如何提高学生的数学兴趣2014年北京市中考数学试卷(含答案和解析)

2020年11月22日发(作者：贝聿铭)
2014年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共
A．
2
32分， 每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．
）
C．
﹣
D．
1．（4分）（2014?北京）2的相反数是（
B．﹣2
2．（4分）（2014?北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，
吨．将300 0 00用科学记数法表示应为（
A．0.3×10
6
在十年内帮助他居住小区的居民累计 节水
6
300 000
）
C．3×10D．30×10
4
B ．3×10
5
3．（4分）（2014?北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数 为偶数的概率是（）
A．
B．C．D．
4．（4分）（2014?北京）如图是几何体 的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱
12名队员的年龄如表：
20
1
B．19，19
21
2
）
C．正三棱柱D．正三 棱锥
5．（4分）（2014?北京）某篮球队
年龄（岁）
人数
A．18，1 9
18
5
19
4
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（
C．18，19.5 D．19，19.5 S（单位：平方米）与工
）
6．（4分）（2014?北京）园林队在某公园进行绿化，中 间休息了一段时间．已知绿化面积
作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小 时绿化面积为（
A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米
7．（4分） （2014?北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为 （）
A．2B．4C．4D．8
8．（4分）（2014?北京）已知点A为某封闭图形边界上 一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设
点P运动的时间为x，线段AP的长为y ．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）
A．
B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
ax
﹣9ay
=
42
9． （4分）（2014?北京）分解因式：_________．
3m，同时测得一根旗杆的影长为25m ，10．（4分）（2014?北京）在某一时刻，测得一根高为
那么这根旗杆的高度为_______ __m．
1.8m的竹竿的影长为
11．（4分）（2014?北京）如图，在平面直角坐标系
使它的图象与正方形
xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数
_____ ____．
y=（k≠0），
OABC有公共点，这个函数的表达式为
12．（4分） （2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点 P的伴
A
1
，A
2
，A
3
，…，
；若点A
1
．
_________，点A
2014
的坐标为________ _
_________
随点．已知点A
1
的伴随点为A
2
， 点A
2
的伴随点为A
3
，点A
3
的伴随点为A
4< br>，…，这样依次得到点
，则点A
3
的坐标为
A
n
，… ．若点A
1
的坐标为（3，1）
的坐标为（a，b），对于任意的正整数
三、 解答题（本题共30分，每小题
n，点A
n
均在x轴上方，则a，b应满足的条件为< br>5分）
13．（5分）（2014?北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED， BC=DB．求证：∠A=∠E．
14．（5分）（2014?北京）计算：（6﹣π）+（﹣
0
）
﹣
1
﹣3tan30°+|﹣|
15．（5分）（2014? 北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（5分）（2014?北京）已 知x﹣y=
17．（5分）（2014?北京）已知关于
（1）求证：方程总有两个实数根；< br>，求代数式（x+1）
﹣2x+y（y﹣2x）的值．
2
2
0）．x的方程mx
﹣（m+2）x+2=0（m≠
m的值．（2）若方程的两个实数根都是整数 ，求正整数
18．（5分）（2014?北京）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A 地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已
知每行驶 1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多
每行驶1千米所需的电费．四、解答题（本题共20分，每小题5分）
0.54元，求新购买的纯电动汽车
19．（5 分）（2014?北京）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于 点F，AE
与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
20．（5分）（2014 ?北京）根据某研究院公布的
统计图表如下：
2009～2013年成年国民
年人均阅 读图书数量统计表
年份
2009
2010
2011
2012
2013
根据以上信息解答下列问题：
2009～2013年我国成年国民阅读调查 报告的部分相关数据，绘制的
年人均阅读图书数量（本）
3.88
4.12
4.35
4.56
4.78
（1）直接写出扇形统计图中
阅读 图书的数量约为
m的值；
2014年成年国民年人均
本；
990人，若该小区
_________
2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估
本．
（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算
__ _______
（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有
算2014年该小区成年国 民阅读图书的总数量约为
21．（5分）（2014?北京）如图，AB是eO的直径，C是AB的中点 ，eO的切线BD交AC的延长线于点
OB的中点，CE的延长线交切线
（1）求证：AC=C D；
（2）若OB=2，求BH的长．
BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．
?
