-
实数
易错清单
1
.
用科学记数法表示较大或较小的数时指数
n
的确定
.
【例1】
(2014·湖北随州)2013年,我市以保障和改善民生为重点的“十 件实事”全面完
成,财政保障民生支出达74亿元,占公共财政预算支出的75%,数据74亿元用科学 记数法表示
为(
)
.
A. 74
×
10元
C. 7
.
4
×
10元
9
8
B. 7
.
4
×
10元
D. 0
.
74
×
10元
n
10
8
【解析】
①
本题考查了科学记数法的相关知识< br>.
一些较大的数,可以用
a×
10的形式来
表示,其中1≤
a <
10,
n
是所表示的数的整数位数减1
.
②a×
10中
n
所表示的数容易搞错
.
74亿
元
=
7< br>.
4
×
10元
.
【答案】
C
2
.
实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,要注意负指数幂、零次幂和三角函 数等在
算式中的出现
.
9
n
【解析】
本题考查实数的运算法则、方法、技巧
.
运算时要认真审题,确定符号,明确运
算顺序
.
本题易错点有三处:
①
不能正确理解算术平方根、负指数幂、绝对 值的意义;
②
不能正
确确定符号;
③
把三角函数值记错
.< br>
3
.
实数计算中整体思想的运用
.
【例3】
(2014·甘肃兰州)为了求1
+
2
+
2
+
2
+
…
+
2
2341011011012310023100
的值,可令
S=
1
+
2
+
2
+
2
+
…
+
2,
23100101
则 2
S=
2
+
2
+
2
+
2
+
…
+
2,因此2
S-S=
2
-
1,所以
S=2
-
1,即1
+
2
+
2
+
2
+
…
+
2
=
2
-
1,仿照
以上推理计算1
+
3
+
3
+
3
+
…
+
3
232014
的值是
.
【解析】
根 据等式的性质,可得和的3倍,根据两式相减,可得和的2倍,根据等式的性
质,可得答案
.< br>
设
M=
1
+
3
+
3
+
3
+
…
+
3
则3
M=
3
+
3
+
3
+
…
+
3
23
232014
,①
2015
.②
②-①
得2
M=
3
2015
-
1,
两边都除以2,得
名师点拨
1
.
能记住有理数、数轴、相反数、倒数、绝对值等概念,运用概念进行判断
.
2
.
能说明任意两个有理数之间的大小关系
.
3
.
能利用有理数运算法则熟练进行有理数的混合运算
.
4
.
利用科学记数法表示当下热点问题
.
5
.
能解释实数与数轴的一一对应关系
.
6
.
能利用估算思想估算一个无理数的大致大小
.
7
.
能利用运算律快速进行实数的运算
.
提分策略
1
.
实数的运算
.
(1)在进行实数的混合运算时,首 先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律,
要弄清按怎样的运算顺序进行
.
中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起
考查
.
(2) 要注意零指数幂和负指数幂的意义
.
负指数幂的运算:
a=
(
a≠0,且
p
是正整数),零指数
幂的运算:
a=
1(
a
≠0)
.
【例1】
计算:
+
(
-
1)
+
2
×
(
-
3)
.
【解析】
根据零指数幂:
a=
1(
a
≠0),以 及负整数指数幂运算法则得出即可
.
【答案】
原式
=< br>5
+
1
-
6
=
0
.
2
.
实数的大小比较
.
两个实数的大小比较方法有:( 1)正数大于零,负数小于零;(2)利用数轴;(3)差值比较法;(4)商
值比较法;(5)倒数法 ;(6)取特殊值法;(7)计算器比较法等
.
0
0
0
-p
3
.
探索实数中的规律
.
关于数式规律性问题的一般解题思路:(1)先对给出的特殊数 式进行观察、比较;(2)根据观
察猜想、归纳出一般规律;(3)用得到的规律去解决其他问题
.
对数式进行观察的角度及方法:(1)横向观察:看等号左右两边什么不变,什么在变, 以及变
化的数字或式子间的关系;(2)纵向观察:将连续的几个式子上下对齐,观察上下对应位置的式
子什么不变,什么在变,以及变化的数字或式子间的关系
.
【例3】
观察下列等式:
请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:
a
5
= =
;
(2)用含
n
的代数式表示第
n
个等式:
a
n= =
(
n
为正整数);
(3)求
a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+
…
+ a
100
的值
.
专项训练
一、 选择题
2
.
(2014·河南洛阳模拟)在实数中,最小的数是(
)
.
A. 0 B.
-
π
C. D.
-
4
3
.
(2014·浙江温州模拟)在0,
-
1,
-
2,
-
3
.
5这四个数中,最小的负整数是(
)
.
A. 0 B.
-
1
C.
-
2 D.
-
3
.
5
4
.
(2014·江苏泰州洋思中学模拟)在数轴上表示
-
2的点离原点的距离等于(
A. 2 B.
-
2
C.
±
2 D. 4
5
.
(2014·浙江杭州模拟)若
|x-
5
|=
5
-x
,则下列不等式成立的是(
)
.
A.
x-
5
>
0 B.
x-
5
<
0
C.
x-
5≥0 D.
x-
5≤0
6
.
(2014·安徽安庆二模)数轴上点
A
表示的实数可能是(
)
.
)
.
(第6题)
8
.
(2013·吉林镇赉县一模)下列各数中最大的是(
)
.
A.
-
2 B. 0
9
.
(2013·浙江湖州模拟)
A. 4
C.
±
4
的平方根是(
)
.
B. 2
D.
±
2
10
.
(2013·浙江湖州模拟)3月11日,日本发生 地震和海啸,3月12日,中国红十字会向日本红十
字会提供100万元人民币的紧急援助,同时发出慰 问电,向日本受灾群众表示诚挚的慰问,对地
震遇难者表示深切的哀悼,并表示将根据灾区需求继续提供 及时的人道援助
.
100万这个数用
科学记数法表示为(
)
.
A. 1
.
0
×
10
C. 1
.
0
×
10
5
4
B. 1
.
0
×
10
D. 0
.
1
×
10
03
6
6
11
.
(2013·河北三模)在下列各数(< br>-
1),
-|-
1
|
,(
-
1),(
-
1)中,负数的个数为(
)
.
A. 0
C. 2
B. 1
D. 3
-
2
12
.
(2013·江苏扬州弘扬中学二模)下列计算错误的是(
)
.
13
.
(2013·山东德州一模)
-
7的相反数的倒数是(
)
.
二、 填空题
15
.
(2014·甘肃天水一模)若0
.
16
.
(2013·安徽芜湖一模)2012年5月8日,“最美教师” 张丽莉为救学生身负重伤,张老师舍己
救人的事迹受到全国人民的极大关注,在住院期间,共有695万 人以不同方式向她表示问候和
祝福,将695万人用科学记数法表示为
人
.
(结果精确到十万位)
17
.
(2013·山东 德州一模)某种商品的标价为200元,按标价的八折出售,这时仍可盈利25%,则
这种商品的进价是
元
.
三、 解答题
20
.
(2014·江苏南通海安县模拟)计算:
21
.
(2014·内蒙古赤峰模拟)计算:
22
.
(2014·甘肃天水一模)计算:
|-
3
|+
(
-
1)
2014
×
(
-
2)
0
-+.
23
.
(2013·浙江湖州模拟)计算:
24
.
(2013·广东深圳育才二中一模)计算:
参考答案与解析
1
.
C
[解析]可利用特 殊值法解,例如令
n=
2,
m=-
3
.
2
.
D
[解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数
.
3
.
C
[解析]
-
3
.
5不是整数
.
4
.
A
[解析]
-
2的绝对值等于2
.
5
.
D
[解析]非负数的绝对值等于其相反数
.
7
.
D
[解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数
.
10
.
B
[解析]100万
=
1
.< br>0
×
10
.
