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2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2 015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合
B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?B=（ ）
U
A． {2，5} B． {3，6} C． {2，5，6} D． {2，
3，5，6，8}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
解答：解：∵全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，
6，7}，
∴?B={2，5，8}，
U
则A∩?B={2，5}．
U
故选：A．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
满足约束条件，则目标函数z=x+6y的（2015?天津）设变量x，y2．（5分）最大值为（ ）
A． 3 B． 4 C． 18 D． 40
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最
大值．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部
分）．
x+z，得y= ﹣由z=x+6y
x+zy=，﹣ 平移直线
x+z的截距最大， z经过点A时，直线y=由图象可知当直线y=﹣﹣x+此时z最
大．
，解得，即A（0，由3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：
C．
点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想
是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A． ﹣10 B． 6 C． 14 D． 18
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，
退出循环，输出S的值为6．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的
关键，属于基础题．
2
）﹣2＞0”的（ +x．（5分）（2015?天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x4 必要而不充分
条件 B． A． 充分而不必要条件 既不充分也不必要条件 D． C． 充要条件
要条件、充分条件与充要条件的判断． 考点：必 易逻辑． 专题：简 据不等式的性质，结合
充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 分析：根 ，x＜3解：由“|x﹣2|＜1”得1＜解答：
2
，x＜﹣20得x＞1或由x+x﹣2＞
2
＞0”的充分不必要条件，+x﹣2即“|x﹣2|＜1”是“x ．故
选：A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．点评：
分别经过点CECD，N是弦AB的 三等分点，弦中，5．（5分）（2015?天津）如图，在圆OM、 ），
则线段NE的长为（ ，M，N，若CM=2MD=4，CN=3
D．． B． 3 ． AC
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；推理和证明．
分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
解答：解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，
∴2×4=AM?2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN?NE=AN?NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
，）（的一条渐近线过点2，）＞，＞（﹣=1 a分）（6．5（2015?天津）已知双曲线0b0
2
xy且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ =4 ）
A． B．
﹣﹣=1 =1
． C
D．
﹣=1 ﹣=1
考点：双曲线的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上
的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准
方程．
解答：=，解：由题意，
22
x的准，双曲线的一个焦点在抛物线∵抛物线y=4x的准线方程为x=y﹣=4 线上，
∴c=，
222
=7，∴a+b=c
，
b=∴a=2，
∴双曲线的方程为．故选：D．
点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基
础题．
|x﹣m|
为实数）为偶函数，记1（m（R上的 函数fx）=2﹣7．（5分）（2015?天津）已知定义在 ）
ca，b，的大小关系为（ b=f3），（log5），c=f（2m），则a=f（log
20.5
a c＜b＜＜C． c＜ab D．b ． A
a＜b＜cB． a＜c＜
考点：函数单调性的性质． 专题：函数的性质及应用．
|x|
分析：根x）在[0，x） =2﹣1，这
样便知道f（）为偶函数便可求出据f（xm=0，从而f（，+∞）上：x）为偶函数， 便可将自变
量的值变到区间[0+∞）上单调递增，根据f（a=f（|log3|），b=f（log 5），c=f（0），然后再比
较自变量的值，根据f（x）在[0，
20.5
+∞） 上的单调性即可比较出a，b，c的大小．
解答：解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
|﹣x﹣m||x﹣m|
﹣1=21；∴2﹣ ；﹣∴|﹣x﹣m|=|xm|
22
）m；﹣（）﹣（﹣xm=x ∴mx=0； ∴m=0；
|x|
=2x
∴f（）1﹣；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log3|）=f（log3），b =f（log5），
20.52
c=f（0）；
∵0＜log3＜log5；
22
∴c＜a＜b．
故选：C．
点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自
变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数
函数的 单调性，函数单调性定义的运用．
=，函数g（x）=b﹣f（ 2（5分）（2015?天津）已知函数f（x）﹣x），8．其中b∈R，若函数y=f
（x）﹣g（ x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
DB． ．C A． ．，） （，（02） （，+∞） （﹣∞，）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x） ，作出函数
h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
解答：解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x） ，