D，E 是
22．（5分）（2014?北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：
∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点
图2）．
请回答：∠ACE的度数为
如图3，在四边形
的长．
_________，AC的长 为
C作CE∥AB，交AD的延长线于点
如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD =75°，
E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如
________ _．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30° ，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC
五、解答题（本题共22 分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（7分）（2014?北京）在平面直角坐标 系
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为
xOy中，抛 物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
A，B之间的部分为图象G（包
2
C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在
含A，B两点）．若直线CD 与图象G有 公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
24．（7分）（2014?北京）在正方形DE交直线AP于点F．
ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，D E，其中
（1）依题意补全图1；
AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
（2） 若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线 段
25．（8分）（2014?北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数 值y，都满足﹣M＜y≤M，
则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数 的边界值．例如，如图中的函数是有
界函数，其边界值是
（1）分别判断函数
1．y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
2， 且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
t，当m在什么范围时，
（2）若函数y=﹣x +1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是
（3）将函数
满足≤t≤1？
2
y= x（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是
2014年北京市中考数 学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共
A．2
32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．
）
C．
﹣
D．
1．（4分）（2014?北京）2的相反数是（
B．﹣2
考点：相反数．
分析： 根据相反数的概念作答即可．
解答：解：根据相反数的定义可知：
故选：B．
点评：此 题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
2．（4分）（2014?北京）据报道 ，某小区居民李先生改进用水设备，
吨．将300 000用科学记数法表示应为（
A．
0.3×10
6
2的相反数是﹣2．
0的相反数是其本身．
300 000 在十年内帮助他居住小区的居民累计节水
6
）
C．
3×10
D．30×10
4
B．
3×10
5
考点：科学记数法—表示较大的数 ．
分析：科学记数法的表示形式为
小数点移动了多少位，
解答：
解：300 000=3×10，
故选：B．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的 表示形式为
时关键要正确确定a的值以及n的值．
6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数 的概率是（）
a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示
n
5
a×10的形式，其中
n
1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时 ，n是负数．
3．（4分）（2014?北京）如图，有
A．
B．C．D．
考 点：概率公式．
分析：由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有
解答：解：∵有6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有
∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：
故 选D．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率
4．（4分）（2014?北 京）如图是几何体的三视图，该几何体是（
=所求情况数与总情况数之比．
）
=．3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
3种情况，
A．圆锥
考点：由三 视图判断几何体．
B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
分析：如图：该几何体的俯视图与左视图 均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为 矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选C．
点评：本题是个简 单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
5．（4分）（2014? 北京）某篮球队
年龄（岁）
人数
A．18，19
考点：众数；加权平均数．
分析：根据众数及平均数的概念求解．
解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是
平均数=
故选A．
点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关 键．
6．（4分）（2014?北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积< br>作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（
S（单位： 平方米）与工
）
18；
18
5
19
4
12名队员的年龄如表：
20
1
B．19，19
21
2
）
C．18，19.5 D．19，19.5
则这12名队员年龄的众 数和平均数分别是（
=19．
A．40平方米
考点：函数的图象．
B．50平 方米C．80平方米D．100平方米
分析：根据图象可得，休息后园林队
解答：解：根据图象 可得，休息后园林队
每小时绿化面积为
故选：B．
2小时绿化面积为160﹣60=1 00平方米，然后可得绿化速度．
160﹣60=100平方米，2小时绿化面积为
100÷2 =50（平方米）．
点评：此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．< br>7．（4分）（2014?北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，O C=4，CD的长为（）