11
.
C
[解析](
-
1)
=
1,
-|-
1
|=-
1,(
-
1)
=-
1,(
-
1)
=
1< br>.
03
6
-
2
13
.
C
[解析]
-
7的相反数是7,7的的倒数是
.
16
.
7
.
0
×
10
[解析]695万
=
6< br>.
95
×
10≈7
.
0
×
10
.< br>
17
.
128
[解析]设每件的进价为
x元,由题意,得200
×
80%
=x
(1
+
25%), 解得
x=
128
.
18
.
原式
=9
+
2
-
1
-
3
+
2
=9
.
666
22
.
原式=
3
+
1
-
3
+
4
=
5.
23
.
原式
=
2
+
2
×-
3
+
1
=
1
.
-
1
代数式
易错清单
1
.
在规律探索问题中如何用含
n
的代数式表示
.
【例1】
(2014·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2014再到2015,箭头的方< br>向是以下图示中的(
)
.
【解析】
观察不难发现,每4个数为一个循环组依次循环,用2013除以4,根据 商和余数的
情况解答即可
.
∵
2013
÷
4
=
503…1,
∴
2013是第504个循环组的第2个数
.
∴
从2013到2014再到2015,箭头的方向是
【答案】
D
【误区纠错】
本题是对数字变化规律的考查,仔细观察图形,发现每4个数为一个循 环组依
次循环是解题的关键
.
2
.
求代数式的值时,一般应先化简再代入求值
.
.
【误区纠错】
在计算括号内的分式加减法时,通分出错,或者分子加减时出错
.
【误区纠错】
本题易错点一是化简时没注意运算顺序;易错点二是去掉分母计算
.
名师点拨
1
.
能用字母表示实际意义,正确解释代数式的含义
.
2
.
会用数字代替字母求代数式的值
.
3
.
能用数学语言表述代数式
.
提分策略
1
.
列代数式的技巧
.
列代数式的关键是正确理解数量关系,弄清运算顺序和括号的作用
.
掌握文字语言和、差、积、
商、倍、分、大、小、多、少等在数学语言中的含义,此 外还要掌握常见的一些数量关系,如
行程、营销利润问题等
.
【例1】
通信市场竞争日益激烈,某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低
a
元
后,再次下调了20%,现在收费标准是每分钟
b
元,则原收费 标准每分钟是
元
.
【解析】
设原收 费标准每分钟是
x
元,则(
x-a
)(1
-
20%)
=b
,解得
x=a+
1
.
25
b.
【答案】
a+
1
.
25
b
2
.
求代数式的值的方法
.
求代数式的值的一般方法是 先用数值代替代数式中的每个字母,然后计算求得结果,对于特殊
的代数式,也可以用以下方法求解:
①
给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入求值;
②
给出代数式中所含几个字母间的关系,不直接给出字母的值,该类题一般是把代数式通过恒
等变形,转 化成为用已知关系表示的形式,再代人计算;
③
在给定条件中,字母间的关系不明显,字母的 值含在题设条件中,该类题应先由题设条件求
出字母的值,再代人代数式的值
.
【例2】
按照如图所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为
.
【解析】
由图可知,输入的值为3时,(3
+< br>2)
×
5
=
(9
+
2)
×
5
=
55
.
【答案】
55
3
.
列代数式探索规律
.
根据一系列数式关系或一组相 关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律
.
其
中以图形为载体的数式 规律最为常见
.
猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系式列式表
达出来,再对所 列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论
.
【例3】
观察下列图形:
2
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第9个图形中共有
个★
.
【解析】
观察发现:相邻的下一个图形比这个图形多3个“★”,由此得 第
n
个图形★的个数
为3
n+
1,故第9个图形★的个数为3
×
9
+
1
=
28
.
【答案】
28
专项训练
一、 选择题
1
.
(2014·甘肃天水一模)下列运算中正确的是(
)
.
A. 3
a-
2
a=
1 B.
a
·
a=
3
a
23
C. (
ab
)
=ab
2333
D.
a
·
a=a
235
2
.
(2014·福建岚华中学)下列运算正确的是(
)
.
A.
a÷a=a
33
B. (
a
)
=a
235
C. D.
a
·
a=a
23
3
.
(2014·山东东营模拟)下列运算正确的是(
)
.
4
.
(2013·广西钦州四模)下列二次三项式是完全平方式的是(
)
.
A.
x-
8
x-
16
C.
x-
4
x-
16
2
2
B.
x+
8
x+
16
D.
x+
4
x+
16
2
2
5
.
(2013·江苏东台第二学期阶段检测)下列运算中正确的是(
)
.
A. 3
a+
2
a=
5
a
B. 2
a
·
a=
2
a
C. (2
a+b
)(2
a-b
)
=
4
a-b
D. (2
a+b
)
=
4
a+b
6
.
(2013·浙江宁波北仑区一模)对任意实数
x
,多项式< br>-x+
6
x-
10的值是(
)
.
A. 负数
C. 正数
二、 填空题
7
.
(2014·湖北黄石模拟)化简
÷
的结果为
.
8
.
(2014·山东聊城模拟)下面是用棋子摆成的“上”字:
B. 非负数
D. 无法确定
2
222
22
236
2
(第8题)
如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:第
n
个“上”字需用
枚棋子
.
9
.
(2014·山西太原模拟)计算:(
x+
3)(
x-
3)
= .
10
.
(2014·天津塘沽区一模)计算(
a
)的结果等于
.
11
.
(2014·河北廊坊模拟)计算:
x
·
x+x
·
x= .
12
.
(2013·河北唐山二模)随着电子技术的发展,手机价格不断 降低,某品牌手机按原价降低
m
元后,又降低20%,此时售价为
n
元,则该 手机原价为
元
.
13
.
(2013 ·浙江杭州拱墅一模)计算:3
a
·(
-
2
a
)
=
;(2
ab
)
= .
14
.
(2013·江苏南京一模)课本上,公式(
a-b
)=a-
2
ab+b
是由公式(
a+b
)
=a+
2
ab+b
推导得出
的,该推导过程的第一步是:(
a-b
)
= .
三、 解答题
15
.
(2014·江苏无锡港下初中模拟)化简:
2
222222
23
3324
23
16
.
(2014·北京平谷区模拟)已知
a+
2
a=< br>3,求代数式2
a
(
a-
1)
-
(
a-2)的值
.
17
.
(2014·浙江金华6校联考)先化简,再求值:
(
a +
2)(
a-
2)
+
4(
a-
1)
-4
a
,其中
a=-
3
.
22
18
.
(2013·北京 龙文教育一模)已知
x+
3
x-
1
=
0,求代数式
2
的值
.
参考答案与解析
1
.
D
[解析]3
a-
2
a=a
;
a
·a=a
;(
ab
)
=ab.
232336
3
.
C
[解析]3
x-
5
x=-2
x
,6
x÷
2
x=
3
x
,
-
3(2
x-
4)
=-
6
x+
12
.
4
.
B
[解析]根据完全平方公式:(
a±b< br>)
=a±
2
ab+b
,对各选项分析判断后利用排除法求解
.
5
.
C
[解析]3
a+
2
a=
5
a
;2
a
·
a=
2
a
;( 2
a+b
)
=
4
a+
4
ab+b.
6
.
A
[解析]原式
=-
(
x-3)
-
1
.
2
235222
222
3333
-
25
8
.
4
n+
2
[解析]第 一个“上”字需要6(
=
4
×
1
+
2)个棋子,第二个“上 ”字需要10(
=
4
×
2
+
2)个棋
子,第三个“ 上”字需要14(
=
4
×
3
+
2)个棋子,
∴
第
n
个“上”字需用4
n+
2个棋子
.
9
.
x-
9
[解析]考查平方差公式
.
10
.
a
[解析]
a
·
a=a
,(
a
)
=a.
