中考第 26 题
例 12 2014 年娄底市中考第 27 题
例 13 2015 年怀化市中考第 22 题
例 14 2015 年长沙市中考第 26 题
例 15 2016 年娄底市中考第 26 题
例 16
2016
年上海市长宁区金山区中考模拟第
例 17
2016
年河南省中考第 23 题
专业知识
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25 题
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例 18 2016 年重庆市中考第 25 题
§1．3
因动点产生的直角三角形问题
例 19 2015 年益阳市中考第 21 题
例 20 2015 年湘潭市中考第 26 题
例 21 2016 年郴州市中考第 26 题
例 22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题
例 23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题
§1．4
因动点产生的平行四边形问题
例 24 2014 年岳阳市中考第 24 题
例 25 2014 年益阳市中考第 20 题
例 26 2014 年邵阳市中考第 25 题
例 27 2015 年郴州市中考第 25 题
例 28 2015 年黄冈市中考第 24 题
例 29 2016 年衡阳市中考第 26 题
例 30
2016
年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第
例 31
2016
年上海市徐汇区中考模拟第 24 题
§1．5
因动点产生的面积问题
例 32 2014 年常德市中考第 25 题
例 33 2014 年永州市中考第 25 题
专业知识
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题
24
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例 34 2014 年怀化市中考第 24 题
例 35 2015 年邵阳市中考第 26 题
例 36 2015 年株洲市中考第 23 题
例 37 2015 年衡阳市中考第 28 题
例 38 2016 年益阳市中考第 22 题
例 39 2016 年永州市中考第 26 题
例 40 2016 年邵阳市中考第 26 题
例 41 2016 年陕西省中考第 25 题
§1．6
因动点产生的相切问题
例 42 2014 年衡阳市中考第 27 题
例 43 2014 年株洲市中考第 23 题
例 44 2015 年湘潭市中考第 25 题
例 45 2015 年湘西州中考第 25 题
例 46 2016 年娄底市中考第 25 题
例 47 2016 年湘潭市中考第 26 题
例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题
例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题
§1．7
因动点产生的线段和差问题
例 50 2014 年郴州市中考第 26 题
例 51 2014 年湘西州中考第 25 题
专业知识
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可编辑
例 52 2015 年岳阳市中考第 24 题
例 53 2015 年济南市中考第 28 题
例 54 2015 年沈阳市中考第 25 题
例 55 2016 年福州市中考第 26 题
例 56 2016 年张家界市中考第 24 题
例 57 2016 年益阳市中考第 21 题
第二部分
图形运动中的函数关系问题
§2．1
由比例线段产生的函数关系问题
例 1 2014 年常德市中考第 26 题
例 2 2014 年湘潭市中考第 25 题
例 3 2014 年郴州市中考第 25 题
例 4 2015 年常德市中考第 25 题
例 5 2015 年郴州市中考第 26 题
例 6 2015 年邵阳市中考第 25 题
例 7 2015 年娄底市中考第 26 题
例 8 2016 年郴州市中考第 25 题
例 9 2016 年湘西州中考第 26 题
例 10
2016
年上海市静安区青浦区中考模拟第
例 11
2016
年哈尔滨市中考第 27 题
25 题
专业知识
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第三部分
图形运动中的计算说理问题
§3．1
代数计算及通过代数计算进行说理问题
例 1 2014 年长沙市中考第 25 题
例 2 2014 年怀化市中考第 23 题
例 3 2014 年湘潭市中考第 26 题
例 4 2014 年株洲市中考第 24 题
例 5 2015 年衡阳市中考第 27 题
例 6 2015 年娄底市中考第 25 题
例 7 2015 年永州市中考第 26 题
例 8 2015 年长沙市中考第 25 题
例 9 2015 年株洲市中考第 24 题
例 10 2016 年怀化市中考第 22 题
例 11 2016 年邵阳市中考第 25 题
例 12 2016 年株洲市中考第 26 题
例 13 2016 年长沙市中考第 25 题
例 14 2016 年长沙市中考第 26 题
§3．2
几何证明及通过几何计算进行说理问题
例 15 2014 年衡阳市中考第 26 题
例 16 2014 年娄底市中考第 26 题
例 17 2014 年岳阳市中考第 23 题
例 18 2015 年常德市中考第 26 题
专业知识
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例 19 2015 年益阳市中考第 20 题
例 20 2015 年永州市中考第 27 题
例 21 2015 年岳阳市中考第 23 题
例 22 2016 年常德市中考第 25 题
例 23 2016 年衡阳市中考第 25 题
例 24 2016 年永州市中考第 27 题
例 25 2016 年岳阳市中考第 23 题
例 26 2016 年株洲市中考第 25 题
例 27 2016 年湘潭市中考第 25 题
第四部分
图形的平移、翻折与旋转
§4．1
图形的平移
例 1 2015 年泰安市中考第 15 题
例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题
例 3 2015 年株洲市中考第 14 题
例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第
18 题
§4．2
图形的翻折
例 5
2016
年上海市奉贤区中考模拟第
18 题
18 题
例 6
2016
年上海市静安区青浦区中考模拟第
例 7
2016
年上海市闵行区中考模拟第
例 8
2016
年上海市浦东新区中考模拟第
18 题
18 题
专业知识
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例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第
18 题
例 10 2016 年常德市中考第 15 题
例 11 2016 年张家界市中考第 14 题
例 12 2016 年淮安市中考第 18 题
例 13 2016 年金华市中考第 15 题
例 14 2016 年雅安市中考第 12 题
§4．3
图形的旋转
例 15
2016 年上海昂立教育中学生三模联考第
例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题
例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题
例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第
例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题
例 20 2016 年邵阳市中考第 13 题
例 21 2016 年株洲市中考第 4 题
§4．4
三角形
例 22 2016 年安徽省中考第 10 题
例 23 2016 年武汉市中考第 10 题
例 24 2016 年河北省中考第 16 题
例 25 2016 年娄底市中考第 10 题
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18 题
18 题
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例 26 2016 年苏州市中考第 9 题
例 27 2016 年台州市中考第 10 题
例 28 2016 年陕西省中考第 14 题
例 29 2016 年内江市中考第 11 题
例 30 2016 年上海市中考第 18 题
§4．5
四边形
例 31 2016 年湘西州中考第 11 题
例 32 2016 年益阳市中考第 4 题
例 33 2016 年益阳市中考第 6 题
例 34 2016 年常德市中考第 16 题
例 35 2016 年成都市中考第 14 题
例 36 2016 年广州市中考第 13 题
例 37 2016 年福州市中考第 18 题
例 38 2016 年无锡市中考第 17 题
例 39 2016 年台州市中考第 15 题
§4．6
圆
例 40 2016 年滨州市中考第 16 题
例 41 2016 年宁波市中考第 17 题
例 42 2016 年连云港市中考第 16 题
例 43 2016 年烟台市中考第 17 题
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例 44 2016 年烟台市中考第 18 题
例 45 2016 年无锡市中考第 18 题
例 46 2016 年武汉市中考第 9 题
例 47 2016 年宿迁市中考第 16 题
例 48 2016 年衡阳市中考第 17 题
例 49 2016 年邵阳市中考第 18 题
例 50 2016 年湘西州中考第 18 题
例 51 2016 年永州市中考第 20 题
§4．7
函数的图象及性质
例 52 2015 年荆州市中考第 9 题
例 53 2015 年德州市中考第 12 题
例 54 2015 年烟台市中考第 12 题
例 55 2015 年中山市中考第 10 题
例 56 2015 年武威市中考第 10 题
例 57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题
例 58 2016 年湘潭市中考第 18 题
例 59 2016 年衡阳市中考第 19 题
例 60 2016 年岳阳市中考第 15 题
例 61 2016 年株洲市中考第 9 题
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例 62 2016 年永州市中考第 19 题
例 63 2016 年岳阳市中考第 8 题
例 64 2016 年岳阳市中考第 16 题
例 65 2016 年益阳市中考第 14 题
例 66 2016 年株洲市中考第 10 题
例 67 2016
例 68 2016
例 69 2016
例 70 2016
例 71 2016
例 72 2016
例 73 2016
例 74 2016
例 75 2016
年株洲市中考第 17 题
年东营市中考第 15 题
年成都市中考第 13 题
年泰州市中考第 16 题
年宿迁市中考第 15 题
年临沂市中考第 14 题
年义乌市绍兴市中考第 9 题
年淄博市中考第 12 题
年嘉兴市中考第 16 题
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§1． 1
因动点产生的相似三角形问题
课前导学
相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探
求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一 组对应角相等．
判定定理 2 是最常用的解题依据，
一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，
解方程并检验．
如果已知∠
A
＝∠
D
，探求△
ABC
与△
DEF
相似， 只要把夹∠
A
和∠
D
的两边表示出来，
按照对应边成比例，分
AB DE
和
AB DF
AC
两种情况列方程．
AC DF
DE
．
应用判定定理
