香港金融数学陕西省高考数学试题及答案理科及解析

2020年11月22日发(作者：杨兆麟)
2015年陕西省高考数学试卷（理科）

一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）（2015?陕西）设集合M ={x|x
2
=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ）

A[0，1] B（0，1] C[0，1） D（﹣∞，1]
． ． ． ．
2 ．（5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比
例 如图所示，则该校女教师的人数为（ ）

A93 B123 C137 D167
． ． ． ．
3．（5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化 曲线近似满足函数y=3sin
（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 （ ）

A5 B6 C8 D10
． ． ． ．
4．（5分）（ 2015?陕西）二项式（x+1）
n
（n∈N
+
）的展开式中x
2
的系数为15，则n=（ ）

A7 B6 C5 D4
． ． ． ．
5．（5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A
3π
B
4π
C
2π+4
D
3π+4
． ． ． ．
6．（5分）（2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
7．（5分）（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）


A．
C．
|
（
|≤||||
）
2
=||
2

B．
D．
|
（
|≤|||﹣|||
）?（）=
2
﹣
2

8．（5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）

A2 B4 C10 D28
． ． ． ．
9．（5分）（2015 ?陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）
+f（b）） ，则下列关系式中正确的是（ ）

Aq=r＜p Bp=r＜q Cq=r＞p Dp=r＞q
． ． ． ．
10．（5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产 品均需用A、B两种原料．已知生产1
吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一 吨甲、乙产品可获得利润
分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8

A12万元 B16万元 C17万元 D18万元
． ． ． ．
11．（5分）（2015?陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的 概率为（ ）

ABCD
+ + ﹣ ﹣
． ． ． ．
1 2．（5分）（2015?陕西）对二次函数f（x）=ax
2
+bx+c（a为非零整数）， 四位同学分别给出
下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

A﹣1是f（x）的B1是f（x）的极
． 零点 ． 值点

C3是f（x）的极D点（2，8）在曲
． 值 ． 线y=f（x）上
二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）（2015?陕西）中位数为 1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列
的首项为 ．
14 ．（5分）（2015?陕西）若抛物线y
2
=2px（p＞0）的准线经过双曲线x
2
﹣y
2
=1的一个焦点，
则p= ．
15．（5分） （2015?陕西）设曲线y=e
x
在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的< br>切线垂直，则P的坐标为 ．
16．（5分）（2015?陕西）如图，一横截面为 等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面
边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当 前最大流量的比值
为 ．
三、解答题，共5小题，共70分
17．（1 2分）（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，
b）与 =（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
，18．（12分）（2015?陕西）如图， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是A C与BE的交点，将ABE沿BE折起到A
1
BE
的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A
1
OC；
（Ⅱ）若平面A
1
B E⊥平面BCDE，求平面A
1
BC与平面A
1
CD夹角的余弦值．
19．（12分）（2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状
况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟） 25 30 35 40
频数（次）2 0 30 40 10
（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；
（Ⅱ ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校
区，求刘教授从离 开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20．（12分）（2015?陕西）已知 椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经
过两点（c，0），（0，b）的直线的距离 为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）
2
+（y﹣1）
2
=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，
求椭圆E的方程． 21．（12分）（2015?陕西）设f
n
（x）是等比数列1，x，x
2，…，x
n
的各项和，其中x＞0，n∈N，
n≥2．
（Ⅰ）证明：函 数F（=f（﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x
n
），且x
n
=+ x
n
x）
n
x）；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、 项数分别相同的等差数列，其各项和为g
n
（x），比较f
n
（x）和gn
（x）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如 果多做则按第一题计分．选修4-1：几
何证明选讲
22．（10分）（2015?陕西）如 图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，
垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线 l的参数方程为（t为参数），以原
点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ =2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
2015年陕西省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）
考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
解答：
解：由M={x|x
2
=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
点评： 本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5分）
考点： 收集数据的方法．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 利用百分比，可得该校女教师的人数．
解答： 解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
点评： 本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）
考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
点：
专三角函数的图像与性质．
题：
分由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
析：
解
解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，
答：
函数取最小值y
min
=﹣3+k=2，解得k=5，
∴y=3sin（
∴当当sin（
x+φ）+5，
x+φ）取最大值1时，
点
评：
4．（5分）
考二项式定理的应用．
点：
专二项式定理．
题：
分
由题意可得==15，解关于n的方程可得．
析：
解
解：∵二项式（x+1）
n
（n∈N
+
） 的展开式中x
2
的系数为15，
答：
∴=15，即=15，解得n=6，
故选：B．
本题考查二项式定理，属基础题．
函数取最大值y
max
=3+5=8，
故选：C．
本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
点
评：
5．（5分）
考由三视图求面积、体积．
点：
专
题：
分
析：
解
答：
计算题；空间位置关系与距离．
根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．
解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆柱体的一半，
∴该几何体的表面积为
S
几何体
=π?1
2
+π×1×2+2×2
=3π+4．
故选：D．
本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目． 点
评：
6．（5分）
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析：
由cos2α=cos
2
α﹣sin
2
α，即可判断出．
解答：
解：由cos2α=cos
2
α﹣sin
2
α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
点评： 本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5分）
考平面向量数量积的运算．
点：
专平面向量及应用．
题：
分由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
析：
解
解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，
答：
又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
|≥|||﹣|||； 选项B错误， 由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|
选项C正确，由向量数量积的运算可得（
选项D正 确，由向量数量积的运算可得（
故选：B
本题考查平面向量的数量积，属基础题．
）
2
=|
）?（
|
2
；
）=
2
﹣
2
．
点
评：
8．（5分）
考程序框图．
点：
专图表型；算法和程序框图．
题：
分
析：
解
答：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的 值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并
输出y的值为10．
解：模拟执行程序框图，可得
x=2006，
x=2004
满足条件x≥0，x=2002
满足条件x≥0，x=2000
…
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣2
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．
故选：C．
本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 点
评：
9．（5分）
考点： 不等关系与不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（
小关系．
解答：
解：由 题意可得若p=f（
q=f（）=ln（
）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大
）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B
点评： 本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10．（5分）
考点： 简单线性规划的应用．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条
件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，
则，
目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距
最大，
此时z最大，
解方程组，解得，
即B的坐标为x=2，y=3，
∴z
max
=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万
元，
故选：D．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题
的关键．
11．（5分）
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
解答： 解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|=≤1，即（x﹣1）
2
+y
2
≤1，
∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，
而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率P==
故选：D．
点评： 本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．
12．（5分）
考点： 二次函数的性质．
专题： 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： 可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否
为非零整数，即可得到结论．
解答： 解：可采取排除法．
若A错，则B，C，D正确．即 有f（x）=ax
2
+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，
即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，
又f（2 ）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零
整数．
若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且
a∈?，不成立 ；
=3，解得