11
.
2
x
[解析]原式
=x+x=
2
x.
6666
6235236
2
13
.
-
6
a
8
ab
[解析]3
a
·(-
2
a
)
=-
6
a
;(2
ab
)
=
2
ab=
8
ab.
14
.
[
a+
(
-b
)](注:写
a+
2
a
·(
-b
)
+
(
-b
)也可 )
222
23622333636
16
.
原式
=
2
a-
2
a-
(
a-
4
a+
4)
22
=
2
a
2
-
2
a-a
2
+
4
a-
4
=a
2
+
2
a-
4
.
∵ a
2
+
2
a=
3,
∴
原式
=
3
-
4
=-
1
.
17
.
原式
=a-
4
+
4
a-
4
-
4
a=a-
8
.
当
a=-
3时,原式
=
1
.
22
1
.
5
二次根式
易错清单
1
.
你理解平方根和算术平方根的区别与联系吗?
【例1】
(2014·江苏南京)8的平方根是(
)
.
A. 4 B.
±
4
【解析】
∵
(
±
2)
=
8,
2
∴
8的平方根是
【答案】
D
.
【误区纠错】
容易错误地选择C
.
2
.
你能发现二次根式的隐含条件吗?
A.
-
1
C. 1
2
B. 0
D. 2
【解析】
∵
(
m-
1)
+=
0,
∴ m-
1
=
0,
n+
2
=
0
.
∴ m=
1,
n=-
2
.
∴ m+n=
1
+
(
-
2)
=-
1
.
【答案】
A
【误区纠错】
忘记考查二次根式有意义的条件,不知如何下手
.
3
.
a
一定等于吗?
【误区纠错】
错误地把负数(
x-
1)直接平方后移到根号里面
.
4
.
在运算中常见错误
.
【解析】
本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、负指数四个考点
.
在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果
.
二次根式的 加
减只将系数相加减
.
【例5】
(2014·四川成都)先化简,再求值:
【解析】
本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类题,注意不能去掉分母
.
名师点拨
1
.
能利用二次根式的概念及性质解决相关的问题
.
2
.
会利用二次根式的加减法则进行加减运算
.
3
.
能根据先乘除后加减法则进行二次根式的混合运算
.
提分策略
1
.
二次根式的化简与计算
.
(1)利用二次根式的性 质,先把每个二次根式化简,然后进行运算;在中考中二次根式常与零指
数、负指数结合在一起考查.
(2)此类分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果 要化为分母
没有根号的数或者是最简二次根式
.
2
.
二次根式的非负性
.
(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零
.
A. 20或16
C. 16
B. 20
D. 以上答案均不对
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4,4,8,不能组成三角形;
(2)若4是底边 长,则三角形的三边长为:4,8,8,能组成三角形,周长为4
+
8
+
8< br>=
20,故选B
.
【答案】
B
专项训练
一、 选择题
3
.
(2014·安徽淮北五校联考)估计7
-
的值在(
)
.
A. 1到2之间 B. 2到3之间
C. 3到4之间 D. 4到5之间
4
.
(2014·河北唐山模拟) 的运算结果是(
)
.
(第5题)
A. 2
a+b
B.
-
2
a+b
C.
b
D. 2
a-b
6
.
(2013·河北三模)一个正方形的面积等于10,则它的边长
a
满足(
)
.
A. 3
C. 7
7
.
(2013·山东德州特长展示)下列各式(题中字母均为正实数)中化简正确的是(
二、 填空题
三、 解答题
10
.
(2014·山东禹城二模)先化简,再求值:
)
.
11
.
(2014·上海长宁区二模)计算:
12
.
(2014·内蒙古赤峰模拟)先化简,再求值:
13
.
(2014·湖北黄石九中模拟)先化简,后计算:
14
.
(2013·浙江温州一模)计算:
15
.
(2013·湖北荆州模拟)先化简,再求值:
参考答案与解析
1
.
B
[解析]二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同就叫同类二次根式
.
2
.
C
[解析]原式
=a-
2
+a-
3
=
2
a-
5
.
5
.
C
[解析]原式
=-a+
(
a+b
)
=b.
6
.
A
[解析]解题的关键是注意找出和10最接近的两个能完全开方的数
.
7
.
D
[解析]考查二次根式的相关性质
.
2
.
1整式方程
易错清单
1
.
根据题意列出正确的方程
.
【例1】
(2014·山东烟台)按 如图的运算程序,能使输出结果为3的
x
,
y
的值是()
.
A.
x=
5,
y=-
2
C.
x=-
4,
y=
2
B.
x=
3,
y=-
3
D.
x=-
3,
y=-
9
【解析】
由题意,得2
x-y=
3,
A.
x=
5时,
y=
7,故本选项错误;
B.
x=
3时,
y=
3,故本选项错误;
C.
x=-
4时,
y=-
11,故本选项错误;
D.
x=-
3时,
y=-
9,故本选项正确
.
【答案】
D
【误区纠错】
读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键
.
2
.
方程中隐含条件的运用
.
【例2】
(2014·山东济宁)若一 元二次方程
ax=b
(
ab>
0)的两个根分别是
m+
1与 2
m-
4,则
2
= .
【解析】
∵ x=
(
ab>
0),
2
∴ x=±.
∴
方程的两个根互为相反数
.
∴ m+
1
+
2m-
4
=
0,解得
m=
1
.
∴ < br>一元二次方程
ax
2
=b
(
ab>
0)的两个根分别 是2与
-
2
.
∴ =
2
.
∴ =
4
.
【答案】
4
【误区纠错】
一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数
.
根据这个隐含条件可求出
m
的值
.
【例3】
(2014·广东广州)若关于的方 程
x+
2
mx+m+
3
m-
2
=
0有两个 实数根
x
1
,
x
1
,则
22
x
1
(
x
2
+x
1
)
+
的最小值为
.
【解析】
该题主要是考察方程思想与函数思想的结合,由根与系数的 关系得到:
x
1
+x
2
=-
2
m
,
x
1
x
2
=m+
3
m-
2,
而
x
1
(
x
2
+x
1
)
+=
(< br>x
1
+x
2
)
-x
1
x
2
=
3
m-
3
m+
2
.
22
2
因为方程有实数根,
所以
Δ
≥0,解得
m
≤
.
当
m =
时,3
m-
3
m+
2的最小值为
.
【答案】
【误区纠错】
本题最大失误是不知道根据< br>Δ
≥0这个隐含条件求出
m
的取值范围
.
3
.
整体思想的运用
.
【例4】
( 2014·江苏泰州)已知
a+
3
ab+b=
0(
a
≠0,
b
≠0),则代数式
+
的值等于
.
【解析】
∵ a+
3
ab+b=
0,
22
22
2
∴ a
2
+b
2
=-
3
ab
,
∴
原式
===-
3
.
【答案】
-
3
【误区纠错】
本题直接使用整体思想解题,将
a+b
视为一个整体未知数
.
名师点拨
1
.
能区分等式各个性质的区别与联系
.
2
.
理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题
.
3
.
会利用代入法求一元一次方程的解
.
4
.
会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根
.
5
.
记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题
.
6
.
理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题
.
7
.
会根据等量关系列整式方程并求解
.
提分策略
1
.
选择适当的方法求解一元二次方程
.
若方程中含有 未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化
为0且方程左边分解因式 ,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式
法
.
配方法一般 很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须掌握
这种重要的数学方法.
【例1】
解方程:3
x
(
x-
2)
=
2(2
-x
)
.
【解析】
先移项,然后提取公因式(
x-
2),对等式的左边进行因式分解
.
【答案】
由原方程,得(3
x+
2)(
x-
2)
=
0, < br>22
所以3
x+
2
=
0或
x-
2
=
0
.
解得
x
1
=-
,
x
2
=
2
.
2
.
