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奥林匹克数学题四川省高考数学试题及答案理科解析版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 19:32
tags:高考, 高中教育

-

2020年11月22日发(作者:鲍鉴清)

2015年四川省高考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共10小题 ,每小题5分,共50分。在每小题给
出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.( 5分)(2015?四川)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1
<x<3 },则A∪B=( )

A.{x|﹣1<x<B. {x|﹣1<x<C. {x|1<x<2} D. {x|2<x<3}
3} 1}
考并集及其运算.
点:
专函数的性质及应用.
题:
分求解不等式得出集合A={x|﹣1<x<2},
析: 根据集合的并集可求解答案.
解解:∵集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},
答: ∴集合A={x|﹣1<x<2},
∵A∪B={x|﹣1<x<3},
故选:A
点本题考查了二次不等式的求解,集合的运算,属于容易题.
评:
2.(5分)(2015?四川)设i是虚数单位,则复数i
3
﹣=( )

A.﹣i B.﹣3i C.i D.3i
考复数代数形式的乘除运算.
点:
专计算题.
题:

通分得出,利用i的性质运算即可.
析:

解:∵i是虚数单位,则复数i
3
﹣,
===i,
答:

故选;C
点本题考查了复数的运算,掌握好运算法则即可,属于计算题.
评:
3.(5分)(2015?四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )


A.

B.


C.

D.

考程序框图.
点:
专图表型;算法和程序框图.
题:
分模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5
时满足条件k >4,计算并输出S的值为.
析:
解解:模拟执行程序框图,可得
答: k=1
k=2
不满足条件k>4,k=3
不满足条件k>4,k=4
不满足条件k>4,k=5
满足条件k>4,S=sin
输出S的值为.
故选:D.
点本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.
=,
评:
4.(5分)(2015?四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于
原点对称的函数是( )


y=cos(2x+)
A.
C.y=sin2x+cos2x
y=sin(2x+)
B.
D.y=sinx+cosx
考两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.
点:
专三角函数的图像与性质.
题:
分求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.
析:
解解:
y=cos(2x+)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足
答:
题意,所以A正确
y=sin(2x+)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足 题
意,所以B不正确;
y=sin2x+cos2x=sin(2x+),函数是非奇非偶函 数,周期为
π,所以C不正确;
y=sinx+cosx=sin(x+),函数是非奇非偶 函数,周期为2π,
所以D不正确;
故选:A.
点本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期
评: 的求法,考查计算能力.
5.(5分)(2015?四川)过双曲线x
2
﹣=1的右 焦点且与x轴垂直的
直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=( )

A.

B.2 C.6 D.4
考双曲线的简单性质.
点:
专圆锥曲线的定义、性质与方程.
题:
分求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标,即可
析: 求解|AB|. < br>解
解:双曲线x
2

过双曲线x
2

=1的 右焦点(2,0),渐近线方程为y=
=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2,

答:
可得y
A
=2
∴|AB|=4
故选:D.

,y
B
=﹣2


本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用.
评:
6.(5分)(2 015?四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数
字的五位数,其中比40000大的偶数 共有( )

A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
考排列、组合及简单计数问题.
点:
专应用题;排列组合.
题:
分根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,
析: 末位数字为0、2、4 中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨
论,①首位数字为5时,②首位数字为4时,每种情况下分析 首
位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理
可得其情况数目,进而由分类 加法原理,计算可得答案.
解解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1
答: 个,末位数字为0、2、4中其中1个;
分两种情况讨论:
①首位数字为5时,末位数字有 3种情况,在剩余的4个数中任
取3个,放在剩余的3个位置上,有A
4
3
= 24种情况,此时有
3×24=72个,
②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的 4个数中任
取3个,放在剩余的3个位置上,有A
4
3
=24种情况,此时有
2×24=48个,
共有72+48=120个.
故选:B
点本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的
评: 五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.
7.(5分)(2015?四川)设四边形 ABCD为平行四边形,||=6,||=4,
若点M、N满足


B.15
,则
C.9
=( )
D.6 A.20
考平面向量数量积的运算.
点:
专平面向量及应用.
题:

根据图形得出=+
=,
=,
=?()=
2
析:
=﹣,
结合向量结合向量的数量积求解即可.
解解:∵四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足
=,
,,
∴根据图形可得:=+
答:
=
∴=
=



