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2013年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题 给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
2
﹣4=0}，则A∩xB=（ ）x5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={|1．（
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．?
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点
是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
． CAD． B．．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：? x∈A，2x
∈B，则（ ）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B C．￢p：?x?A，2x∈BD．￢p：?x∈A，
2x?B
）的部分图象如图＜，﹣φ＜0ω）+（）（分）函数（5．5fx=2sinωxφ（＞
第261
页（共页）
所示，则ω，φ的值分别是（ ）
． D． B．．A C
22
﹣=1的渐近线的距离是（x ．6（5分）抛物线y）=4x的焦点到双曲线
． ． CB．1
AD．
y=的图象大致是（ 分）函数 ）7．（5
．C． A ．B
．D
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9
B．10 C．18 D．20
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的 树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次
闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然 后每串彩灯以4
秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过
2秒的概率是（ ）
．D C． BA． ．
第2页（共26页）
< br>=（a∈R，）e为自然对数的底数），若曲线y=sinx分）10．（5设函数f（x上存在
点（x，y）使得f（f（y））=y，则a的取值范围是（ ）
000011
﹣﹣
﹣1，e+1D．[1 C．[，
e+1] ]A．[1，e B．[ee]﹣1，1]
分．25二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共
325
（用数字 11．（5分）二项式（x+y） 的展开式中，含x y的项的系数是
．作答）
，则=λABCD12．（5分）在平行四边形中，对角线AC与BD交于点O+，．λ=
． 的值是 sinα，απ∈（，），则tan2αsin2α=13．（5分）设﹣
2
﹣4x，那（x）=xR的偶函数，当x≥0时，f．14（5分）已知f（x）是定义域为么，不等式f（x+2）＜5的解集是 ．
15．（5分 ）设P，P，…P为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若
n21
点P到点P，P，… P的距离之和最小，则称点P为P，P，…P的一个“中位点”，
n2n211
例如，线段AB 上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步 骤．）
16．（12分）在等差数列{a}中，a+a=8，且a为a和a的等比 中项，求数列
921n34
{a}
的首项，公差及前n项和．
n
2cos+（A+AsincosB﹣（（17．
的值；）求（1cosA
页）26页（共3第
）=CcosB﹣）sinB分）在△12ABC中，
2
﹣．
在b=5，方向上的投影．）若2（a=4，求
18．（12 分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，
24这24个整数中等可能随机 产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p（2，3）；i=1，
< br>i
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次
后， 统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表
的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次输出y的值为1输出y的值为2输出y的值为3的频数数的频数n的频数
1014306
…………
69721001027376
乙的频数统计图（部分）
运行次输出y的值为1输出y的值为2输出y的值为3的频数的频数的频数数n
7123011
…………
3531
当n=2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i
（i=1，2，3）的频率（ 用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要
求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分
布列及数学期望．
第4页（共26页）
，AB=AC=2AAABC，C中，侧棱AA⊥底面分）19．（12如图，在 三棱柱ABC﹣AB
11111
的中点．是线段ADC，B的中点，P∠BAC=120°，D ，D分别是线段BC
111
，说明
理由，并平行的直线lP与平面ABC（ Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点
1
；ADDA
证明直线l⊥平面
11
的NAM﹣AC于点N，求二面角A﹣l（Ⅱ）设（I）中的直线
交AB于点M，交
1
余弦值．
，），0（﹣＞0）：的两个焦点分别为F1＞（aC（20．13分）已知椭圆b
1
经
．
过点，且椭圆C01（F，）
2
的离心率：（Ⅰ）求椭圆C
上是线段QMN，与椭圆lC交于MN两点，点）的直线，（（Ⅱ）设过点A02
的轨迹方程．Q的点，且，求点
265第页（共页）
已知函数，其中a是实数，设A（x，1421．（分）f（x）），
1 1
B（x，f（x））为该
函数图象上的点，且x＜x．
2221
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f （x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x＜0，求x﹣x
122
的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
第6页（共26页）
2013年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本答题共有10小题，每小 题5分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
2
﹣4=0}，则A∩B=（ ）x|x+2=0}，集合B={x|x{1．（5分）设集合A=
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．?