1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理
3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）
还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的 锐
角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．
如图 1，如果已知
A
、
B
两点的坐标，怎样求
A
、
B
两点间的距离呢？
我们以
AB
为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜
边
AB
的长了．水平距离
BC
的长就是
A
、
B
两点间的水平距离， 等于
A
、
B
两点的横坐标相减；
竖直距离
AC
就是
A
、
B
两点间的竖直距离，等于
A
、
B
两点的纵坐标相减．
图 1
例 1
2014
年湖南省衡阳市中考第
28 题
二次函数
y
＝
a
x
2
＋b
x
＋
c（a≠
0）的图象与
x
轴交于
A
(
－
3, 0)
、
B
(1, 0)
两点，与
y
轴
交于点
C
(0,
－
3
m
)
（
m
＞
0），顶点为
D
．
（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含
m
的代数式表示） ；
APC
的面积为
（ 2）如图 1，当
m
＝ 2 时，点
P
为第三象限内抛物线上的一个动点，设△
S
，试求出
S
与点
P
的横坐标
x
之间的函数关系式及
S
的最大值；
（ 3）如图 2，当
m
取何值时，以
A
、
D
、
C
三点为顶点的三角形与△
OBC
相似？
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图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点
P
运动，可以体验到，当点
P
运动到
AC
的中
点的正下方时，△
APC
的面积最大．拖动
y
轴上表示实数
m
的点运动，抛物线的形状会改变，可以
体验到，∠
ACD
和∠
ADC
都可以成为直角．
思路点拨
1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．连结
OP
，△
APC
可以割补为：△
AOP
与△
COP
的和，再减去△
AOC
．
3．讨论△
ACD
与△
OBC
相似，先确定△
ACD
是直角三角形，再验证两个直角三角形是否
相似．
4．直角三角形
ACD
存在两种情况．
图文解析
（ 1）因为抛物线与
( －3, 0) 、 (1, 0)
两点，设
＝ (
＋ 3)(
－1) ．
x
y
a
x
x
A
B
代入点 (0,
－3 )，得－ 3 ＝－3 ．解得
＝ ．
C
m
m
a
a m
所以该二次函数的解析式为
y
＝
m
(
x
＋
3)(
x
－
1)
＝
mx
＋
2
mx
－
3
m
．
轴交于
2
（ 2）如图 3，连结
OP
．
当
m
＝2
时，
C
(0,
－
6)
，
y
＝
2
x
2
＋
4
x
－6，那么
P
(
x
, 2
x
2
＋
4
x
－
6)
．
由于
△ AOP
＝
S
S
△
COP
＝
OC
(
x
P
)
＝－
3
x
，
S
△AOC
＝
9，
2
所以
S
＝
S
＝
S
＋
S
－
S
2
＝－ 3x
1
1
2
OA ( y
P
)
＝
3
2
2
＋ 4
－6) ＝－ 3
2
－6 ＋9，
(2
xx
x
x
－ 9x＝ 3(x
△ APC
△ AOP△ COP
△ AOC
3
)
2
27
4
．
所以当
x
3
2
时，
S
取得最大值，最大值为
27
．
2
4
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图3
图4
图5
（ 3）如图 4，过点
D
作
y
轴的垂线，垂足为
E
．过点
A
作
x
轴的垂线交
DE
于
F
．
由
y
＝
m
(
x
＋
3)(
x
－
1)
＝
m
(x
＋
1)
2
－
4
m
，得
D
(
－1,
－
4
m
)
．
在 Rt△
OBC
中，
OB
∶
OC
＝1∶ 3
m
．
如果△
ADC
与△
OBC
相似，那么△
ADC
是直角三角形，而且两条直角边的比为
1∶3
m
．
① 如图 4，当∠
ACD
＝ 90°时，
OA
OC
．所以
3
ED
3m
1
．解得
m
＝
1．
此时
CA
CD
3
．所以
．所以△
CDA
∽△
OBC
．
OC
3
，
ED
OB
CD
OB
OC
EC
CAOC
m
② 如图 5，当∠
ADC
＝ 90°时，
FA
FD
．所以
4m
EC
2
．解得
m
ED
1
m
2
．
2
此时
DA
DC
FD
EC
3m
2
2 2
，而
OB
m
OC
．因此△
DCA
与△
OBC
不相
3 2
似．
2
综上所述，当
m
＝
1
时，△
CDA
∽ △
OBC
．
考点伸展
第（ 2）题还可以这样割补：
如图 6，过点
P
作
x
轴的垂线与
AC
交于点
H
．
由直线
AC
：
y
＝－
2
x
－
6，可得
H
(
x
,
－
2
x
－6)
．
又因为
P
(
x
, 2
x
2
＋4
x
－
6)
，所以
HP
＝－
2
x
2
－
6
x
．
因为△
PAH
与△
PCH
有公共底边
HP
，高的和为
A
、
C
两
点间的水平距离
3，所以
S
＝
S
△APC
＝
S
△
APH
＋
S
△
CPH
＝
( － 2
x
2
－ 6
x
)
2
＝
3( x
3
3
)
2
2
27
．
4
图 6
专业知识
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图2
图3
例 2
2014
年湖南省益阳市中考第
21 题
如图 1，在直角梯形
ABCD
中，
AB
//
CD
，
AD
⊥
AB
，∠
B
＝60°，
AB
＝
10，
BC
＝
4，点
P
沿线
段
AB
从点
A
向点
B
运动，设
AP
＝
x
．
2·1·c·n·j
·y
（ 1）求
AD
的长；
（ 2）点
P
在运动过程中，是否存在以
A
、
P
、
D
为顶点
的三角形与以
P
、
C
、
B
为顶点的三角形相似？若存在，求出
x
的值；若不存在，请说明理由；
（ 3）设△
ADP
与△
PCB
的外接圆的面积分别为
S
1
、
S
2
，
若
S
＝
S
1
＋
S
2
，求
S
的最小值
.
动感体验
图 1
请打开几何画板文件名“
14 益阳 21”，拖动点
P
在
AB
上运动，可以体验到，圆心
O
的
运动轨迹是线段
BC
的垂直平分线上的一条线段．观察
S
随点
P
运动的图象，可以看到，
S
有最小值，此时点
P
看上去象是
AB
的中点，其实离得很近而已．
思路点拨
1．第（ 2）题先确定△
PCB
是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（ 3）题理解△
PCB
的外接圆的圆心
O
很关键，圆心
O
在确定的
BC
的垂直平分线
上，同时又在不确定的
BP
的垂直平分线上．
而
BP
与
AP
是相关的， 这样就可以以
AP
为自变
量，求
S
的函数关系式．
图文解析
（ 1）如图 2，作
CH
⊥
AB
于
H
，那么
AD
＝
CH
．
在 Rt△
BCH
中，∠
B
＝60°，
BC
＝ 4，所以
BH
＝2，
CH
＝
2 3
．所
AD
＝
2 3
．
以（ 2）因为△
APD
是直角三角形，如果△
APD
与△
PCB
相似，那么
PCB
一定是直角三角
△
形．
① 如图 3，当∠
CPB
＝ 90°时，
AP
＝ 10－ 2＝ 8．
所以
AP
＝
8
4
＝
3
，而
PC
＝
．此时△
与△
不相似．
AD
2 3
3
PB
3
APD
PCB
图4
② 如图 4，当∠
BCP
＝ 90°时，
BP
＝ 2
BC
＝ 8．所以
AP
＝2．
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所以
AP
＝
＝
．所以∠
APD
＝60°．此 时△
APD
∽△
CBP
．
AD
2 3
3
2
3
综上所述，当
x
＝
2
时，△
APD
∽ △
CBP
．
（ 3）如图 5，设△
ADP
的外接圆的圆心为
G
，那么点
G
是斜边
DP
的中点．
设△
PCB
的外接圆的圆心为
O
，那么点
O
在
BC
边的垂直平分线上，设这条直线与
BC
交
于点
E
，与
AB
交于点
F
．
设
AP
＝
2
m
．作
OM
⊥
BP
于
M
，那么
BM
＝
PM
＝5－
m
．
在 Rt△
BEF
中，
BE
＝ 2，∠
B
＝ 60°，所以
BF
＝ 4．
在 Rt△
OFM
中，
FM
＝
BF
－
BM
＝ 4－(5 －
m
) ＝
m
－ 1，∠
OFM
＝ 30°，
所以
OM
＝
3
3
2
( m 1) ．
2
2
2
2
2
所以
＝
＋
＝
2
OB
BM
OM
(5
m)
2
2
1
3
(m
1)
．
2
2
在 Rt△
ADP
中，
DP
＝
AD
＋
AP
＝ 12＋ 4
m
．所以
GP
＝3＋
m
．
1
2
2
2
于是
S
＝
S
＋
S
＝
π
(
GP
＋
OB
)
＝
3
m
2
(5
m)
2
1
(m
1)
2
＝
(7m
2
3
113
．
7
32m 85)
．
3
所以当
m
16
7
时，
S
取得最小值，最小值为
图5
图6
考点伸展
关于第（ 3）题，我们再讨论个问题．
问题 1，为什么设
AP m
＝ 2 呢？这是因为线段
AB
AP
PM BM AP
＝
＋
＋＝＋2
BM
＝ 10．
这样
BM
＝
5－
m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求
S
的最小值．
问题 2，如果圆心
O
在线段
EF
的延长线上，
S
关于
m
的解析式是什么？
如图 6，圆心
O
在线段
EF
的延长线上时，不同的是
此时
FM
＝
BM
－
BF
＝
(5
－
m
)
－
4＝
1－
m
．
2
＝
2
OB
BM
OM
(5 m)
＋
2
＝
2
1
2
3
(1
m)
．这并不影响
S
关于
m
的解析式．
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例 3
2015
年湖南省湘西市中考第
26 题
如图 1，已知直线
y
＝－
x
＋3
与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，抛物线
y
＝－
x
2
＋
bx
＋
c
经过
A
、
B
两点，点
P
在线段
OA
上，从 点
O
出发，向点
A
以每秒
1
个单位的速度匀速运动；
同时，点
Q
在线段
AB
上，从点
A
出发，向点
B
以每秒
2
个单位的速度匀速运动，连结
PQ
，
设运动时间为
t
秒．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）问：当
t
为何值时，△
APQ
为直角三角形；
（ 3）过点
P
作
PE
//
y
轴，交
AB
于点 E，过点
Q
作
QF
//
y
轴，交抛物线于点
F
，连结
EF
，当
EF
//
PQ
时，求点
F
的坐
标；
（ 4）设抛物线顶点为
M
，连结
BP
、
BM
、
MQ
，问：是
否存在
t
的值，使以
B
、
Q
、
M
为顶点的三角形与以
O
、
B
、
P
为顶点的三角形相似？若存在，请求出
在，请说明理由．
t
的值；若不存
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 15
湘西 26”，拖动点
P
在
OA
上运动，可以体验到，△
APQ
有
两个时刻可以成为直角三角形，四边形
EPQF
有一个时刻可以成为平行四边形，△
MBQ
与△
BOP
有一次机会相似．
思路点拨
1．在△
APQ
中，∠
A
＝ 45°，夹∠
A
的两条边
AP
、
AQ
都可以用
t
表示，分两种情况讨论
直角三角形
APQ
．
2．先用含
t
的式子表示点
P
、
Q
的坐标，进而表示点
E
、
F
的坐标，根据
PE
＝
QF
列方程
就好了．
3．△
MBQ
与△
BOP
都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．
图文解析
（ 1）由
y
＝－
x
＋ 3，得
A
(3, 0)
，
B
(0, 3)
．
将 (3, 0)
、 (0, 3)
分别代入
＝－
2
＋
＋
，得
A
B
y
x
bx
c
9
3b c
0,
解得
b
c
3.