A．
2
B．4C．
4
D．8
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析：根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于圆 O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得
断△OCE为等腰直角三角形，所以
然后利用CD =2CE进行计算．
解答：解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵圆O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC= 2
．
，
CE=OC=2，
CE=DE，且可判
∴CD=2CE=4< br>故选C．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的
一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
8．（4分）（20 14?北京）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设
点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）< br>A．
B．C．D．
考点：动点问题的函数图象．
分析：根据等边三角形，菱形， 正方形，圆的性质，分析得到
解答：解：A、等边三角形，点
在点A的对边上时，设等边三角形 的边长为a，
y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．
P在开始与结束的两边上直线变化 ，
则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；
B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；
C、正方形，点P在开始与结 束的两边上直线变化，
A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；
AP为直径， 然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．
P在各边时AP
在另两边上，先变速增加至 ∠
故选A．
点评：本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的 性质，理清点
的长度的变化情况是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）ax
﹣9ay
=
42
D、圆，AP的长度，先变速增加至
9．（ 4分）（2014?北京）分解因式：
（x
+3y）a（x
﹣3y）
22．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式
42
a ，进而利用平方差公式进行分解即可．
4222
22
解答：解：ax﹣9ay
=a（x
﹣9y）=a（x﹣3y）（x
+3y）．
故答案为：a（x﹣3y）（x< br>+3y）．
点评：此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确利用平方差公式是解题关 键．
10．（4分）（2014?北京）在某一时刻，测得一根高为
那么这根旗杆的高度为15 m．
考点：相似三角形的应用．
分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设旗杆高度为
由题意得，
解得x=15．
故答案为：15．
点 评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
=
x米，
，
1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，
11．（4分） （2014?北京）如图，在平面直角坐标系
使它的图象与正方形
xOy中，正方形OABC的 边长为2．写出一个函数
y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）
y=
．
（ k≠0），
OABC有公共点，这个函数的表达式为
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．< br>专题：开放型．
分析：先根据正方形的性质得到
例函数解析式即可．
B点坐标为 （2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比
解答：解：∵正方形OABC的 边长为2，
∴B点坐标为（2，2），
当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，y=．∴满足条件的一个反比例函数解析式为
故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一） ．
点评：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数
的点（x，y）的横 纵坐标的积是定值
12．（4分）（2014?北京）在平面直角坐标系
k，即xy=k．xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴
A
1，A
2
，A
3
，…，
y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线 ，图象上
随点．已知点A
1
的伴随点为A
2
，点A
2
的伴随点为A
3
，点A
3
的伴随点为A
4
，…，这样依次 得到点
，则点A
3
的坐标为（﹣3，1），点A
2014
的坐标为（ 0，4）；若点A
1
A
n
，…．若点A
1
的坐标为（3，1 ）
的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A
n
均在x轴上方，则a，b应满足 的条件为﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
考点：规律型：点的坐标．
分析：根据“伴随点”的定义 依次求出各点，不难发现，每
和余数的情况确定点A
2014
的坐标即可；再写出点< br>大于0列出不等式组求解即可．
解答：解：∵A
1
的坐标为（3，1），
∴A
2
（0，4），A
3
（﹣3，1），A
4
（0，﹣2 ），A
5
（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，0，4）；
∵2014÷4=503余2，
∴点A
2014
的坐标与A< br>2
的坐标相同，为（
∵点A
1
的坐标为（a，b），
∴A2
（﹣b+1，a+1），A
3
（﹣a，﹣b+2），A
4
（b ﹣1，﹣a+1），A
5
（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组 依次循环，
n，点A
n
均在x轴上方，
，
∵对于任意的正整数
∴，
4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商
A
1
（a， b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案为 ：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
点评：本题是对点的变化规律的考查，是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
B在线段AD 上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．
读懂题目信息，理解“伴随点”的定义 并求出每4个点为一个循环组依次循环
13．（5分）（2014?北京）如图，点