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
2
，x）=2+x+x（（x）+f2﹣则h（x）=f 0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，若 ，﹣2+x=2x|=2
﹣|2﹣﹣x+2x）+f（2﹣x）=2﹣x+2=f则h（x）（ ，＜00，2﹣x若x＞2，﹣x＜
22
﹣5x+8．x|=x
﹣2）+2﹣|2﹣ x+fh则（x）=f（x）（2﹣x）=
（
=， （x）即h作出函数h（x）的图象如图：
22
x+）+，（x≤0当时，h（x）=2+x+x=≥
22
≥，x﹣）+5x+8=x2当x＞时，h（）=x﹣
（
）时，当b=2h（x=b ）恰有x4个零点，
，有两个交点，x）=b（故当b=时，h ，有无数个交点，
（）﹣（由图象知要使函数y=fxg （即hx恰有=b）4个根，
2，＜则满足＜b D．故选：
本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解点评： 决
本题的关键．
分）填空题（每小题5分，共30二. a的值为）是纯虚数，则实数 i9．（5分）（2015?天津）
是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i 2 ．﹣
：复数的基本概念．考点 数系的扩充和复数．专题： 的值． a0且虚部不等于0求得分析：
由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 为纯虚数，2a）ia+2）+（1﹣（（﹣解答：解：
由（12i） a+i）=
2﹣．得，解得：a= 2．故答案为：﹣ 本点评：题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了
复数为纯虚数的条件，是基础题．
，则该几何体的体积为m5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：）
（10．< br>
3
． m
考点：由三视图求面积、体积． 算题；空间位置关系与距离．专题：计
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出 它
的体积． 解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 1，高为1；且圆柱底面圆的半径为1，高为
2，圆锥底面圆的半径为 ∴该几何体的体积为
22
?2Vπ?1=2××1+π?1
几何体
π．=
π．故答案为： 点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题
目．
2
．所围成的封闭图形的面积为 （2015?天津）曲线11．（5分）y=x与y=x
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定
积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
212
dx﹣所围图形的面积S=∫（xx）y=x直线与曲线y=x
0
（==）|﹣xx（而∫﹣
00
121
dx=）
∴曲边梯形的面积
是．
故答案
为：．
点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用
定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
26
的展开式中，x的系数为 ．12．（5分）（2015?天津）在（x﹣）
项式定理的应用． 考点：二 算题；二项式定理． 专题：计
2
分析： x的系数．求出r的值，
即可求得在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，
解答：
（x﹣
r+12r﹣
，
6r6﹣rr6
?x?）=（﹣）的展开式的通项公式为T=?（x）?（﹣）解：
2
，的系数为×=6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x令
． 题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，
故答案为：
点评：本 属于中档题．
．已知△ABCb，cB，C所对的边分别为a，1 3．（5分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，
8 ．﹣，则a的值为 cosA=的面积为3，b﹣c=2，
考点：余弦定理．
专题：解三角
形．
分析：
，可得sinA=．利用S==，
C△AB222
化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c ．由
由cosA=﹣，A∈（0，π）
余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA 即可得
出．
解答：
，∴
解：∵A∈（0，π）
sinA==．
∵S==bc=，化为bc=24，
△ABC
又b﹣c=2，解得b=6，
c=4．
222
=642bccosA=36+16﹣48×． ﹣由余弦定理可得：a=b+c解得a=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．
14．（5分）（2015?天津）在等腰 梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动
点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则?的最小值为 ．
平面向量数量积的运算．考 点：
专创新题型；平面向量及应用．
题：
分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析： 形
式求最值．
解
（解：由题意，得到答：
（=）?AD=BC=CD=1，所以）?（?=）
（）
=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×=
2×1+×1×1×cos120°
+；﹣（当且仅当≥=1++时等号成立）=
．
故答案为：
点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是评： 正
确表示所求，利用基本不等式求最小值．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
22
），x∈R．sin（x ﹣13分）（2015?天津）已知函数f（x）=sinx﹣15．（ ）的最小正周期；（x
（Ⅰ）求f
，（Ⅱ）求
]f（x） 在区间[﹣内的最大值和最小值．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数 的最值．
专题：三角函数的求
值．
分析：﹣）2x，由周期公式可得；=x） ﹣sin（（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f
（
（Ⅱ）由
，]x∈[﹣结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
解答：
22
﹣（x=sin）） x﹣sin解：（Ⅰ）化简可得f（x
﹣）2x] ﹣cos2x﹣）﹣[1cos（=（1
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