c
2,
3.
所以抛物线的解析式为
y
＝－
x
2
＋
2
x
＋
3．
（ 2）在△
APQ
中，∠
PAQ
＝ 45°，
AP
＝ 3－
t
，
AQ
＝
2 t
．
分两种情况讨论直角三角形
APQ
：
①
当∠
PQA
＝
90°时，
AP
＝
2 AQ
．解方程
3－
t
＝
2
t
，得
t
＝
1（如图
2）．
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②
当∠
QPA
＝
90°时，
AQ
＝
2 AP
．解方程
2 t
＝
2
(3
－
t
)
，得
t
＝1.5
（如图
3）．
图2
图3
（ 3）如图 4，因为
PE
//
QF
，当
EF
//
PQ
时，四边形
EPQF
是平行四边形．
所以
EP
＝
FQ
．所以
y
E
－
y
P
＝
y
F
－
y
Q
．
因为
x
P
＝
t
，
x
Q
＝
3－
t
，所以
y
E
＝
3－
t
，
y
Q
＝
t
，
y
F
＝－
(3
－
t
)
＋
2(3
－
t
)
＋
3＝－
t
＋
4
t
．
2
2
因为
y
E
－
y
P
＝
y
F
－
y
Q
，解方程
3－
t
＝
(
－
t
2
＋
4
t
)
－
t
，得
t
＝
1，或
t
＝
3（舍去）．所以点
F
的坐标为
(2, 3)
．
2
图 4
2
图 5
（ 4）由
y
＝－
x
＋2
x
＋ 3＝－ (
x
－ 1) ＋ 4，得
M
(1, 4)
．
由
A
(3, 0)
、
B
(0,
3)
，可知
A
、
B
两点间的水平距离、竖直距离相等，
由 (0, 3)
、 (1,
4)
，可知 、 两点间的水平距离、竖直距离相等，
AB
＝
3
2
．
＝
．
B
M
B M
BM
2
所以∠
MBQ
＝∠
BOP
＝
90°．因此△
MBQ
与△
BOP
相似存在两种可能：
①当
BM
BQ
OB
时，
OP
3
2
2
3
2t
t
．解得
t
9
（如图 5）．
4
②当
BM
BQ
OP
时，
OB
2
t
．整理，得
t
2
－
3
t
＋
3＝0．此方程无实根．
3
2
2t
3
考点伸展
第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由(
P t
,0)，(
E t
, 3－
) ，Q(3－
,
)，按照 →
t
t
t
P E
方向，将点
Q
向上平移，得
F
(3
－
t
, 3)
．再将
F
(3
－
t
, 3)
代入
y
＝－
x
2
＋
2
x
＋3，得
t
＝1，或
t
＝3．
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§1． 2
因动点产生的等腰三角形问题
课前导学
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段
AB
＝
5
厘米，以线段
AB
为腰的等腰三角形
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹是
什么？
2．已知线段
AB
＝
6
厘米，以线段
AB
为底边的等腰三角形
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹
是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
C．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△
ABC
是等腰三角形，那么存在
①
AB
＝
AC
， ②
BA
＝
BC
， ③
CA
＝
CB
三种情况．
解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，
可以使得
解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△
ABC
的∠
A
（的余弦值） 是确定的， 夹∠
A
的两边
AB
和
AC
可以用含
x
的式子表示
出来，那么就用几何法．
① 如图 1，如果
AB
＝
AC
，直接列方程； ② 如图 2，如果
BA
＝
BC
，那么
AC
1
AB cos A
；
③如图 3，如果
CA
＝
CB
，那么
1
2
AB AC cos A
．
2
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含
x
的式子表示出来， 那么根据
两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1
图2
图3
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例 9
2014
1
年长沙市中考第
26 题
如图 1，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
、
b
、
c
是常数，
a
≠ 0）的对称轴为
y
轴，且经过
(0,0)
和 ( a ,
) 两点，点
P
在该抛物线上运动，以点
16
（ 1）求
a
、
b
、
c
的值；
P
为圆心的⊙
P
总经过定点
A
(0, 2)
．
（ 2）求证：在点
P
运动的过程中，⊙
P
始终与
x
轴相交；
（ 3）设⊙
P
与
x
轴相交于
M
(
x
1
, 0) 、
N
(
x
2
, 0) 两点，当△
AMN
为等腰三角形时，求圆心
P
的纵坐标．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心
P
在抛物线上运动， 可以体验到，圆与
x
轴总是相交的，等腰三角形
AMN
存在五种情况．
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙
2．等腰三角形存在五种情况，点
＝
NM
时，点
P
的纵坐标是相等的．
P
在
x
轴上截得的弦长
MN
＝
4
是定值．
P
的纵坐标有三个值，根据对称性，
AMN
MA MN NA
＝
和
图文解析
（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)
，所以
y
＝
ax
2
．所以
b
＝0，
c
＝ 0．
将 ( a ,
1
) 代入
y
＝
ax
，得
2
1
a ．解得 a
2
1
（舍去了负值）
．
16
16
（ 2）抛物线的解析式为
y
4
x
2
，设点
P
的坐标为
1
( x,
4
1
x
2
) ．
4
已知
A
(0, 2)
，所以
PA
x
2
(
1
x
2
4
2)
2
而圆心
P
到
x
轴的距离为
1
1
x
4
4
＞
x
2
．
16
4
1
x
2
，所以半径
PA
＞圆心
P
到
x
轴的距离．
4
所以在点
P
运动的过程中，⊙
P
始终与
x
轴相交．
H
，那么
PH
垂直平分
（ 3）如图 2，设
MN
的中点为
MN
．
在 △
中，
2
1
2
1
4
2
2
4，PH
Rt
PMH
PM
PA
x
(
x)
16
4
所以
MH
＝
2．因此
MN
＝
4，为定值．
MH
＝
．
1
4
2
x ，所以
4
16
等腰△
AMN
存在三种情况：
专业知识
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可编辑
① 如图 3，当
＝
时，点
为原点
重合，此时点
的纵坐标为 0．
AM AN
P
O
P
图 2
② 如图 4，当
MA
＝
MN
时，在 Rt △
AOM
中，
OA
＝ 2，
AM
＝ 4，所
以
图 3
OM
＝
2
3 ．
此时
x
＝
OH
＝
2
3 2 ．所以点
P
的纵坐标为
x
2
4
时，根据对称性，点
1
1
(2 3 2)
2
4
(
3
1)
2
423．
如图 5，当
＝
的纵坐标为也为 4 2 3
．
NA NM
P
图 4
图 5
③ 如图 6，当
NA
＝
NM
＝ 4 时，在 Rt△
AON
中，
OA
＝ 2，
AN
＝ 4，所以
ON
＝2
3 ．
此时
x
＝
OH
＝
2 3 2
．所以点
P
的纵坐标为
1
x
2
4
1
(2 3 2)
2
(
4
3 1)
2
4 23．
如图 7，当
MN
＝
MA
＝ 4 时，根据对称性，点
P
的纵坐标也为 4
2
3 ．
图 6
图 7
考点伸展
如果点
P
在抛物线
y
2
1
x
上运动， 以点
P
为圆心的⊙
P
总经过定点
B
(0,
1) ，那么在点
4
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-----
----
WORD 格式
可编辑
P
运动的过程中，⊙
P
始终与直线
y
＝－
1
相切．这是因为：
1)
设点
P
的坐标为
(x,
1
x
2
) ．
4
已知 (0, 1) ，所以
2
2
1)
2
PBx
1
4
( x
而圆心
P
到直线
y
＝－
1
的距离也为
1
1
4
( x
2
2
1
x
2
1
．
4
x
2
1 ，所以半径
PB
＝圆心
P
到直线
y
＝－ 1 的距
离．所以在点
P
运动的过程中，⊙
