数学作业本五年级上册答案利用高等数学知识观点简解高考压轴题

2020年11月22日发(作者：汤加丽)
第３４卷第ｌ１期２０１５年１１月　数学教学研究　
利用高等数学知识观点简解高考压轴题　
杨瑞强　
（湖北省黄石市第一中学４３５０００）　
随着高中数学新课程先后引进了微 积　
分、坐标变换等选修知识之后，初等数学知识　
与高等数学知识的联系越来越紧密，致使一 　
些高考数学试题或以高等数学知识为背景，　
再令　
｜ｌｌ（ｚ）一（　。＋１）Ｉ ｎ　—ｚ。＋１　
（　＞Ｏ，ｚ≠１），则　
ｈ　（　）－－２ｘｌｎ　＋　一　，　
或体现高等数学中常用的数学思想方法和推　
理方法．由于高考的选拔功能，参与高考命题　
的 专家也越来越重视初、高等数学知识在此　
处的衔接，这类题往往倍受命题者青睐．近年　
来的 考题中，出现了不少背景新、设问巧的高　
观点题，成为高考题中一道亮丽的风景．下面　
以近 年来出现的高考试题为例，阐述利用高　
等数学知识的观点简解几类高考压轴题的方　
法．　< br>（　）＝２１ｎ　ｘ￣－ｌ－－　，　
易知ｆｆｌ（Ｘ）＝２１ｎ　ｘ＋ｌ一去在（ｏ，＋。。） 上为　
增函数，且　（１）一０．故当Ｘ∈（Ｏ，１）时，　
（ｘ）Ｇ０，当　∈（１，＋∞） 时，　（ｚ）＞０．　
所以ｈ　）在（Ｏ，１）上为减函数，在（１，　
＋。。）上为增函数， 故ｈ　（　）＞＾　（１）一０，　
＾（ｚ）在（Ｏ，＋。。）上为增函数，又因为　（１）一　
０，所以　
１利用洛必达法则。处理恒成立问题　
例１（２０１１年全国新课标理科第２１　
题）已知函数，曲线　一厂（　）在点（１，厂（１））　
处的切线方程为Ｘ＋２　一３一Ｏ． 　
当　∈（Ｏ，１）时，ｈ（ｚ）ＧＯ，当　∈（１，　
＋。ｏ）时，　（ｚ）＞０；　
（Ｉ）求ａ，ｂ的值；　
（Ⅱ）如果当ｚ＞０，且　≠１时，　（ｚ）＞　
当　∈（０，１） 时，ｇ　（　）Ｇ０，当　∈（１，　
＋。ｏ）时，ｇ　）＞Ｏ．　
于是ｇ（　）在（Ｏ，１） 上为减函数，在（１，　
＋。ｏ）上为增函数．　
由洛必达法则知　
ｌｉａ（　）－ｒ －２　ｌｉ　
＋１　ｊ　＋１ｌ——．ｚ。　
＋　，求是的取值范围．　
解（Ｉ）ａ－ －１，ｂ＿－１．　
（Ⅱ）由题设可得，当ｚ＞Ｏ，ｚ≠１时，忌＜　
＋ｌ　
＋ｌ恒成 立．　
：２　ｌｉｍ　＋１　
令ｇ（ｘ）－－　
ｇ　）一２．　
收稿日期：２ ０１５－０６－１７　
＋１（　＞ｏ，　≠１），则　
＝２Ｘ（一．熹＿）＋１＝０．　
，　
所以走≤Ｏ，即是的取值范围为（一。。，Ｏ］．　
作者简介：杨瑞强（１９７９一）， 男。湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，主要从事数学教育与中学教学研究．　
Ｅ－ｍａｉ ｌ：ｙｒｑ２００３＠１６３．ｃｏｍ　
