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2013年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题
纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空 格填对得4分，
否则一律得零分．
= 上海）计算：．分）（2013? ．1（4
数列的极限菁优网版权所
专计算题．
题：
分由数列极限的意义即可求解．
析：
解
解：==， 答：
故答案为：．
点本题考查数列极限的求法，属基础题．
评：
22
2．（4分）（2013?上海）设m∈R，m+m﹣2+（m﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．
考复数的基本概念．菁优网版权所有
点：
专计算题．
题：
22
分根据纯虚数的定义可得m﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得实
析： 数m的值．
2
解解：∵复数z=（m+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，
∴m+m﹣2=0，m﹣1≠0，解得答： m=﹣2，
22
故答案为：﹣2．
············．
·············
2
﹣，m点本题主要考查复数的基本概念，得到 m+m﹣2=0 0，
是解题的关键，属于基础题．评： 1≠
x+y= 上海）若=，0 ．3．（4分）（2013?
菁优网版权所二阶行列式的定义常规题型利用行列式的定
义，可得等式，配方即可得到结论析：
解：∵ 答：
22
x∴2xy
=﹣+y
2
）（x+y∴=0
x+y=0 ∴0
故答案为本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，
解 =，
属点 于基础题．评：
所对的CB、、上海）已知△ABC的内角A（4．（4分）2013?
222
C的大小是﹣3c=0，则角3a边分别是a、b、c，若+2ab+3b
．
余弦定理．菁优网版权所有考 ：点 解三角形．专 ：题
222
分，变形为﹣3c再利把式子3a=0+2ab+3b
析：
用余弦定理即可得出．，3a
222
解 ，解：∵
+2ab+3b﹣3c=0∴ 答：
············．
·············
故答案为． 点熟练掌
．=∴=
∴C=．
握余弦定理及反三角函数是解题的关键． 评：
的二项展，若a∈R5．（4分）（2013?上海）设常数
7
﹣2 ．开
式中x项的系数为﹣10，则a=
二项式系数的性质菁优网版权所计算题：r +1利用二项展开
式的通项公式求得二项展开式中的第分
7
列出方程求解即
可．项，令x的指数为7求得x的系数，析：
解=Cx（解：的展开式的通项为
10rrr10﹣2r
xT=C）
5r+15
答：
r3r﹣
a 得
r=1，3r=7令10﹣
17
x∴ 的系数是aC
57
x∵ ，的系数是﹣10
1
aC
∴ =﹣10，
5
解得a=﹣2． ．2故答案为：﹣本题主要考查了
二项式系数的性质．二项展开式的通项点 评： 公式是解决
二项展开式的特定项问题的工具．
1x﹣
=3上海）方程?+的实数解为2013分）（6．4（
4 log
3
．
函数的零点．考菁优网版权所有
············．
·············
函数的性质及应用：
分
x﹣1x﹣1x
）43﹣化简方
程+=3为 =3，即（ 析：
xx
x的值．=03+2），解得 3=4，可得
（
解即 8+3，即 =3
1﹣﹣1xxx﹣1x
=3，解：方程+=3
答：
x+1
，﹣3） 3（
xx2xx
）=0．﹣?38=0，即（3﹣4）（3+2化
简可得 3﹣2
xx
（舍去），解得 3=4，或 3=﹣2x=log∴ ，4
3
．故
答案为 log4
3
本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值
域，一元点 二次方程的解法，属于基础题．评：
与2013?上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1分）7．（4
（
．θ=1的公共点到极点的距离为 ρcos
菁考点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式． 优
网版权所有：点
计算题．专 ：题 即为答案．ρ与θ+1ρcosθ=1消掉θ即
可求得，ρ分联立=cos 析：ρ（得θ=1ρρρ得，ρ解解：
由=cosθ+1cosθ=﹣1，代入cos =1，）答： ﹣1
ρ
解得ρ=或=（舍），的公共点到极点的距离θ=1cos与θρ所以曲线=cos+1ρ
为，．本题考查两点
故答案为：
间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，点
············．
·············
属基础题．评：
，5，4，1， 2，?8．（4分）（2013上海）盒子中装有编号为
3的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的 编98，6，7，
（结果用最简分数表示）号之积为偶数的概率是
．
菁优网版权所古典概型及其概率计算公式概率与统计九利
用组合知识求出个奇球中，任意取出两 个球的取法种数，再
求出析
个奇数的取法种数，求出取出的两个球中任意取编号之积为
奇数的概率，利用对立事件的概率求出取两个球的编号之积
为偶数的概率九个球中，任意解：答种出两 个球的取法种数
为
种． 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为
．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为
所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．
故答案为
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的点排
列组合知识，考查了对立事件的概率 ，解答的关键是评：