4
P
始终与直线
y
＝－
1
相切．
例 10
2014年湖南省张家界市中考第 25 题
如图 1，在平面直角坐标系中，
B C
O
为坐标原点，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
≠
0）过
O
、
B
、
、
坐标分别为 (10, 0)
和
(
18
C
三点，
5
x
轴于
B
点．
（ 1）求直线
BC
的解析式；
（ 2）求抛物线解析式及顶点坐标；
24
5
) ，以 OB为直径的⊙ A 经过 C点，直线 l 垂直
（ 3）点
M
是⊙
A
上一动点 （不同于
O
、
B
），过点
M
作⊙
A
的切线， 交
y
轴于点
E
，交直线
l
于点
F
，设
线段
ME
长为
m
，
MF
长为
n
，请猜想
mn
的值，并证明
你的结论；
（ 4）若点
P
从
O
出发，以每秒 1 个单位的速度向
点
B
作直线运动， 点
Q
同时从
B
出发，以相同速度
向点
C
作直线运动，经过
t
（
0＜
t
≤8）秒时恰好使
△
BPQ
为等腰三角形，请求出满足条件的
t
值．
图
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“
14 张家界 25”，拖动点
M
在圆上运动，可以体验到，△
EAF
保
持直角三角形的形状，
AM
是斜边上的高．拖动点
Q
在
BC
上运动，可以体验到，△
BPQ
有三
个时刻可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．从直线
BC
的解析式可以得到∠
OBC
的三角比，为讨论等腰三角形
BPQ
作铺垫．
2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
3．第（ 3）题连结
AE
、
AF
容易看到
AM
是直角三角形
EAF
斜边上的高．
4．第（ 4）题的△
PBQ
中，∠
B
是确定的，夹∠
B
的两条边可以用含
t
的式子表示．分三
种情况讨论等腰三角形．
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-----
----
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图3
图4
图文解析
（ 1）直线
BC
的解析式为
y
3
x
15
．
4
2
（ 2）因为抛物线与
x
轴交于
O
、
B
(10, 0)
两点，设
y
＝
ax
(
x
－
10)
．
代入点
C
18
,
24
18
32
)
．解得
a
5
．
，得
24
a
5
5
5
5
5
24
所以
y
5
x( x
10)
5
x
2
25
x
5
(x
5)
2
125
．
24
24
12
24
24
抛物线的顶点为
(5,
125
)
．
24
（ 3）如图 2，因为
EF
切⊙
A
于
M
，所以
AM
⊥
EF
．
由
AE
＝
AE
，
AO
＝
AM
，可得
Rt
△
AOE
≌
Rt
△
AME
．
所以∠ 1＝∠
2．同理∠ 3＝∠
4．
于是可得∠
EAF
＝
90°．
所以∠ 5＝∠ 1．由 tan ∠5＝ tan ∠1，得
MA
ME
．
2
MF
MA
所以
ME
·
MF
＝
MA
，即
mn
＝25．
（ 4）在△
BPQ
中， cos ∠
B
＝
4
图 2
，
BP
＝ 10－
t
，
BQ
＝
t
．
5
分三种情况讨论等腰三角形
BPQ
：
① 如图 3，当
BP
＝
BQ
时，
10
－
t
＝
t
．解得
t
＝
5．
② 如图 4，当
＝
时，
1
1
PB
PQ
BQ
BP cos
B ．解方程
t
4
(10
t)
，得
t
80
．
1
2
1
2
5
13
③ 如图 5，当
QB
＝
QP
时，
BP
BQ cos
B
．解方程
(10
t )
4
t
，得
t
50
．
2
2
5
13
图5
考点伸展
在第（ 3）题条件下，以
与
轴相切于点
EF
为直径的⊙
G
．
x
如图 6，这是因为
也是直角梯形
A
斜边上的中线，
的中位线，
AG
既是直角三角形
EAF
EOBF
因此圆心
G
到
x
轴的距离等于圆的半径，所以⊙
G
与
x
轴相切于点
A
．
-----
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图 6
例 11
2014
年湖南省邵阳市中考第
26 题
在平面直角坐标系中，
抛物线
y
＝
x
2
－(
m
＋
n
)
x
＋
mn
（
m
＞
n
）与
x
轴相交于
A
、
B
两点（点
A
位于点
B
的右侧），与
y
轴相交于点
C
．
（ 1）若
m
＝ 2，
n
＝ 1，求
A
、
B
两点的坐标；
（ 2）若
A
、
B
两点分别位于
y
轴的两侧，
C
点坐标是 (0, － 1) ，求∠
ACB
的大小；
（ 3）若
m
＝ 2，△
ABC
是等腰三角形，求
n
的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“
14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（
2），拖动点
A
在
x
轴正
半轴上运动，可以体验到，△
ABC
保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（
3），拖
动点
B
在
x
轴上运动，观察△
ABC
的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰
三角形
ABC
有
4
种情况．
思路点拨
1．抛物线的解析式可以化为交点式，用
m
，
n
表示点
A
、
B
、
C
的坐标．
2．第（ 2）题判定直角三角形
ABC
，可以用勾股定理的逆定理，
也可以用锐角的三角比．
3．第（ 3）题讨论等腰三角形
ABC
，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．
图文解析
（ 1）由
y
＝
x
－ (
m
＋
n
)
x
＋
mn
＝(
x
－
m
)(
x
－
n
) ，且
m
＞
n
，点
A
位于点
B
的右侧，可知
2
A
(
m
, 0)
，
B
(
n
, 0) ．
若
m
＝2，
n
＝
1，那么
A
(2, 0)
，
B
(1, 0)
．．
（ 2）如图 1，由于
C
(0,
mn
)
，当点
C
的坐标是
(0,
－1)
，
mn
＝－
1，
OC
＝1．
若
A
、
B
两点分别位于
y
轴的两侧，那么
所以
OC
＝
OA
·
OB
．所以
2
OA
·
OB
＝
m
(
－
n
)
＝－
mn
＝
1．
OC
OB
OA
OC
．
所以 tan ∠ 1＝ tan ∠ 2．所以∠ 1＝∠ 2．
又因为∠ 1 与∠ 3 互余，所以∠
2 与∠3 互余．
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所以∠ ACB＝ 90°．
图1
图2
图3
（ 3）在△
ABC
中，已知
A
(2,
0)
2
，
B
(
n
,
0) ，
C
(0, 2
n
)
．
2
2
讨论等腰三角形
ABC
，用代数法解比较方便：
由两点间的距离公式，得
① 当 ＝
2
2
2
AB
＝
(
n
－
2)
，
BC
＝
5
n
，
AC
＝
4＋
4
n
．
n
时，解方程 (
－ 2)
AB
AC
＝ 4＋4
n
，得
n
2
2
2
2
4
3
（如图 2）．
② 当
CA
＝
CB
时，解方程
4＋
4
n
＝
5
n
，得
n
＝－
2（如图
3），或
n
＝
2（
A
、
B
重合，舍
去）．
③ 当
BA
＝
BC
时，解方程 (
n
－2)
2
＝ 5
2
n ，得 n
5 1
2
（如图 4），或 n
5
1
（如图
2
5）．
图4
图5
考点伸展
第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．
由于 (0,
C
mn
2
mn
) ，当点
C
的坐标是 (0, － 1) ， ＝－ 1．
2
2
由(,0)
2
A m
， (
B n
2
, 0)
， (0, －1) ，得
C
2
AB m n
＝( －
) ＝ －2
22
m mn n m n
＋＝＋
222
＋ 2，
BC
＝
n
＋
1，
AC
＝
m
＋
1．
2
2
所以
AB
＝
BC
＋
AC
．于是得到
Rt△
ABC
，∠
ACB
＝
90°．
第（ 3）题在讨论等腰三角形
ABC
时，对于
CA
＝
CB
的情况，此时
A
、
B
两点关于
y
轴对
称，可以直接写出
B
(
－
2, 0)
，
n
＝－
2．
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例 12
2014
年湖南省娄底市中考第
27 题
如图 1，在△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
AC
＝ 4cm，
BC
＝ 3cm．如果点
P
由点
B