配方法在二次三项式中的应用
.
在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:
(1)化二次项系数为 1,当二次项系数不为1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二
次项系数(因为二次三项式 配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形)
.
(2)加上一次项系数一 半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不
变,故在加的同时,还要减去一 次项系数一半的平方
.
(3)配方后将原二次三项式化为
a
(x+m
)
+n
的形式
.
【例2】
阅读材料:把形如
ax+bx+c
的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫
做配方法
.
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即
a±
2
a b+b=
(
a±b
)
.
例如:(
x-
1 )
+
3,(
x-
2)
+
2
x
,
+ x
是
x-
2
x+
4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项 、一次
项、二次项)
.
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出
x-
4
x+
2三种不同形式的配方;
(2)将
a+ab+b
配方(至少两种形式);
(3)已知
a+b +c-ab-
3
b-
2
c+
4
=
0,求
a +b+c
的值
.
【答案】
(1)
x-
4
x+
2
=
(
x-
2)
-
2;
22
222
22
2
2222
222
2
2
x
2
-
4
x+
2
=
(
x-
)
2
+
(2
-
4)
x
;
x
2
-
4
x+
2
=
(
x-
)
2
-x2
.
(2)
a+ab+b=
(
a+b
)
-ab=+b.
(3)
a+b+c-ab-
3
b-
2
c+
4
=+
(
b-
2)
+
(
c-
1)
=
0
.
从而
a-b=
0,
b-
2
=0,
c-
1
=
0,
即
a=
1,
b=
2,
c=
1
.
所以
a+b+c=
4
.
3
.
利用一次方程解决生活中的实际问题
.
解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐 含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模
型,灵活运用所学知识解决实际问题
.
【例3】
如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面 积为400平方
米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长
AB
,
BC各为多少米?
22222
2222
【解析】
设< br>AB
的长度为
x
,则
BC
的长度为(100
-
4
x
)米;然后根据矩形的面积公式列出方程
.
【答案】
设
AB
的长度为
x
,则
BC< br>的长度为(100
-
4
x
)米
.
根据题意,得(100
-
4
x
)
x=
400, < br>解得
x
1
=
20,
x
2
=
5
.
则100
-
4
x=
20或100
-
4
x=
80
.
∵
80
>
25,
∴ x
2
=
5舍去
.
即
AB=
20,
BC=
20
.
故羊圈的边长
AB
,
BC
分别是20米、20米
.
专项训练
一、 选择题
1
.
(2014·江苏泰州洋思中学) 若5
k+
20
<
0,则关于
x
的一元二次方程
x+
4
x-k=
0的根的情况是
(
)
.
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
D. 无法判断
22
2
C. 有两个不相等的实数根
2
.
(2014· 四川峨眉山二模)已知
x
1
,
x
2
是方程
x-(
k-
2)
x+k+
3
k+
5
=
0的 两个实数根,则
+
的最大值
是(
)
.
A. 19
C. 15
B. 18
D. 13
2
3
.
(2014·湖北襄阳模拟)已知关于
x
的方程< br>kx+
(1
-k
)
x-
1
=
0,下列说法正 确的是(
)
.
A. 当
k=
0时,方程无解
B. 当
k=-
1时,方程有两个相等的实数解
C. 当
k=
1时,方程有一个实数解
D. 当
k
≠0时,方程总有两个不相等的实数解
4
.
(2013·湖 北荆州模拟)若方程(
k-
1)
x-x+=
0有两个实数根,则
k< br>的取值范围是(
)
.
A.
k
≥1
C.
k>
1
B.
k
≤1
D.
k<
1
2
5
.
(2013·安徽芜湖一模)芜湖市对城 区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上树,
要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔 相等
.
若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔
6米栽1棵,则树苗正好用完.
设原有树苗
x
棵,则根据题意列出方程正确的是(
)
.
A. 5(
x+
21
-
1)
=
6(
x-
1)
B. 5(
x+
21)
=
6(
x-
1)
C. 5(
x+
21
-
1)
=
6
x
D. 5(
x+
21)
=
6
x
二、 填空题
6
.
(2014·北京顺义区模拟)如果关于
x
的方程< br>x-mx+
2
=
0有两个相等的实数根,那么
m
的值
为
.
7
.
(2014·江苏南京溧水区二模)方程(
x-
2)
-
2(
x-
2)
=
0的解为 .
8
.
(2013·吉林镇赉县一模)若
x=< br>1是方程
x+x+n=
0的一个解,则方程的另一个解是
.
9
.
(2013·湖北荆州模拟)已知关于
x
的一元二次方程(< br>k-
2)
x+
(2
k+
1)
x+
1
=
0有两个不相等的实
数根,则
k
的取值范围是
.
三、 解答题
10
.
(2014·安徽安庆二模)为了满足铁 路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建
工程
.
其中某项工程,甲队单独 完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独
完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完 成所需时间之和的6倍,求甲、乙两队单独完成这
项工程各需几个月?
11
.
(2014·北京顺义区模拟)已知关于
x
的一 元二次方程
mx+
4
x+
4
-m=
0
.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若
m
为整数,当此方程有两个互 不相等的负整数根时,求
m
的值
.
12
.
(2013·河南沁阳第一次质量检测)某特产专卖店销售核桃,其进价为每 千克40元,按每千克
60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2 元,则平均每天的
2
22
2
2
2
销售量可增加20千克,若 该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元? < br>(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出
售?
参考答案与解析
1
.
A
[解析]由5
k+
20
<
0,得
k<-
4,则
Δ=
16
+
4
k<
0
.
2
.
B
[解析]由题意,得(
k-
2)
-
4(
k+
3
k+
5)≥0,
解得
-
4≤
k
≤
-.
因为
x
1
+x
2
=k-
2,
x
1
x
2
=k+
3
k+
5,
所以
+=
(
x
1
+x
2
)
=
(
k-
2)
-
2(
k+
3
k+
5)
222
2
22
=-k
2
-
10
k-
6
=-
(k+
5)
2
+
19
.
所以当
k=-
4时,
+
取得最大值为18
.
3
.
B
[解析]
Δ=
(
k+
1),当
k=
0时,方程有解;当
k=
1时,方程有两个不等的实数解;当< br>k
≠0时,如
果
k=-
1,那么方程有两个相等的实数解
.< br>
4
.
D
[解析]当
k=
1时,原方程不成立,故
k
≠1
.
2
∴
方程(
k-
1)
x
2
-x+=0为一元二次方程
.
又
此方程有两个实数根,
∴ b
2
-
4
ac=
(
-
)
2
-4
×
(
k-
1)
×=
1
-k-
(k-
1)
=
2
-
2
k
≥0,解得
k< br>≤1
.
∵ k
≠1,
∴ k<
1
.
综上,
k
的取值范围是
k<
1
.
5
.
A
[解析]设原有树苗
x
棵,根据首、尾 两端均栽上树,每间隔5米栽一棵,则缺少21棵,可知
这一段公路长为5(
x+
21
-
1);若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表
示为6(< br>x-
1),根据公路的长度不变列出方程即可
.
6
.
±
2
[解析]根据
Δ=m-
8
=
0求解
.
7
.
x
1
=
2,
x
2
=
4
[解析]将(
x-
2)作为公因式提取
.
8
.
-
2
[解析]把
x=
1 代人方程得
n=-
2,再解方程
x+x-
2
=
0
.
9
.
k
>
且
k
≠2
[解析]由题意,得(2
k+
1)
-
4(
k-
2)
>
0,且
k-
2≠ 0,求解即可
.
10
.
设甲队单独完成这项工程需要
x
个月,则乙队单独完成这项工程需要(
x-
5)个月,
由题意,得
x
(
x-
5)
=
6(
x+x-
5),
2 2
2
2
解得
x
1
=
2(舍去),
x
2
=
15
.
故甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月
.
11
.