2
=?(
=
22
)=

2
﹣,
=
22

||=6,||=4,
∴=
22
=12﹣3=9
故选:C
点本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的
评: 思想,关键是向量的分解,表示.
8.(5分)(2015?四川)设a、b都是不等于1的正数,则 “3
a
>3
b

3”是“log
a
3<logb
3”的( )


A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
考必要条件、充分条件与充要条件的判断.
点:
专简易逻辑.
题:
分求解3
a
>3
b
>3,得出a>b>1,
或根据对数函数的性质
析:
log
a
3<log
b
3,
求解即可,
再利用充分必要条件的定义判断即可.
解解:a、b都是不等于1的正数,
答: ∵3
a
>3
b
>3,
∴a>b>1,
∵log
a
3<log
b
3,



<0,

求解得出:a>b>1或1>a>b>0或b>1,0<a<1
根据充分必要条件定义得出:“3
a
>3
b
>3”是“log
a< br>3<log
b
3”
的充分条不必要件,
故选:B.
点本题综合考查了指数,对数函数的单调性,充分必要条件的定义,
评: 属于综合题目,关键是分类讨论.
9.(5分)(2015?四川)如果函数f(x)=(m﹣2)x
2
+(n﹣8)x+1
(m≥0,n≥0)在区间[

]上单调递减,那么mn的最大值为( )
C.25 D.

A.16 B.18
考基本不等式在最值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.
点:
专函数的性质及应用;导数的概念及应用;不等式的解法及应用.
题:
函数f(x)=(m﹣2)x
2
+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间 []
上单调递减,则f′(x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0在[,2]
析:
上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[,2]上的图象
是一条线段.故只须在两个端点处 f′()≤0,f′(2)≤0
即可.结合基本不等式求出mn的最大值.

解:∵ 函数f(x)=(m﹣2)x
2
+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在
]上单调递 减, 区间[
答:
∴f′(x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0在[,2]上恒成立.而
(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[,2]上的图象是一条线段.故
只须在两个端点处f′ ()≤0,f′(2)≤0即可.即
由(2)得m≤(12﹣n),
∴mn≤n(12﹣n )≤=18,当且仅当m=3,n=6时
取得最大值,经检验m=3,n=6满足(1)和(2).
故选:B.
解法二:
∵函数f(x)=(m﹣2)x
2
+(n﹣ 8)x+1(m≥0,n≥0)在区间
[]上单调递减,
∴①m=2,n<8
对称轴x=﹣
②即


③即

设y=,y′=



当切点为(x
0
,y
0
),k取最大值.
①﹣=﹣2.k=2x,
∴y
0
=﹣2x
0
+12,y< br>0
=
∵x=3>2
=2x
0
,可得x
0
=3,y
0
=6,
∴k的最大值为3×6=18
②﹣=﹣.,k=,
y
0
==,
2y
0
+x
0
﹣18=0,
解得:x
0
=9,y
0
=
∵x
0
<2
∴不符合题意.
③m=2,n=8,k=mn=16
综合得出:m=3,n=6时k最大值k=mn=18,
故选;B
点本题综合考查了函数方程的运用,线性规划问题,结合导数的概
评: 念,运用几何图形判断,难度较大,属于难题.
10.(5分)(2015?四川)设直线l与抛物线 y
2
=4x相交于A、B两点,
与圆(x﹣5)
2
+y
2< br>=r
2
(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若
这样的直线l恰有4 条,则r的取值范围是( )

A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
考抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系.
点:
专综合题;创新题型;开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质
题: 与方程.
分先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=±2,所
析: 以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论.
解解:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(x
0
,y
0
),
答: 斜率存在时,设斜率为k,则y
1
2
=4x
1
,y
2
2
=4x
2

则,相减,得(y1
+y
2
)(y
1
﹣y
2
)=4(x
1
﹣x
2
),
当l的斜率存在时,利用点差法可得ky
0
=2,
因为直线与圆相切,所以
即M的轨迹是直线x=3.
将x=3代入y
2=4x,得y
2
=12,∴
∵M在圆上,∴,∴r
2
=


=﹣,所以x
0
=3,
∵直线l恰有4条,∴y
0
≠0,∴4<r
2
<16,
故2<r<4时,直线l有2条;
斜率不存在时,直线l有2条;
所以直线l恰有4条,2<r<4,
故选:D.
点本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生
评: 分析解决问题的能力,属于中档题.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(5分)(2015?四川)在(2x﹣1)
5
的展开式中,含x
2
的项的系数
是 ﹣40 (用数字填写答案).
考二项式定理的应用.
点:
专二项式定理.
题:
分根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,
析: 整理成最简形式,令x的指数为2求得r,再代入系数求出结果.
解解:根据所给的二项式写出展开式的通项,
; T
r+1
=
答:
要求x
2
的项的系数,
∴5﹣r=2,
∴r=3,
∴ x
2
的项的系数是2
2
(﹣1)
3
C
5
3
=﹣40.
故答案为:﹣40.
点本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展
评: 开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题
的工具.
12.(5分)(2015?四川)sin15°+sin75°的值是
考两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值.