出发沿
BA
方向向点
A
匀速运动，同时点
Q
由点
A
出发沿
AC
方向向点
C
匀速运动，它们的速度均为
1cm/s
．连
结
PQ
，设运动时间为
t
（
s）（0＜
t
＜
4），解答下列问题：
（ 1）设△
APQ
的面积为
S
，当
t
为何值时，
S
取得最大值？
S
的最大值是多少？
（ 2）如图 2，连结
PC
，将△
PQC
沿
QC
翻折，得到四边形
PQP
′
C
，当四边形
PQP
′
C
为菱形时，求
t
的值；
（ 3）当
t
为何值时，△
APQ
是等腰三角形？
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“
14 娄底 27”，拖动点
动到
AB
＝ 2 时，四边形
QC
HC
的中点时，△
的面积最大，等腰三角形
APQ
′
是菱形．
Q
在
上运动，可以体验到，当点
存在三种情况．还可以体验到，当
APQ
AC
P
运
PQP C
思路点拨
1．在△
APQ
中，∠
A
是确定的，夹∠
A
的两条边可以用含
t
的式子表示．
2．四边形
PQP
′
C
的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，
．
图文解析
（ 1）在 Rt △
ABC
中，
AC
＝ 4，
BC
＝3，所以
AB
＝ 5， sin
A
＝
， cos
A
＝ ．
34
作
QD
⊥
AB
于
D
，那么
QD
＝
AQ
sin
A
＝
3
5
5
所以
S
＝
S
＝
1
AP QD
＝
1
2
(5
△ APQ
t
．
5
t)
3
＝
3
10
2
5t) ＝
3
5
2
) +
15
．
当
t
5
2
2
5
15
．
8
10
2
8
时，
S
取得最大值，最大值为
（ 2）设
PP
′与
AC
交于点
H
，那么
PP
′⊥
QC
，
AH
＝
AP
cos
A
＝
(5
t)
．
4
5
如果四边形
PQP
′
C
为菱形，那么
PQ
＝
PC
．所以
QC
＝2
HC
．
-----
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可编辑
解方程
4 t 2
4
4
(5 t)
，得
t
20
．
5
13
图 3
图 4
（ 3）等腰三角形
APQ
存在三种情况：
① 如图 5，当
＝
时， 5－
＝
．解得
AP
AQ
t
t
t
5
2
．
② 如图 6，当
PA
＝
PQ
时，
1
AQ
1
AP cos A
．解方程
t
4
(5
t)
，得
t
40
．
时，
1
2
AP
1
2
5
13
③ 如图 7，当
QA
＝
QP
AQ cos A
．解方程
(5
t)
4
t
，得
t
25
．
2
2
5
13
图5
图6
图7
考点伸展
在本题情境下，如果点
Q
是△
PP
′
C
的重心，求
t
的值．
如图 8，如果点
Q
是△
PP
′
C
的重心，那么
2
QC
＝
HC
．
3
解方程
4 t
2
4
4
(5 t)
，得
t
60
．
3
5
23
图 8
例 13
2015
年湖南省怀化市中考第
22 题
如图 1，已知 Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝ 8，
BC
＝ 6，点
P
以每秒 1 个单位的速度从
向
C
运动，同时点
Q
以每秒
2
个单位的速度从
A
→
B
→
C
方向运动，它们到
C
点后都停止运动，
设点
P
、
Q
运动的时间为
t
秒．
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-----
A
----
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可编辑
（ 1）在运动过程中，求
P
、
Q
两点间距离的最大值；
（ 2）经过 t 秒的运动，求△
ABC
被直线
PQ
扫过的面积
S
与时间
t
的函数关系式；
（ 3）
P
，
Q
两点在运动过程中，是否存在时间
t ，使得△
PQC
为等腰三角形．若存在，
求出此时的
t
值，若不存在，请说明理由．
（
5
2.24
，结果保留一位小数）
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“
15 怀化 22”，拖动点
P
在
AC
上运动，可以体验到，
PQ
与
BD
保持平行，等腰三角形
PQC
存在三种情况．
思路点拨
1．过点
B
作
QP
的平行线交
AC
于
D
，那么
BD
的长就是
PQ
的最大值．
2．线段
PQ
扫过的面积
S
要分两种情况讨论，点
Q
分别在
AB
、
BC
上．
3．等腰三角形
PQC
分三种情况讨论，先罗列三边长．
图文解析
（ 1）在 Rt △
ABC
中，
AC
＝ 8，
BC
＝6，所以
AB
＝ 10．
如图 2，当点
Q
在
AB
上时，作
BD
//
PQ
交
AC
于点
D
，那么
AB
AD
AQ
AP
2t
t
2
．
所以
AD
＝
5．所以
CD
＝
3．
如图 3，当点
Q
在
BC
上时，
CQ
CP
CB
16
2t
8
t
2
．
又因为
CB
CD
6
2
，所以
3
CP
CQ
．因此
PQ
//
BD
．所以
PQ
的最大值就是
BD
．
CD
在 Rt△
BCD
中，
BC
＝ 6，
CD
＝ 3，所以
BD
＝
3
5
．所以
PQ
的最大值是
3 5
．
图2
图3
图4
（ 2）① 如图 2，当点
Q
在
AB
上时， 0＜
t
≤5，
S
△
ABD
＝15．
-----
----
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-----
----
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由△
AQP
∽ △
ABD
，得
S
△
AQP
(
AP
2
．所以
S
＝
S
△ AQP
＝15 (
2
＝
t
3
2
．
S
△
ABD
在
AD
5
5
② 如图 3，当点
因为
S
＝
△ CQP
上时， 5＜
≤ 8，
△ABC
＝ 24．
t
Q
BC
S
1
CQ CP
＝
1
(16
2t )(8 t)
＝
( t 8)
2
，
2
△ ABC
△ CQP
2
2
2
所以
S
＝
S
－
S
＝
24－(
t
－
8)
＝－
t
＋ 16
t
－ 40．
（ 3）如图 3，当点
Q
在
BC
上时，
CQ
＝ 2
CP
，∠
C
＝ 90°，所以△
PQC
不可能成为等腰
三角形．当点
Q
在
AB
上时，我们先用
t
表示△
PQC
的三边长：易知
CP
＝
8－
t
．
如图 2，由
QP
//
BD
，得
QP
AP
，即
QP
t
．所以
QP
AD
3
5
5
如图 4，作
QH
⊥
AC
于
H
．在 Rt △
AQH
中，
QH
＝
AQ
sin
BD
3 5
t
．
5
∠
A
＝
t
，
AH
＝
68
t
．
5
5
在 Rt △
CQH
中，由勾股定理，
得
CQ
＝
QH
2
CH
2
＝
(
6
t)
2
(8
8
t)
2
．
5
5
分三种情况讨论等腰三角形
PQC
：
（ 1）① 当
PC
＝
PQ
时，解方程
8
2
t
3 5
t
，得
t
5
（如图 5所
6
5
10
≈
3.4
示）．
②
当
QC
＝
QP
时，
( t)
5
6
2
t
．整理，得
11t
128t
320 0
．
8
2
t)
(8
3
5
5
5
所以
t
－
(11
t
－
40)(
＝ ．解得
t
8)
0
40
≈
11
（如图
所示），或
＝ （舍去）．
t
8
3.6
6
③
当
CP
＝
CQ
时，
8
t
(
t )
5
6
2
(8
8
5
t)
2
．整理，得
5t
2
16t
0
．
解得
t
16
＝ 3.2 （如图 7所示），或
t
＝ 0（舍去）．
5
综上所述，当
t 的值约为 3.4 ， 3.6 ，或等于 3.2 时，△ PQC是等腰三角形．
图5
图6
图7
考点伸展
-----
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-----
----
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可编辑
第（ 1）题求
P
、
Q
两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：
① 如图 8，当点
Q
在
AB
上时，
PQ
＝
QH
2
PH
2
＝
(
6
t )
2
5
(
8
t
5
t)
2
＝
3
5
t
．
5
当
Q
与
B
重合时，
PQ
最大，此时
t
＝
5，
PQ
的最大值为
3
5
．
② 如图 9，当点
Q
在
BC
上时，
PQ
＝
CQ
2
CP
2
＝
(2CP)
2
CP
2
＝
5(8
t)
．
当
Q
与
B
重合时，
PQ
最大，此时
t
＝
5，
PQ
的最大值为
3 5
．
综上所述，
PQ
的最大值为
3 5
．
图8
图9
§1． 3
因动点产生的直角三角形问题