(1)
∵ Δ=
4
-
4
m
(4
-m
)
=
4(
m-
2)≥0,
22
∴
方程总有两个实数根
.
(2)
∵ x==
,
∴ x
1
==
,
x
2
==-
1
.
∵
方程有两个互不相等的负整数根,
∴ <
0
.
∴
或
∴
0
.
∵ m
为整数,
∴ m=
1或2或3
.
当
m=1时,
x
1
==-
3≠
x
2
,符合题意; < br>当
m=
2时,
x
1
==-
1
=x
2
,不符合题意;
当
m=
3时,
x
1
==-
≠
x
2
,但不是整数,不符合题意
.
∴ m=
1
.
12
.
(1)设每千克核桃应降价
x
元
.
由题意,得(60
-x-
40)
=
2 240
.
化简,得
x-
10
x+
24
=
0,
解得
x
1
=
4,
x
2
=
6
.
故每千克核桃应降价4元或6元
.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元
.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元
.
此时,售价为60
-
6
=
54(元),
×
100%
=
90%
.
故该店应按原售价的九折出售
.
2
分式方程
易错清单
1
.
解分式方程时为什么容易出错?
【例1】
(2014·新疆)解分式方程:
+=
1
.
【解析】
先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式 方程解
的情况
.
【答案】
方程两边都乘以(
x +
3)(
x-
3),得3
+x
(
x+
3)
=x-
9,
去括号,得3
+x+
3
x=x-
9,
解得
x=-
4
.
检验:把
x=-
4代入 (
x+
3)(
x-
3)≠0,
22
2
∴ x=-
4是原分式方程的解
.
【误区纠错】
最简公分母 找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公
分母,不要漏乘
.
【例2】
(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:
-=
0
.
【解析】
先去分母,化为整式方程求解即可
.
本题最简公分母是< br>x
(
x+
2)(
x-
2)
.
【答案】
去分母,得3
x-
6
-x-
2
=
0,
解得
x=
4,
经检验,
x=
4是原方程的根,
故
x=
4是原方程的解
.
【误区纠错】
解分式方程产生增根,忘记验根
.
【例3】
(2014·贵州黔西南州)解方程:
=.
【解析】
将 分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分
母中即可
.
【答案】
方程两边都乘以(
x+
2)(
x-
2),得
x+
2
=
4,
解得
x=
2,
经检验,
x=
2不是分式方程的解,故原分式方程无解
.
【误区纠错】
增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原 分式方程
无解”
.
2
.
运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系
.
【例4】
(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市
后很 快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花
.
已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元
.
求第一批盒装花每盒的进价是多 少
元?
【解析】
设第一批盒装花的进价是
x
元
/
盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根
据等量关系:第二批进的数量
=
第一批进的数量
×
2,可得方程
.
【答案】
设第一批盒装花的进价是
x
元
/
盒,
由题意,得2
×=
,
解得
x=
30
.
经检验,
x=
30是原方程的根
.
故第一批盒装花每盒的进价是30元
.
【误区纠错】
题 目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到
对应的分式方程
.< br>运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系
.
名师点拨
1
.
会利用分式方程的定义判断分式方程
.
2
.
能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程
.
3
.
会利用检验思想判断分式是否存在增根
.
4
.
会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义
.
提分策略
1
.
分式方程的解法
.
解分式方程 常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的
变化< br>.
【例1】
解方程:
+=
1
.
【解析】
根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可
.
【答案】
方程两边都乘以(
x+
2)(
x-
2) ,得2
+x
(
x+
2)
=x-
4,
去括号,得2
+x+
2
x=x-
4,
解得
x=-
3
.
检验:把
x=-
3代入 (
x+
2)(
x-
2)≠0,
22
2
∴ x=-
3是原分式方程的解
.
2
.
利用分式方程解决实际问题
.
列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题< br>.
在列方程之前,应先弄清问题中的已知
数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未 知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要
相等关系列出方程
.
求出解后,必须进行 检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符
号题意
.
【例2】
几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票
.
下面是两个
小伙伴的对话:
根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数
.
【解析】
设票价为
x
元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,
列 方程求解
.
【答案】
设票价为
x
元,
由题意,得
=+
2,
解得
x=
60,
经检验,
x=
60是原方程的根,
则小伙伴的人数为
=
8
.
故小伙伴们的人数为8人
.
专项训练
一、 选择题
1
.
(2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队 进行宣传,全程共10
千米,自行车队的速度是长跑队速度的2
.
5倍,自行车队出发 半小时后,长跑队才出发,结果长跑
队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为
x
千米
/
时,那么根据题意可列方程为
(
)
.
A.
+
2
=+
0
.
5
C.
-=
2
-
0
.
5
B.
-=
2
-
0
.
5
D.
-=
2
+
0
.
5
2
.
(2013·广西钦州四模)将分式方程1
-=
去分母,整理后得(
)
.
A. 8
x+
1
=
0
C.
x-
7
x+
2
=
0
二、 填空题
3
.
(2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成 ,乙队单独完成这项
工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天
.
甲、乙两队单独完成这项工
程分别需要多少天?设甲队单独完成需
x
天,根据题意列出 的方程是
.
2
B. 8
x-
3
=
0
D.
x-
7
x-
2
=
0
2
4
.
(2014·北京平谷区模拟)
A
,
B< br>两种机器人都被用来搬运化工原料,
A
型机器人比
B
型机器人每
小时多搬运20千克,
A
型机器人搬运1000千克所用时间与
B
型机器人 搬运800千克所用时
间相等,则
A
型机器人每小时搬运
千克化工原料
.
5
.
(2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么
x
的值为
.
6
.
(2013·广东珠海一模)方程
=
的解是
.
7
.
(2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于
x
的方程
=
5的解是正数,则
m
的取值范围
为
.
三、 解答题
8
.
(2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:
-
1
=.
9
.
(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程 队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间
比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天 后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所
用时间和甲队单独完成的时间恰好相等
.
则 甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?
10
.
(2014·江苏 南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回
来两条信息:
信 息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的
2倍,就 可以享受优惠,此时只需交费用480元;
信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元
.
根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?
11
.
(2013·浙江湖州模拟)解方程:
+=
2
.
12
.
(2013·上海长宁区二模)解方程:
-=.
13
.
(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游 玩,从家到目的地全程80km,由
于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多 用了15分钟,求原计划的
行驶速度是多少
.
14
.
(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央 视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全
国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种 药品的价格大幅度下调,下调后每盒价
格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒
.
4月中旬,各部门加大了对胶囊生
产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个 月后,药品上调为每盒14
.
4元
.
(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?
(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?
参考答案与解析
1
.
C
[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间
=< br>(2
-
0
.
5)小时
.
2
.
D
[解析]去分母,得
x
(
x+
1)
-
(5
x+
2)
=
3
x
,去 括号,得
x+x-
5
x-
2
=
3
x
,整理 ,得
x-
7
x-
2
=
0
.
3
.
+=
[解析]若甲队单独完成需
x
天,则 乙队单独完成需(2
x-
10)天,根据两人合作的工作效率
等于,可列出方程
.
4
.
100
[解析]设
A
型 机器人每小时搬运化工原料
x
千克,则
B
型机器人每小时搬运(
x-
20)千
克
.
22
依题意,得
=
,
解得
x=
100
.
经检验,
x=
100是方程的解且符合实际意义
.
5
.
-
1
[解析]根据题意,得
x+
3
x+
2
=
0,解得
x
1
=-
1 ,
x
2
=-
2(使分母等于零,所以舍去)
.
6
.
x=
[解析]化为整式方程,得5(2
-x
)
=
3(
x+
2),解得
x=.
经检验,
x=
是原方程的根
.
7
.
m>-
10且
m
≠
-
4
[解析]原方程 化为整式方程,得2
x+m=
5
x-
10,解得
x=
(10
+m
),因为解为
正数,所以(10
+m
)
>
0, 解得
m>-
10
.