点:
专三角函数的求值.
题:
分利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.
析:
解解:sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=
sin60°=. (sin15°cos45°+cos15°sin45°)=
答:
故答案为:


本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值,考查计算能
评: 力.
13.( 5分)(2015?四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏
温度x(单位:℃)满足函数关系 y=e
kx+b
(e=2.718…为自然对数的底
数,k、b为常数).若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时,在22℃
的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时.
考函数与方程的综合运用.
点:
专计算题;函数的性质及应用.
题:
分由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=e
kx+b

析: 解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.
解解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.
答: 代入函数y=e
kx+b

可得e
b
=192,e
22k+b
=48,
即有e
11k
=,e
b
=192,
则当x=33时,y=e
33k+b
=×192=24.
故答案为:24.
点本题考查函数的解析式的求法和运用,考查运算能力,属于中档
评: 题.
14. (5分)(2015?四川)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,
他们所在的平面互相垂直, 动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC
的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为

考异面直线及其所成的角.
点:
专空间角;空间向量及应用.
题:
分首先以AB,AD,AQ三直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,
的并设正方形边长为2,M(0,y,2),从而可求出向量
析:
坐标,由cosθ=得到,对函数
求导,根据导数符号即可判断该函数为减函数,从而
求出cosθ的最大值.
解解:根据已知条件,AB,AD,AQ三直线两两垂直,分别以这三
答: 直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2,
则:
A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0);
M在线段PQ上,设M(0,y,2),0≤y≤2;

∴cosθ=
设f(y)=,
=



函数g(y)=﹣2y﹣5是一次函数,且为减函数,g(0)=﹣5<0;
∴g(y)<0在[0,2]恒成立,∴f′(y)<0;
∴f(y)在[0,2]上单调递减;
∴y=0时,f(y)取到最大值.
故答案为:.
点考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线所成角的
评: 问题,异面直线所成角的概念及其范围,向量夹角的概念及其范
围,以及向量夹角余弦的坐标公式,函数 导数符号和函数单调性
的关系.
15.(5分)(2015?四川)已知函数f(x)=2< br>x
,g(x)=x
2
+ax(其中
a∈R).对于不相等的实数x1
、x
2
,设m=
n=.现有如下命题:

①对于任意不相等的实数x
1
、x
2
,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x
1
、x
2
,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x
1
、x
2
,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x
1
、x
2
,使得m=﹣n.
其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号).
考命题的真假判断与应用.
点:
专创新题型;开放型;函数的性质及应用.
题:
分运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即
析: 可判断②;
通过函数h(x)=x
2
+ax﹣2
x
,求出导数判断单调性,即可判断③;
通过函数h(x)=x
2
+ax+2
x
,求出导数判断单调性,即可 判断④.
解解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R
答: 上递增,即有m>0,则①正确;
对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,< br>在(﹣,+∞)递增,则n>0不恒成立,
则②错误;
对于③,由m=n,可得f( x
1
)﹣f(x
2
)=g(x
1
)﹣g(x
2),考查
函数h(x)=x
2
+ax﹣2
x

h′( x)=2x+a﹣2
x
ln2,当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)
单调递减, 则③错误;
对于④,由m=﹣n,可得f(x
1
)﹣f(x
2
)= ﹣[g(x
1
)﹣g(x
2
)],
考查函数h(x)=x
2
+ax+2
x

h′(x)=2x+a+2
x
ln2,对 于任意的a,h′(x)不恒大于0或小
于0,则④正确.
故答案为:①④.
点本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的
评: 单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。 16.(12分)(2015?四川)设数列{a
n
}(n=1,2,3,…)的前n项和
S
n
满足S
n
=2a
n
﹣a
1
, 且a
1
,a
2
+1,a
3
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{
最小值.
考数列的求和.
}的前n项和为T
n
,求使得|T
n
﹣1|成立的n的
点:
专等差数列与等比数列.
题:

-


-


-


-


-


-


-


-



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