数学教学研究　第３４卷第１１期２０１５年１１月　＾　评析对恒成立问题中的求参数取值范　
围的问题，首先考虑采用参变分离法，但有些　
题中 的求分离出来的函数式的最值不容易，　
此时若利用洛必达法则可以较好的处理它的　
最值，是 一种值得借鉴的方法．　
２利用定积分。简证（解）数列不等式　
例２（２０１３年湖北理科第 ２２题）设　
是正整数，ｒ为正有理数．　
（Ｉ）求函数厂（　）一（１＋　）斗　一（ｒ＋１ ）　
一
１（　＞－－１）的最小值；　
（Ⅱ）证明：　ｌ二　＜ｎｒ＜　
（７ ｌ＋１）　一竹　
——　干ｒ一；　
（Ⅲ）设ｘＥＲ，记　］为不小于　的最小　
整数 ，例￣Ｉ］Ｅ２］－－２，［兀］一４，［一詈］＝一１．令　
ｓ—　＋　＋　孬＋…＋洒，求［ｓ］　
的值．　
（参考数据：８Ｏ｛≈３４４．７，８１｛￣－３５０．５，　
１２４－￣≈ ６１８．３，１２６｛￣－６３１．７）　
解（Ｉ）函数厂（　）在ｘ－－０处取得最小　
值， （ｏ）＝＝＝ｏ．　
（Ⅱ）设ｇ（　）一　，　＞０，ｒ为正有理数，　
则ｇ　（　）　ｒｘｒ －　＞Ｏ，从而ｇ（　）在（Ｏ，＋∞）　
上是增函数．　
由定积分的概念知，　
Ｉ， ｇ（ｘ）ｄｘ＜ｇ（咒）＜Ｉ　ｇ（ｘ）ｄｘ，　
ｒｎ　件１　
而Ｊ　ｌｇ（ｘ）ｄｘ—Ｊ　ｄ ｘ一　Ｉ　
一
（　一１）　
干１——’　
ｊｒ　ｇ（　１
＂　
　ｘ）ｄｘ—Ｊ
Ｊ　Ｈ　
ｒ　ｄ　１　ｘ一　
，　
ｒ
　ｌ
＋１
上　
　ｌ　
（７ｚ＋１）　一，２件　
一
一
——　干Ｔ 一’　
ｎＨ－　
一
即　
（　一１）　
ｒ＋１　
＜　＜　瓤　）　＜∑１２５　）　
＜
曼　（ｚ）　，　
令ｒ一吉，则ｇ（　）＝ｚ｛，其 中　１２５　ｇ（　）一ｓ．　
而根据定积分的性质有：　
ｊｔ＇　ｎ　）ｄｘ　１
１ ２５　
）　
∞
一　一　
３
～
Ｉ；３５　
一　
（１２５　８ｏａ，）￣
－．
２１０．２’　
封＿　叫８１２ｌ６　ｇｃ址　
一
＿『　ｘ￣ｄｘ＝　３．ｚ号　。　
一
４（１２６￣一８１｛）≈２１０．９．　
故２１０．２＜Ｓ＜２１０．９，由［Ｓ］的定义，即　
得到Ｅｓ－Ｉ一２１１．　
例 ３（２０１４年陕西理科第２１题）设函　
数，（　）一ｌｎ（１＋ｚ），ｇ（ｚ）一　），　≥０，　
其中／（　）是，（ｚ）的导函数．　
（Ｄｇｌ（　）一ｇ（ｚ），ｇ　１（ｚ）一ｇ（　（ｚ ）），　
∈Ｎ　，求　（　）的表达式；　
（Ⅱ）若，（ｚ）≥ａｇ（ｘ）恒成立，求实数ｎ　
的取值范围；　
（１ｌＩ）设　∈Ｎ　，比较ｇ（１）＋ｇ（２）＋…　
＋ｇ（，２） 与扎一，（７１）的大小，并加以证明．　
解（Ｉ）　（　）一　ｌ＿（，ｚ∈Ｎ＋）；　
（１ １）实数口的取值范围是（一０ｏ，１］；　
（ＩＩ１）由于　
ｇ（１）＋ｇ（２）＋…＋ｇ（ 竹）　
一ｎ
二‘　１十　１＋．．．＋　）
，　
一
厂（　）一竹一ｌ ｎ（ｎ＋１），