课前导学
我们先看三个问题：
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹是
1．已知线段
AB
，以线段
AB
为直角边的直角三角形
么？
什
2．已知线段
AB
，以线段
AB
为斜边的直角三角形
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹是什么？
3．已知点 (4,0) ，如果△
是等腰直角三角形，求符合条件的点
的坐标．
A
OAB
B
图 1
如图 1，点
图 2
2，点
图 3
在垂线上，垂足除外．如图
在以
为直径的圆上，
、
两点除
A
B
C
C
AB
外．如图 3，以
OA
为边画两个正方形，除了
O
、
A
两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都
是符合题意的点
B
，共
6
个．
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，
第一步寻找分类标准，第二步列方程，第
三步解方程并验根．
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-----
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一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，
可以构造两个新
的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
如图 4，已知
A
(3, 0)
，
B
(1, － 4) ，如果直角三角形
ABC
的
顶点
C
在
y
轴上，求点
C
的坐标．
我们可以用几何的方法，作
AB
为直径的圆，快速找到两个
符合条件的点
C
．
如果作
BD
⊥
y
轴于
D
，那么△
AOC
∽△
CDB
．
设
OC
＝
m
，那么
3 4 m
1
m
．
这 个
方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与
y
轴 的 两 个 交
图 4
点．
例 19
2015
1
年湖南省益阳市中考第
： ＝
2
21 题
2
如图 1，已知抛物线
经过点
(1,
) ，以原点为顶点的抛物线
经过点
(2,2) ，
E y
x
A
m
E
B
点 、
关于
轴的对称点分别为点′、 ′．
A B
y
A
B
（ 1）求
m
的值及抛物线
E
2
所表示的二次函数的表达式；
（ 2）如图 1，在第一象限内，抛物线
E
1
上是否存在点
Q
，使得以点
Q
、
B
、
B
′为顶点的
三角形为直角三角形？若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）如图 2，
P
为第一象限内的抛物线
E
1
上与点
A
不重合的一点，连结
OP
并延长与抛
物线
E
2
相交于点
P
′，求△
PAA
′与△
P
′
BB
′的面积之比．
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图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“
15 益阳 21”，拖动点
P
在抛物线
E
1
上运动，可以体验到，点
P
QBB
′有两个．
始终是线段
OP
′的中点．还可以体验到，直角三角形
思路点拨
1．判断点
P
是线段
OP
′的中点是解决问题的突破口，
这样就可以用一个字母表示点
P
、
P
′的坐标．
2．分别求线段
AA
′∶
BB
′，点
P
到
AA
′的距离 ∶
点
P
′到
BB
′的距离，就可以比较
△
PAA
′与△
P
′
BB
′的面积之比．
图文解析
（ 1）当
＝1 时，
＝
2
＝ 1，所以
2
(1, 1)
， ＝1．
x
y
x
A
m
1
2
设抛物线
E
2
的表达式为
y
＝
ax
，代入点
B
(2,2)
，可得
a
＝
．所以
y
＝
x
．
2
2
（ 2）点
Q
在第一象限内的抛物线
E
1
上，直角三角形
QBB
′存在两种情况：
1
图3
图4
① 如图 3，过点
B
作 ′的垂线交抛物线
E
于
，那么 (2, 4)
．
1
② 如图 4，以
′为直径的圆
D
与抛物线
E
交于点
，那么
＝
1
2
BB
＝2．
1
2
2
2
2
2
设
Q
(
x
,
x
) ，因为
D
(0, 2)
，根据
QD
＝
4
列方程
x
＋
(
x
－
2)
＝ 4
．
解得
x
＝
．此时
Q
．
b ) ，′ ( c,
2
(
3,3)
（ 3）如图
5，因为点
P
、
P
′分别在抛物线
E
、
E
上，设
P
(
b
,
1
2
3
1
2
2
) ．
2
因为 、 、 ′三点在同一条直线上，所以
O P
P
PM
OM
P N
，即
b
b
ON
1
c
2
2
c
．
所以
c
＝
2
b
．所以
P
′
(2
b
, 2
b
2
)
．
如图 6，由
A
(1, 1)
2
2
、
B
(2,2)
，可得
AA
′＝
2，
BB
′＝
4．
由
A
(1, 1)
、
P
(
b
,
b
)
，可得点
P
到直线
AA
′的距离
PM
′＝
b
－1．
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
由
B
(2,2)
、
P
′(2
b
, 2
b
2
)
，可得点
P
′到直线
BB
′的距离
P
′
N
′＝
2
b
2
－
2．
所以△
PAA
′与△
P
′
BB
′的面积比＝
2(
b
2
－
1)
∶4(2
b
2
－
2)
＝
1∶
4．
图5
图6
考点延伸
第（ 2）中当∠
BQB
′＝ 90°时，求点
Q
(
x
,
2
2
2
x
2
)
的坐标有三种常用的方法：
方法二，由勾股定理，得
BQ
＋
B
′
Q
＝
B
′
B
．
所以 (
x
－ 2)
2
＋ (
x
2
－ 2)
2
＋ (
x
＋ 2)
2
＋ (
x
2
－ 2)
2
＝ 4
2
．
方法三，作
QH
⊥
B
′
B
于
H
，那么
QH
＝
B
′
H
·
BH
．
所以 (
x
2
－2)
2
＝ (
x
＋ 2) (2 －
x
) ．
2
例 20
2015
年湖南省湘潭市中考第
26 题
＋
的图象与
轴交于
如图 1，二次函数
交于点 ，连结
．动点
＝
2
＋
( －1, 0)
、 (3, 0) 两点，与
轴
y
x
BC
bx
c
x
A
B
y
以每秒
1 个单位长度的速度从点
向点
运动，动点
以每秒
C
个单位长度的速度从点
P
A
B
Q
2
B
向点
C
运动，
P
、
Q
两点同时出发， 连结
PQ
，当点
Q
到达点
C
时，
P
、
Q
两点同时停止运动．设运动的时间为
（ 1）求二次函数的解析式；
t
秒．
（ 2）如图 1，当△
BPQ
为直角三角形时，求
t
的值；
（ 3）如图 2，当
t
＜ 2 时，延长
QP
交
y
轴于点
M
，在抛物线上是否存在一点
的中点恰为
MN
的中点，若存在，求出点
N
，使得
PQ
N
的坐标与
t
的值；若不存在，请说明理由．
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“
15 湘潭 26”，拖动点
P
在
AB
上运动，可以体验到，△
BPQ
有
两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点
N
有一次机会可以落在抛物线上．
思路点拨
1．分两种情况讨论等腰直角三角形
BPQ
．
2．如果
PQ
的中点恰为
MN
的中点，那么
MQ
＝
NP
，以
MQ
、
NP
为直角边可以构造全等的
直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．
．
图文解析
（ 1）因为抛物线
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
与
x
轴交于
A
(
－
1,
0) 、
B
(3, 0) 两点，所以
y
＝
(
x
＋
1)(
x
－
3)
＝
x
2
－
2
x
－
3．
（2）由
A
( －1, 0)
、
B
(3, 0)
、
C
(0,
－
3)
，可得
AB
＝4，∠
ABC
＝
45°．
在△
BPQ
中，∠
B
＝
45°，
BP
＝
4－
t
，
BQ
＝
2
t
．
直角三角形
存在两种情况：
BPQ
①
当∠
BPQ
＝
90°时，
BQ
＝
2 BP
．解方程
② 当∠
2 t
＝
2
(4
－
t
)
，得
t
＝
2（如图
3）．
＝ 90°时， ＝
．解方程 4－
＝ 2
，得
＝
4
BQP
BP
2 BQ
t
t
t
3
（如图 4）．
图 4
G
，当点
G
恰为
MN
的中点时，
MQ
＝
（ 3）如图 5，设
PQ
的中点为
NP
．
图 3
图 5
作
QE
⊥
y
轴于
E
，作
NF
⊥
x
轴于
F
，作
QH
⊥
x
轴于
H
，那么△
MQE
≌ △
NPF