【分析】分别求出两集合中方程的解，确 定出A与B，找出A与B的公共元素即
可求出交集．
【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
2
﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，x由B中的方程2}，
则A∩B={﹣2}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点
是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
< br>【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点
关于x轴对称．< br>
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选：B．
【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
第7页（共26页）
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
． ．． AC． BD
【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由
俯视 图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排
除前三个选项．
【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A
和选项 C．
而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．
故选：D．
【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原 原几何体，首先是
看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，
解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础
题．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x
∈B，则（ ）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B C．￢p：?x?A，2x∈BD．￢p：?x∈A，
2x?B
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
第8页（共26页）
所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，
则￢p：?x∈A，2x?B．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考
查．
＜）的部分图象如图＜ω＞0φ，﹣）分）函数f（x）=2sin（ωx+φ（5．（5） φ
的值分别是（ 所示，则ω，
． D B．．A C．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期
（ω=2．由函数当时取得最大值x=2k，得到T==π，
φ=+kπ+
解得
﹣．由此即可得到本题的答案．得到，取k=0φ=∈Z）
x=解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最时取得最大值，【解答】小值，
=T，满足﹣=∴函数的周期
=π，解得ω=2，由此可得T=
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
x=时取得最大值又∵当2，
φ=+2kπ（k2?∈Z）+）+φ=2，可得2sin∴（
﹣φ=∵，得k=0，∴取
．A故选：
第269页（共页）
【点评】本题给出y=Asin （ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了
三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ω x+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
22
﹣=1的渐近线的距离是（的焦点到双曲线x 6．（5分）抛物线y）=4x
．． BD． C．1
A
【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准
，再用点到方程，算出它的渐近线方程为y=x±
，化成一般式得：
直线的距离公式即可算出所求距离．
2
=4xy【解答】解：∵抛物线方程为
）01，可得=1，抛物线的焦点F（∴2p=4，
又∵双曲线的方程为
22
b=，a=1且=1b且=3∴a，可得
±x±，，即双曲线的渐近线方程为y=y=
．化成一般式得：
2
=d==4x的焦点到双曲线渐近线的距离为因此，抛物线y
．故选：B
【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点 到双曲线的渐近线
的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基
础题．
y=的图象大致是（ 分）函数 ）．7（5
．C． B A．
页）26页（共10第
． D
【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，
3x
﹣1，此时y→0x，排除＜3D，当x→+∞时，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合 极限思想是函数图
象的基本方法．
8． （5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，
共可得到lga﹣ lgb的不同值的个数是（ ）
A．9
B．10 C．18 D．20
lgb=lga﹣这五个数中，每次取出两个【分析】因为3，5，7，9，所以从1，不同
的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多
少
个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分
母不同），减去相同的数字即可得到答案．
共有9这五个数中任取两个 不同的数排列，5，7，1【解答】解：首先从，3，种
排法，
，因为，
所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关 键是想到把相等的
数字去掉，属基础题．
第11页（共26页）
9．（5分）节日前夕，小李在 家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次
闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能 发生，然后每串彩灯以4
秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过
2秒的概率是（ ）
． CD． B．．A
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0 ≤y
≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
=由图可知所求的概率为：
．C故选：
【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．
=（a∈R，）e为自然对数的底数），若曲线y=sin x（10．（5分）设函数fx上存在
点（x，y）使得f（f（y））=y，则a的取值范围是（ ）
000011
﹣﹣
﹣1，e+1]D+[] C．1，
e1] ．[e1e． e1．A[，]B[1﹣，
【分析】考查题设中的条件，函数f（ f（y））的解析式不易得出，直接求最值
0
有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了 四个选项，0出现在了B，D
第12页（共26页）
两 个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证
参数为0与e+1时是否 符合题意判断出正确选项
【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x，y）使得 f（f（y））=y，则y∈[﹣1，
00000
1]
考查四个 选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取
e+1，A，B，C，D四个选 项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否
符合题意，即可得出正确选项
时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y当a=0∈[0，
0
1]时f（f（y））
=y是否成立
00
，而f（1≥是一个增函数，可得出f
=＞）1，
（y）（f0）=1由于
0
故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
此函数是一个增函数，=0，而a=e+1f时，当（0）没有意义，故a=e+ 1不合题意，
故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
故选：A．
【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察 出四个选项中同与
不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的
综合题，易因为找不 到入手处致使无法解答失分，易错
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
523
的项的系数是 10的展开式中，含x y+11．（5分）二项式（xy）（用数字
作答）．
55rr
﹣
，结合题意即可x+y）的展开式的通项公式T?y=x【分析 】利用二项式（
1r
+
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