同时要保证分母不为零,所以
m
≠
-
4
.
8
.
去分母,得
x
(
x+
2)
-
(
x-
1)(
x+
2)
=
2
x
(
x-
1),
整理,得2
x-
3
x-
2
=
0,
解得< br>x
1
=-
,
x
2
=
2
.
检验:把
x
1
=-
,
x
2
=
2代 入(
x-
1)(
x+
2)≠0,
2
2
∴
原方程的根是
x
1
=-
,
x
2
=
2.
9
.
(1)设甲队单独完成此项任务需要
x
天, 则乙队单独完成此项任务需要(
x+
5)天
.
根据题意,得4
+=
1,
去分母,得4(
x+
5)
+
4
x+x
(
x-
4)
=x
(
x+5)
.
解得
x=
20
.
经检验,
x=
20是原方程的解,
则
x+
5
=
25(天)
.
所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天
.
10
.
设原来报名参加的学生有
x
人,
依题意,得
-=
4
.
解得
x=
20
.
经检验,
x=
20是原方程的解且符合题意
.
故原来报名参加的学生有20人
.
11
.
去分母,得
x-
1
=
2(
x-
3),
去括号,得
x-
1
=
2
x-
6,
解得
x=
5
.
经检验,
x=
5是原方程的根
.
12
.
去分母,得3(
x+
1)
-
(
x-
1)
=x
(
x+
5),
整理,得
x+
3
x-
4
=
0,
2
解得
x
1
=
1,
x
2
=-
4
.
经检验,
x
1
=
1是原方程的增根,
x
2
=-< br>4是原方程的根,
∴ x=-
4是原方程的根
.
13
.
设原计划的行驶速度为
x
千米
/
小时
.
根据题意,得
-=.
解得
x=
80
.
经检验,
x=
80是原方程的解
.
故原计划的行驶速度为80千米
/
小时
.
14
.
(1)设该药品的原价格是
x
元
/
盒,则 下调后每盒价格是
x
元
/
盒
.
根据题意,得
=+
2,解得
x=
15
.
经检验,
x=
15是原方程的解
.
∴ x=
15,
x=
10
.
故该药品的原价格是15元
/
盒,则下调后每盒价格是10元
/
盒
.
(2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是
a.
根据题意,得10(1
+a
)
=
14
.
4, 解得
a
1
=
0
.
2
=
20%,
a
2
=-
2
.
2(不合题意,舍去)
.
故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%
.
2
方程组
易错清单
1
.
解方程组时,一定要先观察方程的特点,再选择适当的方法
.
【例1】
< br>(2014·宁夏模拟)如果关于
x
,
y
的二元一次方程组的解满足< br>x+y>
1,那么
k
的取值范
围是
.
【解析】
本题可以把
k
当成已知数,解关于
x
,
y
的二元一次方程组,再代入
x+y>
1,求出
k
的
取值范围
.
但更简便的方法是直接将两个方程相加,得3
x+
3
y =
3
k-
3,即
x+y=k-
1
.
所以
k -
1
>
1,解
得
k>
2
.
【答案】
k>
2
【误区纠错】
一般地解二元一次方程 组时,先观察两个二元一次方程同一未知数的系数,若
同一未知数的系数相同或相反时,则用加减消元法 解;若同一未知数的系数不同并且有一方程
的未知数的系数为1时,则用代入法解
.
2
.
根据条件找不全反应题意的等量关系建立方程(组)
.
【例2】
(2014·内蒙古呼和浩特)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费
实行阶梯电 价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时
(含180千瓦时) 以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含
450千瓦时)的部分 ,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价
格
.
我市 一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费
为150元
.
已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时,请你
依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?
【解析】
设基本电价为
x
元
/
千瓦时,提高电价为
y
元
/
千瓦时,根据2月份用电330千瓦时,
电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为 150元,列方程组求解
.
【答案】
设基本电价为
x< br>元
/
千瓦时,提高电价为
y
元
/
千瓦时,
由题意,得
解得
则四月份电费为160
×
0
.
6
=
96(元),五月份电费为180
×
0
.
6
+
230
×
0
.
7
=
108
+
16 1
=
269(元)
.
故这位居民四月份的电费为96元,五月份的电费为269元
.
【误区纠错】
本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出 未知数,
找出合适的等量关系,列方程组求解
.
名师点拨
1
.
能判断二元一次方程(组)
.
2
.
会利用代入法、加减法进行消元
.
3
.
能区分一次函数与二元一次方程组的联系与区别
.
4
.
会根据题中等量关系列二元一次方程组并解决实际问题
.
提分策略
用二元一次方程组解决实际问题
.
(1)列二元一次方程组解决古代数学问题
列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量 关系,解题时要仔细分析,找出其中蕴含的
等量关系,设出未知数,列出方程
.
【例1】
《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌, 另一部分
在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就
是整个鸽群的;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子有一样多了
.
”你知道树上 、树下各有
多少只鸽子吗?
【答案】
设树上有
x
只鸽子,树下有
y
只鸽子,
由题意,得
解得
故树上有7只鸽子,树下有5只鸽子
.
(2)列二元一次方程组解几何图形的计算问题
对于图形问题的求解,要会通过对图形的观察 、比较、分析,发现隐含在图形中的数量关系,这
是解决有关图形问题的关键
.
图形中 隐含的数量关系有边长间的关系、面积间的关系等
.
【例2】
小 王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示
.
根据图中
的数 据(单位:m),解答下列问题:
(1)写出用含
x
,
y
的代数式表示的地面总面积;
(2 )已知客厅面积比卫生间面积多21m,且地面总面积是卫生间面积的15倍,铺1m地砖的平
均费用为 80元,求铺地砖的总费用为多少元?
22
2
【答案】
(1)地面总面积为(6
x+
2
y+
18)m
.
(2)由题意,得
解得
∴
地面总面积为6
x+
2y+
18
=
6
×
4
+
2
×+
18
=
45(m
2
)
.
∵
铺1m
2
地砖的平均费用为80元,
∴
铺地砖的总费用为45
×
80
=
3600(元)
.
专项训练
一、 选择题
1
.
(2014·广西百色模拟)已知是二元一次方程组的解,则
a-b
的值为(
)
.
A. 1
C. 2
B.
-
1
D. 3
2
.
(2014·北京顺义区模拟)陈老师打算购买气球装扮学 校“六一”儿童节活动会场,气球的种类
有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格 相同
.
由于会场布置需要,购买
时以一束(4个气球)为单位,已知第一、 二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格(单位:
元)为(
)
.
(第2题)
A. 19
C. 16
B. 18
D. 15
2
3
.
(2013·山东德州特长展示)已知(
x+
2)
+|
3
x+y+m |=
0中,
y
为负数,则
m
的取值范围为(
)
.
A.
m>
6
C.
m>-
6
二、 填空题
4
.
(2014·安徽安庆外国语学校模拟)若方程组的解为则被遮盖的两个数分别为
.
5
.
(2013·广东珠海一模)如果实数
x
,
y
满足方程组那么
x-y= .
三、 解答题
6
.
(2014·江苏苏州高新区一模)食品安全是老百姓关注的话题,在食品中添 加过量的添加剂对
人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输
.
某饮料加工厂生产的
A
,
B
两种饮料均需加入同种添加剂,
A
饮料每瓶需加该添加剂0
.
2克,
B
饮料每瓶需加该添加剂0
.< br>3
克,已知54克该添加剂恰好生产了
A
,
B
两种饮料共20 0瓶,问
A
,
B
两种饮料各生产了多少瓶?
22
B.
m<
6
D.
m<-
6
7
.
