考研数学60分2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)(有答案解析)

2020年11月22日发(作者：逄奉建)
2020
年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）



一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

设复数
z
满足，
i
为虚数单位，则复数
z
的虚部是

A.
1

B. C.
i

D.

2.

设全集，集合，，则

D.

A. B. C.
3.

某中学有高中生
1500
人，初 中生
1000
人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的
方法从高中生和初 中生中抽取一个容量为
n
的样本．若样本中高中生恰有
30
人，则
n
的值为
A.
20

B.
50

C.
40

D.
60

4.

曲线在点处的切线方程为

5.

已知锐角满足
A. B.
B.
l


C.
，则

D.


A.

6.

函数
C.
2

在的图象大致为
D.
4


A.

B.

C.

D.

7.

执行如图所示的程序框图，则输出
S
的值为

A.
16

B.
48

C.
96

D.
128









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8.

已知函数，则函数


的图象的对称轴方程为



A.
C.
9.

如图，双曲线
C
：
，
于
A
，
B
两点，若
B.
D.
的左，右 焦点分别是
，直线与双曲线
C
的两条渐近线分别相交
，则双曲线
C< br>的离心率为
A.
2

B.
C.
D.

10.

在正方体
平面，
中，点
P
，< br>Q
分别为
AB
，
AD
的中点，过点
D
作平面 使
平面，若直线平面，则的值为



A.

11.

已知
EF
为圆
B.

C.

的一条直径，点
D.

的坐标满足不等式组
，则的取值范围为
A.
12.

已知函数

B.

C.
，若存在

，

D.

，使得
成立，则的最大值为
A.

B.
e

C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

的展开式中的系数为
______
．
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14.

在中，内角
A
，
B< br>，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已 知，，，则
的面积为
______
．
15.

已知各棱长 都相等的直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱所有顶点都在球
O
的表面
上，若球
O
的表面积为，则该三棱柱的侧面积为
______
．
16.

经过椭圆中心的直线与椭圆相交于
M
，
N
两点点
M
在第一象限，过点
M
作
x
轴
则的值是______
． 的垂线，垂足为点
E
，设直线
NE
与椭圆的另 一个交点为
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

已知是递增的等比数列，
的通项公式；
，，求数列
，且，，成等差数列．
Ⅰ求数列
Ⅱ设的前
n
项和．







18.

如图，在四棱锥中，
O
是 边长为
4
的正方形
ABCD
的中心，
为
BC
的中点 ．
Ⅰ求证：平面平面
PBD
；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
平面
ABCD
，
E








19.

某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不 断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一
批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的 一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利
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润．该公司
2013
年至
2019
年的年利润
y
关于年份代号
x
的统计数据如 表已知该公司的年利润
与年份代号线性相关：
年份

年份代号
x

年利润
2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

1

2

3

4

5

6

7

单位：亿元

29

33

36

44

48

52

59

Ⅰ求
y
关于
x
的线性回归方程，并预测该公司
2020
年年份代 号记为的年利润；
Ⅱ当统计表中某年年利润的实际值大于由Ⅰ中线性回归方程计算出该年利润的估计值 时，
称该年为
A
级利润年，否则称为
B
级利润年，将Ⅰ中预测的该公 司
2020
年的年利润视作该
年利润的实际值，现从
2013
年至< br>2020
年这
8
年中随机抽取
2
年，求恰有
1
年为
A
级利润年的
概率．
参考公式：．








20.

已知椭圆
上，，且
Ⅰ求椭圆
E
的标准方程；
Ⅱ设直线l
：
D
两点，求
的左，右焦点分别为，，点
P
在椭圆< br>E

与椭圆
E
相交于
A
，
B
两点， 与圆相交于
C
，
的取值范围．








21.

已知函数
Ⅰ当
Ⅱ设
时，求函数
，若
，其中
的单调区间；
，在
．
上恒成立，求实数
m
的最大值．






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22.

在平面直角坐 标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
轴正半轴为极轴建立 极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
Ⅰ求直线
l
的直角坐标方程与曲线
C
的普通方程；
Ⅱ已知点，设直线
l
与曲线
C
相 交于
M
，
N
两点，求
为参数以坐标原点
O
为极点，
．
的值








23.

已知函数．
在上恰有两个不相等的
Ⅰ解不等式；
Ⅱ设，其中
a
为常数，若方程
实数根，求实数
a
的取值范围，








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-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
B

解析：解：由，得，
复数
z
的虚部是．
故选：
B
．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.
答案：
A

解析：解：，
，
．
故选：
A
．
进行补集和交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，补集和交集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.
答案：
B
，，

解析：解：由分层抽样的定义得，解得，
故选：
B
．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
4.
答案：
D

解析：解：
，
所以，
所以切线方程为，
即

故选：
D
．
先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．
本题主要是考查了利用导数求切线的方法，属于基础题，注意计算要准确．
5.
答案：
C


解析：解：锐角满足
，
，
，可得
故选：
C
．
由已知利用二倍角公式可得
求的值．
，
．
，结合，利用同角三角函数基本关系式可
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本题主要考查了二倍角公 式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化
思想，属于基础题．
6.
答案：
B

解析：解：
奇函数，其图象关于原点对称，故排除
CD
；
又，故排除
A
．
，故函数为
故选：
B
．
利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．
本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
7.
答案：
B

解析：解：模拟程序的运行，可得
，

执行循环体，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，

此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出
S
的值为
48
．
故选：
B
．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并 输出变量
S
的值，模拟程序的运行
过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图，循环结构，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基
础题．
8.
答案：
C

解析：解：函数
，
令
则函数
，求得
，
，，
，，
，
，
的图象的对称轴方程为
故选：
C
．
由题意求出，再利用诱导公式，求出函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求出结果．
本题主要考查诱导公式、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9.
答案：
A

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解析：解：联立．
即，
直线的斜率．
．
则双曲线
C
的离心率为
故选：
A
．
．
联立即，利用直线的斜率求得即可．
本题考查了双曲线的性质：离心率，考查了计算能力，属于中档题．
10.
答案：
B

解析：解：取
BC
的中点T
，连接
PT
，，
QT
，
ND
，取的中点< br>N
，的中点
K
，连接
NK
，
KD
，
AC
，，
QT
，
在正方形
ABCD
中，，
在正方形中，，
由截面为矩形，可得，
可得，又平面
DNK
，平面
DNK
，
可得平面
DNK
，
由，，可得，
且，可得四边形为平行四边形，
即有，
又，可得，平面
DNK
，
平面
DNK
，
可得平面
DNK
，且，
可得平面平面
DNK
，
由平面，可得平面
DNK
，
由，平面
DNK
，平面
DNK
，
可得平面
DNK
，
结合题意可得平面
BNK
即为平面，
由
NK
与交于
M
，
在正方形中，，
可得，
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