-
反比例函数
易错清单
1
.
利用待定系数法确定反比例函数关系式
.
【例1】
(2014·广东梅州)已知反比例函数
(1)求该函数的表达式;
(2)当2<<
4时,求
y
的取值范围(直接写出结果)
.
的图象经过点
M
(2,1)
.
【解析】
(1)利用待定系数法把(2,1)代入反比例函数
y=
中可得的值,进而得到解析式; < br>(2)根据
y=
可得
=
,再根据条件2
<<
4可得2
<<
4,再解不等式即可
.
【答案】
(1)
∵
反比例函数的图象经过点
M
(2,1)
.∴
=
2
×
1
=
2,
∴
该函数的表达式为
(2)
.
,
∵
2
<<
4,
解得
.
【误区纠错】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数的性 质,关键是
正确确定函数解析式
.
注意在求不等式的解时不能出错
.
2
.
反比例函数系数的几何意义
.
【例2】
(2014·湖南娄底)如图,
M
为反比例函数的图象上 的一点,
MA
垂直
y
轴,垂足为
A
,△
MAO的面积为2,则的值为
.
【解析】
根据反比例函 数比例系数的几何意义得到
||=
2,然后去绝对值得到满足条件的的值
.
【答案】
∵ MA
垂直
y
轴,
∴ S
△
AOM
=||
,
∴ ||=
2,即
||=
4
.
而
>
0,
∴ =
4
.
【误区纠错】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数
点, 过这一个点向轴和
y
轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值
||.
3
.
利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题
.
【例3】
(2014·四川南充)如图,一次函数
y
1
= +b
的图象与反比例函数
y
2
=
的图象相交于点
A
(2,5)
和点
B
,与
y
轴相交于点
C
(0,7)
.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)当取何值时,
y
1
.
的图象中任取一
【解析】
(1)将点
C
、点< br>A
的坐标代入一次函数解析式可得,
b
的值,将点
A
的坐标代 入反比例函
数解析式可得
m
的值,继而可得两函数解析式;
(2)寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的的取值范围
.
∴
一次函数解析式为
y=-+
7
.
将点(2,5)代入反比例函数解析式,
∴ m=
10
.
∴
反比例函数解析式为
.
∴
点
D
的坐标为(5,2),
当0
<<
2或
>5时,
y
1
.
【误区纠错】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是联立 解析式,
求出交点坐标
.
本题在写取值范围时容易出错
.
4
.
反比例函数和几何图形相结合问题
.
【例4】
(2014·四川遂宁)已知如图,反比例函数
y=
的图 象与一次函数
y=+b
的图象交于点
A
(1,4)、点
B
(
-
4,
n
)
.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△
OAB
的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围
.
【解析】
(1)把
A
的坐标代入反比例函数解析式求出
A
的坐标,把
A
的坐标代入一次函数解析式
求出即可;
(2)求出直 线
AB
与
y
轴的交点
C
的坐标,求出△
ACO和△
BOC
的面积相加即可;
(3)根据
A
,
B
的坐标结合图象即可得出答案
.
(2)如图,当
=-
4时,
y=-
1,
B(
-
4,
-
1),
当
y=
0时,
+
3
=
0,
=-
3,故
C
(
-
3, 0)
.
(3)
∵ B
(
-
4,
-
1),
A
(1,4),
∴
根据图象可知当
>
1或
-
4
<<
0时,一次函数值 大于反比例函数值
.
【误区纠错】
本题考查了一次函数和反比例 函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解
析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,用了 数形结合思想
.
名师点拨
1
.
掌握反比例函数的定义,会判断反比例函数
.
2
.
会用待定系数法求反比例函数的解析式
.
3
.
会画反比例函数的图象并能说明其性质
.
4
.
借助函数思想解决实际问题
.
提分策略
1
.
反比例函数值的大小比较
.
比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据反比例函 数的性质比较,在不同象限内,不能按其
性质比较,函数值的大小只能根据特征确定
.
A. 负数
C. 正数
B. 非正数
D. 不能确定
又
点(
-
1,
y
1
)和均位 于第二象限,
-
1
<-
,
∴ y
1
.
∴ y
1
-y
2
<
0,即
y
1
-y
2
的值是负数
.
【答案】
A
2
.
与反比例函数有关的图形面积的求法
.
过双曲线上任意一点引轴、
y
轴垂线,所得矩形面积为
||
,是经常考查的一个知识点
.
这里体现了数< br>形结合的思想,做此类题一定要正确理解反比例函数
y=
(≠0)中的几何意义
.
【例2】
如图,点
B
在反比例函数 (
>< br>0)的图象上,横坐标为1,过点
B
分别向轴,
y
轴作垂线,
垂足分别为
A
,
C
,则矩形
OABC
的面积为(
)
.
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
【解析】
∵
点
B
在反比例函数
为< br>A
,
C
,故矩形
OABC
的面积
S=||=
2
.
【答案】
B
3
.
一次函数与反比例函数的综合题解法
.
(
>
0)的图象上,过点
B
分别向轴,
y
轴作垂线,垂足分别
主要题型利用值与图象的位置关 系综合确定系数的符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求
交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲 线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比
例值的大小等
.
解题时,一定要 灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问
题
.
【例3】
如图,一次函数
y=-+
2的图象与反比例函数
点,且
C
,
D
两点关于
y
轴对称
.
(1)求
A
,
B
两点的坐标;
(2)求△
ABC
的面积
.
的图象交于
A
,
B
两点,与轴交于
D
【解析】
(1)根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组然后解方程组得到
A
,
B
两点的坐标;
即可
(2)先利用轴上点的 坐标特征确定
D
点坐标,再利用关于
y
轴对称的点的坐标特征得到
C
点坐标,
然后利用
S
△
ABC
=S
△
AC D
+S
△
BCD
进行计算
.
(3)根据坐标与线 段的转换可得出
AC
,
BD
的长,然后根据三角形的面积公式即可求出答案< br>.
【答案】
(1)根据题意,得解方程组,得或
所以< br>A
点坐标为(
-
1,3),
B
点坐标为(3,
-1)
.
(2)把
y=
0代入
y=-+
2,得
-+
2
=
0,解得
=
2,
所以
D
点坐标为(2,0)
.
因为
C
,
D
两点关于
y
轴对称,
所以
C
点坐标为(
-
2,0)
.
所以< br>S
△
ABC
=S
△
ACD
+S
△
B CD
4
.
利用反比例函数解决实际问题
.
把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函
数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解
.
【例4】
实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1
.
5小时 内其血液中酒精含量
y
(毫克
/
百毫
升)与时间(时)的关系可近似 地用二次函数
y=-
200
2
+
400刻画;1
.
5小时后(包括1
.
5小时)
y
与可近似
(
>
0)刻画(如图所示)
.
地用反比例函数
(1)根据上述数学模型计算
①
喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②
当
=
5时,
y=
45,求的值
.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克
/
百毫升时属于“ 酒后驾驶”,
不能驾车上路
.
参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上2000在家喝完 半斤低度白酒,第二天早上
700能否驾车去上班?请说明理由
.
【解析】
(1)
①
利用
y=-
200
2
+
400
=-
200(
-
1)
2
+
200确定最大值;
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