(2 013·江西饶鹰联考)根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求,江西省上饶市决定
从201 2年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费,具体收费标准见下表:
电费价格
一户居民一个月用电量的范围
(元
/
千瓦时)
不超过180千瓦时的部分
a
b
超过180千瓦时,但不超过350千瓦时的
部分
超过350千瓦时的部分
a+
0
.
3
(1)若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时,应 缴电费186元,9月份用电400千瓦时,应缴电
费263
.
5元
.
求
a
,
b
的值;
(2)实行“阶梯电价”收费以后,该户居民用 电多少千瓦时,其当月的平均电价每千瓦时不超过
0
.
62元?
参考答案与解析
1
.
B
[解析]将方程组转化为关于
a
,
b
的二元一次方程组,求出
a
,
b
即 可
.
2
.
C
[解析]设笑脸和爱心两种气球的价格分别为
x
,
y
元,
由题意,得解得
∴
2
x+
2
y=
16
.
3
.
A
[解析]由题意,得所以
y=-m+
6
.
因为
y
为负数,所以
-m+
6
<
0,解 得
m>
6
.
4
.
7,3
[ 解析]将
x=
2代入3
x-y=
3,得
y=
3,所以2x+y=
2
×
2
+
3
=
7
.
5
.
2
[解析]由题意,得
x+y=
4,
x-y=
,
∴ x2
-y
2
=
(
x+y
)(
x-y
)< br>=×
4
=
2
.
6
.
设
A
种饮料生产了
x
瓶,
B
种饮料生产了
y
瓶,
由题意,得解得
故
A
种饮料生产了60瓶,
B
种饮料生产了140瓶,
7
.
(1)根据题意,得
解得
(2)设该户居民用电
x
千瓦时,月平均电价每千瓦时不超过0
.
62元
.
由题 意,得180
×
0
.
6
+
0
.
65(x-
180)≤0
.
62
x
,
解得
x
≤300
.
所以该户居民用电量不超过300千瓦 时,月平均电价每千瓦时不超过0
.
62元
.
平面直角坐标系及函数的图象
易错清单
1
.
能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?
【例1】
(2014·山东济宁)函数
A.
x
≥0
C.
x>
0
B.
x
≠
-
1
中的自变量
x
的取值范围是(
)
.
D.
x
≥0且
x
≠
-
1
【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0 ,可以求
出
x
的范围
.
【答案】
根据题意,得
x
≥0且
x+
1≠0,
解得
x
≥0
.
故选A
.
【误区纠错】
本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑 :当函
数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当
函数表达式是二次根式时,被开方数非负
.
2
.
能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律
.
【例2】
(201 4·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△
ABO
绕点
A
顺时针旋转到 △
AB
1
C
1
的位置,点
B
,
O
分别落在点
B
1
,
C
1
处,点
B
1
在
x
轴上,再将△
AB
1
C
1
绕点
B< br>1
顺时针旋转到△
A
1
B
1
C
2
的 位置,点
C
2
在
x
轴上,将△
A
1
B1
C
2
绕点
C
2
顺时针旋转到△
A
2
B
2
C
2
的位置,点
A
2
在
x< br>轴上,依次
进行下去…
.
若点,
B
(0,4),则点
B
2014
的横坐标为
.
【解析】
首先利用勾股定理得出
AB
的长,进而得出三角形的周长,进而求出
B
2
,
B
4
的横坐标,
进而得出变化规律,即可得出答案
.
【答案】
∵
,
BO=
4,
故答案为10070
.
【误区纠错】
此题主要考查了点 的坐标以及图形变化类,根据题意得出
B
点横坐标变化规
律是解题关键
.由特殊总结一般性
.
3
.
借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系
.
【例3】
(20 14·山东烟台)如图,点
P
是
ABCD
边上一动点,沿
A
→
D
→
C
→
B
的路径移动,设
P
点经过的 路径长为
x
,△
BAP
的面积是
y
,则下列能大致反映y
与
x
的函数关系的图象是(
)
.
【解析】
分三段来考虑点
P
沿
A< br>→
D
运动,△
BAP
的面积逐渐变大;点
P
沿
D
→
C
移动,△
BAP
的面积不变;点
P
沿C
→
B
的路径移动,△
BAP
的面积逐渐减小,据此选择即可< br>.
【答案】
点
P
沿
A
→
D
运动,△
BAP
的面积逐渐变大;点
P
沿
D
→
C
移动,△
BAP
的面积不变;
点
P
沿
C
→
B
的路径移动,△
BAP
的面积逐渐减小
.
故选 A
.
【误区纠错】
本题主要考查了动点问题的函数图象
.
注意分段考虑
.
名师点拨
1
.
会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置
.
2
.
能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限
.
3
.
理 解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的
图象
.
4
.
能列举函数的三种表示方法
.
5
.
会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等
.
6
.
能利用代入法求函数的值
.
7
.
能利用函数变化规律进行准确猜想、判断
.
提分策略
1
.
函数的概念及函数自变量的取值范围
.
函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数关系式是二次根式时 ,被开方数为非负数
.
此题就是第三种情形,考虑被开方数必须
大于等于0
.
【解析】
根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解
.
【答案】
C
2
.
函数解析式的求法
.
具体地说求函数 的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数
量关系,找到能够表示所求问 题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需
的代数式,从而列出两个变量之间的关系 式
.
【例2】
某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜 产品需要装入某一规格的纸箱
.
供应这种纸箱有两种方案可供选择:
方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;
方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工 制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取
.
工厂
需要一次性投入机器安装等费用1 6000元,每加工一个纸箱还需成本费2
.
4元
.
(1)若需要 这种规格的纸箱
x
个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用
y
1
(元 )和蔬菜加工厂自
己加工制作纸箱的费用
y
2
(元)关于
x
(个)的函数关系式;
(2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由
.
【答案】
(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用
y
1
=
4
x.
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用
y
2
=
2
.
4
x+
16000
.
(2)
y
2
-y
1
=
(2
.
4
x+
16000)
-
4
x=
16000
-
1
.
6
x
,
由
y
1
=y
2
,得16 000
-
1
.
6
x=
0,
解得
x=
10000
.
∴
当
x<10000时,
y
1
.
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低
.
∴
当
x>
10000时,
y
1
>y
2
.
选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低
.
∴
当x=
10000时,
y
1
=y
2
.
两种方案都可以,两种方案所需的费用相同
.
3
.
坐标系中的图形的平移与旋转
.
求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一 般要把握三点:一是根据图形变换的性质,
二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限< br>.
【例3】
在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着
x
轴翻折,再向右平移2个单位长
度称为1次变换
.
如图,已知等边三角形
ABC
的顶点
B
,
C
的坐标分别是(
-
1 ,
-
1),(
-
3,
-
1),把△
ABC
经过连续9次这样的变换得到△
A'B'C'
,则点
A
的对应点
A'
的坐标是
.
4
.
运用函数的图象特征解决问题
.
(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点
P
(
x
,
y
)中的坐标值
x
,
y
是解析式方程的一个解,反之,
以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上
.< br>
(2)注意方程与函数的结合,抓住“方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质”这 个网,
结合数学知识,用数形结合法来解题
.
【例4】
小刚上午7:30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达
学校的时间 是7:55
.
为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行
速度,走完100米用了150步
.
(1)小刚上学步行的平均速度是多少米
/
分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分
别是多少米?
(2)下午 4:00,小刚从学校出发,以45米
/
分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫3 00
米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米
/
分的速度回家,中途没有再停留.
问:
①
小刚到家的时间是下午几时?
②
小刚回家过程中, 离家的路程
s
(米)与时间
t
(分)之间的函数关系如图,请写出点
B
的坐标,并
求出线段
CD
所在直线的函数解析式
.
②
小刚从学校出发,以45米
/
分的速度行走到离少年 宫300米处时实际走了900米,用时
分,此时小刚离家1100米,所以点
B
的坐 标是(20,1100)
.