明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．
上，ΓC是椭圆?49．（分）（2013上海）设ABΓ的长轴，点
在
Γ，BC=则的两个焦点之间的距离为，若
．
CBA=且∠，
AB=4
考椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有
点：
············．
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圆锥曲线的定义、性质与方程题
分，由条件由题意画出图形，设椭圆的标准方程为 析：的
坐标，再根据结合等腰直角三角形的 边角关系解出C值，最
后利用椭圆的几何性质计算在椭圆上求得b点C 可得答
案．解：如图，设椭圆的标准方程为 答： 2a=4，
解 ，
a=2．由题意知，
），C点C的坐标为（﹣1，1CBA=∵∠，
BC=，∴
因点C在椭圆上，∴，
2
b∴ =，
Γ的两个焦点之间的距离
222
c∴ =4﹣c=，=，﹣=ab
为 ．则
．
故答案为：
本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质点 评：
的应用．
，4（分）（2013，…x，是等差数列?上海）设非零常数dx．10
21
，
则方差…，，xξ的公差，随机变量x等可能地取值x，x
19191 22
30d= Dξ．
············．
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极差、方差与标准差菁优网版权所概率与统计项和公式可利
用等差数列的前
析：和数学期望的计算公式即
可得…+x=x+x+
1912
，再利用方差的计算公式 即可得出出Eξ
即可得ξ=D
出．
解
+9d．解：由题意可得Eξ
===x 答：
1
x∴ =（n﹣10）d，）=x﹣Eξ+（n﹣1d﹣（x+9d）
1n1
222
）d+…+（﹣∴Dξ=+）+…2d+0+d+
（
2
] 9d）（
=
2
故答
=
2
=30d．
案为：30d．项和公式、数学期望和方差的n点熟练掌握等差
数列的前 计算公式是解题的关键．评：
，2013（?上海）若cosxcosy+sinxsiny=（11．4分）
． （sin2x+sin2y=，则
sinx+y）=
菁考三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数． 点
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专三角函数的求值． ：题
分，可得利用两角差的余弦公
式及cosxcosy+sinxsiny= 析：
·············
，cos（=）yx﹣，再利用和
差化积公式sin2x+sin2y=
············．
）cos（x﹣y）=，即可得出得到
．sin（x+y）2sin（x+y
解 =．ycosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣）解：∵ 答：
sin2x+sin2y=，∵
yx+y）﹣（x﹣）]=，sin[∴（x+y）+（x
﹣y）]+sin[（
=，x﹣y）∴2sin（x+y）cos（
，
∴
．=）x+y（sin∴
．故答案为熟练掌握两角和差的正
弦余弦公式及和差化积公式是点 解题的关键．评：
）是定义在（xa．12（4分）（2013?上海）设为实常数，y=f
a+1=9x+xR上的奇函数，当＜0时，f（x）+7．若f（x）
0成立，则a ．≥对一切x
≥
．的取值范围为
菁优网版权所有考函数奇偶性的性质；基本不等式． ：点 专
函数的性质及应用． 题：时函数0≥是 定义在y=f分先利用
（x）R上的奇函数求出x成立转化为函数）≥a+1≥0对一
切xx 析：的解析式，将f（）的最小值，xa+1，利用基本不
等式求出f（的最小值≥ 解不等式求出a的范围． 上的奇函
数，（解解：因为y=fx）是定义在R 答： =0；（时，所以当
x=0fx）（﹣，所以＜x0fx）=9x﹣时，则﹣＞当
+7 ﹣
（所以
x0 ）
是定义在xR上的奇函数，（因为y=ffx7；﹣=9x+）
a+1）x（因为f≥0x对一切≥成立，
············．
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0时，9x+﹣7当x＞
≥a+1成立，
，成立a+所以x=时所a
﹣9x+7的最小值≥a+1只需要
9x+﹣7≥2 a+1，7所以6|a|﹣≥
以．
7，=6|a|﹣因为
解得
，
所
故答案为： ．本题考查函数解析式的求法；考查
解决不等式恒成立转点 评：化成求函数的最值；利用基本
不等式求函数的最值．
x平面上，将两个半圆弧（20 13?上海）在xOy．13（4分）
（
2222
y=1，两条直线x）和（1x﹣3 ）+y=1（≥3）（1﹣）+y=1x
≥绕y=和﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记< br>DΩ）作（）|y|≤10y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（，
y．试利用祖暅原理、π4+ 8π的水平截面，所得截面积为
Ω的体积值为一个平放的圆柱和一个长方体，得出
2
π2π+16 ．
进行简单的合情推理．菁优网版权所有考 ：点 专计算题；
压轴题；阅读型． ：题可猜想水平放置的 分Ω由题目给出的
的水平截面的面积，圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱
的体积与长方体析 ：
············．
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< br>的体积作和即可的水平截面的截面积解：因为几何体答，该
截面的截面积由两部分组成+8高为， 看作是截一
2，
个底面积为8π一部分为定值8π，看作是把一个半径为4
的长方体得到的，对于
如图所示，高为
2π的圆柱平放得到的，
1，
放在一起，根据祖暅原理，每个平行这两个几何体与Ω 水
平面的截面积相等，故它们的体积相等，
22
π=22π+2?8
π? ．1+16π即Ω的体积为π?