．由已知条件，可得
P
(
t
－1, 0)
，
Q
(3
－
t
,
－
t
)
．
由
QE
＝
PF
，可得
x
Q
＝
x
N
－
x
P
，即
3－
t
＝
x
N
－(
t
－
1)
．解得
x
N
＝
2．将
x
＝2
代入
y
＝
(
x
＋
1)(
x
－
3)
，得
y
＝－
3．所以
N
(2,
－
3)
．
由
QH
//
NF
，得
QH
NF
PH
，即
PF
3
t
(3
t)
(t 1)
．
2
(t
1)
9 33
．
2
整理，得
t
2
－
9
t
＋12＝
0．解得
t
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
因为
t
＜
2，所以取
t
9 33
．
2
考点伸展
第（ 3）题也可以应用中点坐标公式，得
x
G
x
P
x
Q
2
( t 1) (3 t )
2
1
．
所以
x
N
＝2
x
G
＝
2．
§1． 4
因动点产生的平行四边形问题
课前导学
我们先思考三个问题：
1．已知
A
、
B
、
C
三点，以
A
、
B
、
C
、
D
为顶点的平行四边形有几个，怎么画？
2．在坐标平面内，如何理解平行四边形
ABCD
的对边
AB
与
DC
平行且相等？
ABCD
的对角线互相平分？
3．在坐标平面内，如何理解平行四边形
图1
图2
图3
D
．
如图 1，过△
ABC
的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点
如图 2，已知
A
(0, 3) ，
B
( － 2, 0) ，
C
(3, 1) ，如果四边形
ABCD
是平行四边形，怎样求
点
D
的坐标呢？
点
B
先向右平移
2
个单位，再向上平移
3
个单位与点
A
重合，因为
BA
与
CD
平行且相等，
所以点
C
(3, 1)
先向右平移
2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点
D
(5, 4)
．
如图 3，如果平行四边形
ABCD
的对角线交于点
G
，那么过点
G
画任意一条直线 （一般与
B
、
D
到这条直线的距离相等．
坐标轴垂直），点
A
、
C
到这条直线的距离相等，点
关系式
x
A
＋
x
C
＝
x
B
＋
x
D
和
y
A
＋
y
C
＝
y
B
＋
y
D
有时候用起来很方便．
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．
如图 4，点
是抛物线
＝－
2
＋ 2
＋ 3 在
轴上方的一个动点，
⊥
轴于点
，线段
x
A
y
AB
交直线
y
＝
x
－
1
于点
C
，那么
专业知识
x
x
AB x
B
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
点
A
的坐标可以表示为
(
x
,
－
x
2
＋
2
x
＋3)
，
点
C
的坐标可以表示为
(
x
,
x
－
1)
，
线段
AB
的长可以用点
A
的纵坐标表示为
AB
2
＝
y
A
＝－
x
＋
2
x
＋
3，
线段
AC
的长可以用
A
、
C
两点的纵坐标
4
表示为
AC
＝
y
A
－
y
C
＝(
－
x
2
＋
2
x
＋3)
－
(
x
－1)
＝－
x
2
＋
x
＋
2．
通俗地说， 数形结合就是：点在图象上，
可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐
标表示点到坐标轴的距离．
专业知识
整理分享
-----
图
----
WORD 格式
可编辑
例 242014
如图 1，抛物线经过
(1, 0)
、 (5, 0)
年湖南省岳阳市中考第
24 题
10
、
C
(0,
三点．设点 (
)
E x
,
y
) 是抛物线上一动
3
点，且在
x
轴下方，四边形
OEBF
是以
OB
为对角线的平行四边形．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）当点
E
(
x
,
y
) 运动时，试求平行四边形
OEBF
的面积
S
与
x
之间的函数关系式，并求出面积
S
的最大
值；
（ 3）是否存在这样的点
E
，使平行四边形
OEBF
为正
方形？若存在，求点
E
、
F
的坐标；若不存在，请说明理由．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 岳阳 24”，拖动点
E
运动，可以体验到， 当点
E
运动到抛物线
的顶点时，
S
最大．当点
E
运动到
OB
的垂直平分线上时，四边形
OEBF
恰好是正方形．
思路点拨
1．平行四边形
OEBF
的面积等于△
OEB
面积的
2
倍．
2．第（ 3）题探究正方形
OEBF
，先确定点
E
在
OB
的垂直平分线上，再验证
EO
＝
EB
．
图文解析
（ 1）因为抛物线与
x
轴交于
A
(1, 0)
、
B
(5, 0)
两点，设
y
＝
a
(
x
－
1)(
x
－
5)
．
代入点
C
10
，得
(0,
3
)
3
10
5a
．解得
a
2
．
3
所以抛物线的解析式为
y
（ 2）因为
＝
S
平行四边形
OEBF
2
( x
1)(x
5)
2
x
2
4x
3
3
＝ 2
S
＝
·( －
y
)
10
．
3
OB
△ OBE
＝
5(
2
x
2
3
4x
10
)
＝
( x
6 x
5)
＝
(x
3)
2
40
．
3
3
3
3
10
E
2
10
所以当
x
＝
3
时，
S
取得最大值，最大值为
40
3
．此时点
E
是抛物线的顶点（如图
2）．
OEBF
是正方形，那么
（ 3）如果平行四边形
当
x
＝
时，
y
．此时
E(
5
,
5
)
．
2
( x
1)(x
5)
2
3
(
5
)
2
3
2
2
2
3
2
2
如图 3，设
EF
与
OB
交于点
D
，恰好
OB
＝ 2
DE
．
5
点
E
在
OB
的垂直平分线上，且
EO
＝
EB
．
5
所以△
OEB
是等腰直角三角形．所以平行四边形
所以当平行四边形
OEBF
是正方形．
OEBF
是正方形时，
E
5
5
、 F
(
5 5
)
．
2
2
2
2
()
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
图2
图3
考点伸展
OEBF
有几个
既然第（ 3）题正方形
OEBF
是存在的，命题人为什么不让探究矩形
如图 4，如果平行四边形
呢？
OEBF
为矩形，那么∠
OEB
＝90°．
2
根据
EH
2
＝
HO HB
· ，列方程
2
3
( x
1)(x 5)
x(5
x)
．
或者由
DE
＝
OB
＝
，根据
DE
＝
2
1
5
25
，列方程
( x
5
)
2
2
( x
1)(x
5)
2
25
．
2
2
4
2
3
4
这两个方程整理以后都是一元三次方程
业的水平是不好解的．
4
x
3
－ 28
x
2
＋ 53
x
－ 20＝ 0，这个方程对于初中毕
事实上，这个方程可以因式分解，
(x
4)( x
5
1
)( x
1
)
0
．
如图 3，
x
＝
；如图 4，
x
＝4；如图
5，
x
＝ ，但此时点
E
在
x
轴上方了．
5
2
2
2
2
这个方程我们也可以用待定系数法解：
设方程的三个根是
5
2
、、，那么4
m
n
x
3
－28
2
＋ 53
x
－ 20＝
x4( x
5
)( x
m)( x
n)
．
2
根据恒等式对应项的系数相等，得方程组
4m
4n
10
28,
m
4,
10m
10n
4mn 53,
解得
1
n.
10mn
20.
2
图4
图5
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
例 252014
如图 1，直线
年湖南省益阳市中考第
轴、
轴分别交于点
20 题
、 ，抛物线
＝－ 3
＋3 与
＝ (
－ 2)
2
＋
经过
y
x
A
、
B
两点，并与
x
轴交于另一点
xy
C
，其顶点为
P
．
A B
y
a x
k
（ 1）求
a
，
k
的值；
（ 2）抛物线的对称轴上有一点
，使△
是以
为底边的等腰三角形，求点
的坐
标；
Q
ABQ
AB
Q
（ 3）在抛物线及其对称轴上分别取点
M
、
N
，使以
A
、
C
、
M
、
N
为顶点的四边形为正方
形，求此正方形的边长．
】
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名
“ 14 益阳 20”，可以体验到， 点
Q
在线段
AB
的垂直平分线上． 还
可以体验到，正方形的对角线为
AC
，有一个顶点恰为抛物线的顶点．
思路点拨
1．第（ 2）题的等腰三角形只考虑
QA
＝
QB
的情形．
2．第（ 3）题的正方形不可能
AC
为边，只存在
AC
为对角线的情形．
图文解析
（ 1）由
y
＝－ 3
x
＋ 3，得
A
(1, 0) ，
B
(0, 3) ．
将 (1, 0)
、 (0, 3) 分别代入
＝ (x － 2)
2
＋
，得
A
B
y
a
k
k
4a
k
a
0,
3.