点
C
的坐标是(50,1100),点
D
的坐标是(60,0),
设线段
CD
所在直线的函数解析式是
s=kt+b
,将点
C
,
D
的坐标代入,得
所以线段
CD
所在直线的 函数解析式是
s=-
110
t+
6600
.
5
.
分段函数的应用
自变量在不同的范围内取值时,函数
y和
x
有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分
段函数的有关问题时,关 键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题
.
【例5】
如图,在矩形
ABCD
中,
AB=
2,
BC=
1,动点
P
从点
B
出发,沿路线
B
→
C
→
D
作匀速运
动,那么△
ABP
的面积
S
与点
P运动的路程
x
之间的函数图象大致是(
)
.
【答案】
B
专项训练
一、 选择题
1
.
(2014·四川中江县一模)已知点
A
(
a
,1)与点
A'
(
-
5,
b
)是关于原点
O
的对称点,则
a+b
的值为
(
)
.
A. 1
C. 6
B. 5
D. 4
2
.
(2014·深圳模拟)已知点
A
(
a+
2 ,
a-
1)在平面直角坐标系的第四象限内,则
α
的取值范围为
(< br>
)
.
A.
-
2
C.
-
1
B.
-
2≤
a
≤1
D.
-
1≤
a
≤2
3
.
(2014·宁夏银川外国 语学校模拟)已知点
P
(
a+
1,2
a-
3)关于
x
轴的对称点在第一象限,则
a
的
取值范围是(
)
.
4
.
(2014·内蒙古赤峰模拟)小 芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,
打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步回 到家里
.
下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离
y
(米)
与时间x
(分钟)之间的函数关系的大致图象是(
)
.
5
.
(2013·广东佛山模拟)在直角坐标系
xOy
中,点P
(4,
y
)在第四象限内,且
OP
与
x
轴正 半轴的
夹角的正切值是2,则
y
的值是(
)
.
A. 2
C.
-
2
B. 8
D.
-
8
6
.
(2013·湖北宜昌调研)在正方形
ABC D
中,点
P
从点
C
出发沿着正方形的边依次经过点
D
,
A
向终点
B
运动,运动的路程为
x
(cm),△
PBC
的面积为
y
(cm),
y
随
x
变化的图象 可能是(
)
.
2
7
.
(2013·河南南阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,在
x
轴、
y
轴的正 半轴上分别截取
OA
,
OB
,
使
OA=OB
;再分 别以点
A
,
B
为圆心,以大于
AB
长为半径作弧,两弧交于 点
C.
若点
C
的坐标为
(
m-
1,2
n< br>),则
m
与
n
的关系为(
)
.
(第7题)
A.
m+
2
n=
1
C. 2
n-m=
1
二、 填空题
8
.
(2014·广西玉林模拟)在平面直角坐标系中,点(0,2)到
x
轴的距离是
.
B.
m-
2
n=
1
D.
n-
2
m=
1
9
.
(2014·甘肃天水模拟)函数中,自变量
x
的取值范围
10
.
(2014·四川达州模拟)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O
出发,按向上,向右,向下,
向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点
A
1
(0,1),
A
2
(1,1),
A
3
(1,0),
A
4
(2,0),…那么点
A
4
n+
1
(
n
为自然数)的坐标为
(用
n
表示)
.
(第10题)
11
.
(2013·北京房山区一模)如图,在平面直角坐标系中,以原点
O
为圆心的同心圆半径由内向
外依次为1,2,3,4,…,同心圆与直线
y=x和
y=-x
分别交于
A
1
,
A
2
,< br>A
3
,
A
4
,…,则点
A
31
的坐 标
是
.
(第11题)
三、 解答题
12
.
(2014·四川峨眉山二模)如图所示,在平面直角坐标系中,每 个小方格的边长是1,把△
ABC
先向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△
A'B'C'.
在坐标系中画出△
A'B'C'
,并写出△
A'B'C'各顶点的坐标
.
(第12题)
13
.
(2013·辽宁葫芦岛一模) 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△
AOB
的三个顶点均
在格点上,点A
,
B
的坐标分别为(3,2),(1,3)
.
△
AO B
绕点
O
逆时针旋转90°后得到△
A
1
OB
1< br>.
(1)点
A
关于点
O
中心对称的点的坐标为
;
(2)点
A
1
的坐标为
;
(3)在旋转过程中,点
B
经过的路径为
的长为
.
(第13题)
参考答案与解析
1
.
D
[解析]
a=
5,
b=-
1
.
2
.
A
[解析]由
a+
2
>
0,
a-
1
<
0,得
-
2
.
4
.
C
[解析]先慢步行走,再打了 一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里
.
只有C图能反映爷爷
离家的距离
y< br>(米)与时间
x
(分钟)之间的函数关系
6
.
A
[解析]利用图象可以发现△
PBC
的面积,从增大到不变,再到不断减 小,结合图象可选出
答案
.
7
.
B
[解析]根据题意可知
OC
为∠
AOB
的平分线,点
C
的坐 标为(
m-
1,2
n
)且在第一象限,点
C
到
x< br>轴、
y
轴距离为
m-
1,2
n
,根据角平分线上的点 到角两边距离相等,可知
m-
1
=
2
n
,所以
m-
2
n=
1
.
8
.
2
[解析]点
p
(
a
,
b
)到
x
轴的距离 是
|b|
,到
y
轴的距离是
|a|.
9
.
x
≥0且
x
≠1
[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得
x
≥0且
x
≠1
.
10
.
(2
n
,1)
[解析]
A
4
(2,0),
A
8
(4,0),
A
12
(6,0),
∴ A
4
n
(2
n
,0)
.
11
.
[解析]根据31
÷
4
=7……3,得出
A
31
在直线
y=x
上,在第三象限,且在第8
个圆上,求出
OA
31
=
8,通过解直角三角形即可求出答案
.
12
.
图略; 各顶点坐标为
A'
(2,2),< br>B'
(3,
-
2),
C'
(0,
-
6).
二次函数的图象与性质
易错清单
1
.
二次函数的图象与系数
a
,
b< br>,
c
的符号的确定
.
【例1】
(201 4·山东烟台)二次函数
y=ax+bx+c
(
a
≠0)的部分图象如图,图 象过点(
-
1,0),对称
轴为直线
x=
2,下列结论:
2
①
4
a+b=
0;
②
9
a+c>
3
b
;
③
8
a+
7
b+
2
c>
0;
④
当
x>-
1时,
y
的值随
x
值的增大而增大
.
其中正确的结论有(
)
.
A. 1个
C. 3个
B. 2个
D. 4个
【解析】
根据抛 物线的对称轴为直线
x=
2,则有4
a+b=
0;观察函数图象得到当
x=-
3时,函数
值小于0,则9
a-
3
b+c<
0,即 9
a+c<
3
b
;由于
x=-
1时,
y=
0,则
a-b+c=
0,易得
c=-
5
a
,所以
8
a+
7
b+
2
c=
8
a-
28
a -
10
a=-
30
a.
再根据抛物线开口向下得
a<
0,于是有8
a+
7
b+
2
c>
0;由于对称
轴 为直线
x=
2,根据二次函数的性质得到当
x>
2时,
y
随
x
的增大而减小
.
【答案】
∵
抛物线的对称轴为直线
x=
2,
∴ b=-
4
a
,即4
a+b=
0,所以
①
正确
.
∵
当
x=-
3时,
y<
0,
∴
9
a-< br>3
b+c<
0,即9
a+c<
3
b.
所以
②
错误
.
∵
抛物线与
x
轴的一个交点为(
-
1,0),
∴ a-b+c=
0
.
而
b=-
4
a
,
∴ a+
4
a+c=
0,即
c=-
5
a.
-
-
-
-
-
-
-
-
本文更新与2020-11-22 18:27，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/455767.html
-
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