2
．故答案为2π+16πΩ本题
考查了简单的合情 推理，解答的关键是由几何体点的水平截
面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关 评： 量，是中
档题．
，g（x）上有定义的函数14．（4分）（2013?上海）对区间I
的函数3][0，x={y|y=g（x），∈I}．已知定义域为（记gI）
1
﹣﹣ 1
f），1））=[1，2，y=fy=f（x）有反函数（x），且f（[0
1﹣
= x=0
有解x，则xf4]2，）=[0，1）．若方程（x）﹣（（
00
2 ．
菁优网版权所有考反函数；函数的零点． ：点 压轴题；函
数的性质及应用．专 题：根据互为反函数的两函数定义域、
值域互换可判断：当分）的值域，进而可判2）时（fx∈， 析 ：
x∈[01）时，x[1，上存[0f无解；由（x）在定义域，3]=xxf
断此时（）） 的取值集合，再根时，，∈在反函数可知：x[23]fx
（
············．
·············
的值=有解即可得据方=[[={y|y=I解：因 4=[答所以对于函）4，
所以方[）时无解=x=），所以方）时[[=无解x==无解x=所以[时
方3，且定义域[）x=有又因为方）的取值应属于集合（[3时
故2[，只==故故答案为2 本题考查函数的零点及反函数，考
查学生分析解决问题点 的能力，属中档题．评：
分）每题有且只有204题，满分二、选择题（本大题共有一
个正确答案，考生应在答题纸的相 应编号上，将代表答案 分，
否则一律得零分．的小方格涂黑，选对得5）﹣1，集合A={x|
（x20135分）（?上海）设常数a∈R15．（的取值范围，则aA
∪B=R，B={x|x≥ a﹣1}，若a（x﹣）≥0} ）为（
∞）[2，++2，∞） D． ， ）﹣． A （∞，2 B．（﹣∞
2] C．（
集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次考 菁
优网版权所有： 不等式的解法．点 不等式的解法及应用；
集合．专 ：题，求出满时，代入解集中的不等式中，确定出
A＞分当a1，A=R时，易得当R析： 足两集合的 并集为时
的a的范围；a=1的，列出关于Aa时，同样求出集合＜符合
题意；当a1的范围． 综上，得到a不等式，求出不等式的解
集得到
············．
·············
范围满足题意[B=[解时A（1答B=，B=，此 a=时，易A=B=[时
A（a[，显然成立B=，2综上的取值范围是（故B此题考查
了并集 及其运算，二次不等式，以及不等式恒点 成立的条件，
熟练掌握并集的定义是解本题的关键．评：
，她这句”“便宜没好货（2013?上海）钱大姐常说．16（5
分） ）好货”的（ 是话的意思是：“不便宜”“ 必要条件
B． A． 充分条件 非充分又非必要条件．D 既． 充分
必要条件 C
菁优网版权所必要条件、充分条件与充要条件的判断．考 有
点：
的逆否命题，根据互”“便宜没好货因为分“好货不便宜”
是再是真命题．好货不便宜”析： 为逆否命题的真假一致得
到：“的好货”不便宜”是“据命题的真假与条件的关系判
定出“ 必要条件． 的逆否命题，“便宜没好货””解解：“好
货不便宜是是真”“好货不便宜 答：根据互为逆否命题的真
假一致得到： 命题． ”，”?“不便宜所以“好货 ”的必要
条件，好货不便宜所以“”是“B
故选本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假
点 判定条件关系，属于基础题．评：
············．
·············
n
，若一﹣1）中，a=2分） （2013?上海）在数列
（a17．（5
nn
+a+aac=a?12列的矩阵的第 i行第j列的元素个7
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