解得
a
＝
1，
k
＝－
1．
（ 2）如图
2，抛物线的对称轴为直线
2
x
＝
2，设点
Q
的坐标为
(2,
m
)
．
2
2
2
2
2
已知
A
(1, 0)
、
B
(0, 3)
，根据
QA
＝
QB
，列方程
1
＋
m
＝
2
＋
(
m
－
3)
．
解得
m
＝
2．所以
Q
(2, 2)
．
（ 3）点
A
(1, 0) 关于直线
x
＝ 2 的对称点为
C
(3, 0)
如图 3，如果
AC
为正方形的边，那么点
如图 4，当
AC
为正方形的对角线时，
因为对角线
，
AC
＝
2．
M
、
N
都不在抛物线或对称轴上．
M
、
N
中恰好有一个点是抛物线的顶点
(2,
－
1)
．
＝ 2，所以正方形的边长为
．
AC
2
整理分享
专业知识
-----
----
WORD 格式
可编辑
图2
图3
图4
考点伸展
如果把第（ 3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点
M
有几个？
①
如果
AC
为对角线，上面的正方
形
AMCN
是符合条件的，
M
(2,
－
1)
．
② 如图 5，如果
AC
为边，那么
MN
//
AC
，
MN
＝
AC
＝
2．所以点
M
的横坐标为
4
或
0．
此时点
M
的坐标为
(4, 3)
或 (0, 3)
．
第（ 2）题如果没有限制等腰三角形
ABQ的底边，那么符合条件的点
① 如图 2，当
QA
＝
QB
时，
Q
(2, 2) ．
② 如图 6，当
2
Q
有几个？
＝ ＝
时，以
为圆心，
为半径的圆与直线
＝ 2 有两个交点．
BQ BA
2
10
2
B
BA
x
根据
BQ
＝
10，列方程
2
＋ (
m
－ 3)
＝ 10，得
m
3 6
．
此时
Q(2,3
6)
或
(2,3
6)
．
③ 如图 7，当
AQ
＝
AB
时，以
A
为圆心，
AB
为半径的圆与直线
x
＝ 2 有两个交点，但是点
(2, － 3) 与
A
、
B
三点共线，所以
Q
(2, 3)
．
图5
图6
图7
专业知识
整理分享
-----
----
WORD 格式
可编辑
例 262014
年湖南省邵阳市中考第
25 题
1），按如图 2 操作：
准备一张矩形纸片（如图
将△
ABE
沿
BE
翻折，使点
A
落在对角线
BD
上的点
M
，将△
CDF
沿
DF
翻折，使点
对角线
BD
上的点
N
．
C
落在
（ 1）求证：四边形
BFDE
是平行四边形；
（ 2）若四边形
BFDE
是菱形，
AB
＝ 2，求菱形
BFDE
的面积．
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 25”，拖动点
D
可以改变矩形
ABCD
的形状，可以体验到，
当
EM
与
FN
在同一条直线上时，四边形
BFDE
是菱形，此时矩形的直角被三等分．
思路点拨
1．平行四边形的定义和
4 个判定定理都可以证明四边形
BFDE
是平行四边形．
或者对角线互相垂直．用
2．如果平行四边形
BFDE
是菱形，那么对角线平分一组对角，
这两个性质都可以解答第（
2）题．
图文解析
（ 1）如图 3，因为
AB
//
DC
，所以∠
ABD
＝∠
CDB
．
又因为∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，所以∠ 1＝∠ 3．所以
BE
//
FD
．
又因为
ED
//
BF
，所以四边形
BFDE
是平行四边形．
图3
图4
（ 2）如图 4，如果四边形
BFDE
是菱形，那么∠ 1＝∠ 5．所
以∠ 1＝∠ 2＝∠ 5．
由于∠
ABC
＝
90°，所以∠1＝∠
2＝∠
5＝
30°．
所以
BD
＝
2
AB
＝4，
AE
＝
2 3
．所以
ME
＝
2
3
．
3
3
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所以
S
菱形
BFDE
＝
2
S
△BDE
＝
BD
·
ME
＝
8 3
．
3
考点伸展
第（ 1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四
边形叫平行四边形．还可以这样思考：
证明四边形
BFDE
的两组对边分别相等；
证明
ED
与
BF
平行且相等；
证明四边形
BFDE
的两组对角分别相等．
这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠
1＝∠ 2＝∠ 3＝∠ 4．
这样其实就走了弯路，因为由∠ 1＝∠ 3，直接得到
BE
//
FD
，根据平行四边形的定义来得
快．
能不能根据
BD
与
EF
互相平分来证明呢？也是可以的：
EMO
≌ △
FNO
，得到
EF
与
MN
互
相
如图 5，设
EF
与
BD
交于点
O
，根据“角角边”证明△
平分．又因为
BM
＝
DN
，于是得到
EF
与
BD
互相平分．
图 5
图 6
第（ 2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到
我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：
如图 6，如果四边形
30°的角．
BFDE
是菱形，那么对角线
EF
BD
⊥
，此时垂足
M N
、
重合．
因此
BD
＝
2
DC
．这样就得到了∠
5＝ 30°．
BFDE
是菱形时，矩形
ABCD
被分割
事实上，当四边形
为
由 ＝2，得
＝
．矩形
的面积为
．
6 个全等的直角三角形．
AB
AD
2
3
ABCD
，所以菱形面积为
4
3
8
3
．
3
菱形面积占矩形面积的
2
3
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§1．5
因动点产生的面积问题
课前导学
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：
第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．
第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直
接用面 积公式．
如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不 规则”的三角形的
面积，用“割”或“补”的方法．
图1
图2
图3
计算面积长用到的策略还有：
如图 4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图 5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图 6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4
图5
图6
例 322014
年湖南省常德市中考第 25 题
4 3
) ，
M
是
OA
的中
点．
3
如图 1，已知二次函数的图象过点
O
(0,0)
、
A
(4
，0)
、
B
( 2,
（ 1）求此二次函数的解析式；
（ 2）设
P
是抛物线上的一点，过
P
作
x
轴的平行线与抛物线交于另一点
Q
，要使四边形
PQAM
是菱形，求点
P
的坐标；
（ 3）将抛物线在
x
轴下方的部分沿
x
轴向上翻折，得曲线
OB
′
A
（
B
′为
B
关于
x
轴的
C
，连结
CM
，
CM
与翻折后的曲线
OB
′
A
交于点
对称点），在原抛物线
x
轴的上方部分取一点
D
，
面积的 2 倍，这样的点
是否存在？若存在求出点
若△
的面积是△
的坐标；若不存在，
请说明理由．
CDA
MDA
C
C
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图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 常德 25”，拖动点
P
在抛物线上运动，可以体验到，当四边
是平行四边形时， 也恰好是菱形． 拖动点
形
与△
PQAM
是同底三角形，它们的面积比等于对应高的比．
C
在抛物线上运动，还可以体验到，△
MCA
MDA
思路点拨
1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．
2．先确定四边形
PQAM
是平行四边形，再验证它是菱形．
3．把△
CDA
与△
MDA
的面积比，转化为△
面积比，进而转化为点
C
与点
D
MCA
与△
MDA
的
的纵坐标的比．
图文解析
（ 1）因为抛物线与
B2,
x
轴交于
O
(0,0)
、 (4 ，0) 两点，设
A
y
＝
ax
x
(
－4) ．
4 3
) ，得
4
3
3
．所以 y
3
．
3
3
3
3
（ 2）如图 2，由
A
(4 ，0) ，
M
是
OA
的中点，可知
OA
＝4，
MA
＝2，
M
(2, 0) ．如
代入点 (
4a ．解得 ax( x 4)
果四边形
PQAM
是菱形，已知
PQ
//
OA
，首先要满足
PQ
＝2，再必须
MP
＝2．
因为抛物线的对称轴是直线
x
＝
2，
P
、
Q
关于
x
＝2
对称，所以点
P
的横坐标为
1，故点
P
的坐标为
(1,
3) ．
由
M
(2, 0)
、
P
(1,
3) ，可得
MP
＝2．所以当点
P
的坐标为 (1,
3) 时，四边形
PQAM
是
菱
形．
（ 3）如图 3，作
CE
⊥
x
轴于
E
，作
DF
⊥
x
轴于
F
．
我们把面积进行两次转换：
如果△
CDA
的面积是△
MDA
面积的
2
倍，那么△
MCA
的面积是△
MDA
面积的
3
倍．
而△
MCA
与△
MDA
是同底三角形，所以高的比
CE
∶
DF
＝3∶
1，即
y
C
∶
y
D
＝
3∶1．
因此
ME
∶
MF
＝
3∶
1．设
MF
＝
m
，那么
ME
＝
3
m
．
3
原抛物线的解析式为
x( x
4) ，所以翻折后的抛物线的解析式为
y
y
3
3
3
所以
D
(2
m,(2
m)(2
m
4)) ，
C
(2
3m,
(2
3m)(2
3m
4)) ．
3
3
根据
y
∶
y
＝
3∶
1，列方程
C
D
3
3
x( x 4)
．
3
3
(2
3m)(2
3m
4) 3
3
3
(2
m)(2
m 4)
．
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图2
图3
整理，得 3
2
3
m
＝4．解得
m
2
．所以 2 3m 2
2 3 ．
3
所以点
C
的坐标为
(2 2
3,
8
3
) （如图 3），或 (2
2 3,
8 3
) （如图 4）．
3
3
图4
考点伸展
第（ 1）题可以设抛物线的顶点式：
由点
O
(0,0),
A
(4
，0)
，
B
( 2,
4 3
) 的坐标，可知点
B
是抛物线的顶点．
4 3
3
可设 y a( x
2)
2
，代入点
O
(0,0)
，得 a
3
．
3
3
例 33
2014
年湖南省永州市中考第 25 题
2
如图 1，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）与
x
轴交于
A
( － 1, 0)
，
B
(4, 0)
两点，与
y
轴
交于点
C
(0,
2) ．点
M
(
m
,
n
) 是抛物线上一动点， 位于对称轴的左侧，
并且不在坐标轴上．
过
点
M
作
x
轴的平行线交
y
轴于点
Q
，交抛物线于另一点
E
，直线
BM
交
y
轴于点
F
．
（ 1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（ 2）当
S
△
MFQ
∶
S
△
MEB
＝ 1∶3 时，求点
M
的坐标．
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名
“ 14 永州 25”，拖动点
M
在抛物线左半侧上运动，
观察面积比的
度量值，可以体验到，存在两个时刻，△
MEB
的面积等于△
MFQ
面积的
3
倍．
思路点拨
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