世界杯数学苏教版八年级(上)数学期末解答题压轴题精选解析

2020年11月22日发(作者：窦常)

解答题压轴题选讲
1、已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于 点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；（2）点P是 x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，
连接CA并延长交y 轴于点Q．
①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化
范围．


2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标 为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线
AB上位于第二象限内的一个动点，过点 P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐
标为a．
（1）当 b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S
△QOA
=4时，求点P的坐标；
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不 存在，请
说明理由．


3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（ 0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．



1


4．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直 角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取
两个点E、F，使得△AEF是一个 腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．
（如果你有多种情况，请用① 、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的
长，如果图形不够用 ，请自己画出）．

5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG
和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线 段BG和AE的数量关系是 ；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

6．（1）问题背景：
如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分 别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探
究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同 学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先
证明△ABE≌△ADG，再证 明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________；
（2）探索延伸： 如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD，上述结论
是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：
如图 ③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B< br>处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进 ，舰艇乙
沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F 处，此时在指挥中心观
测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．




2


7．如图①，A，D分别在x轴，y 轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五
边形OABCD的 边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已
知 S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．
（1）点B的坐标为 ；点C的坐标为 ；
（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．


8．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点 B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1
的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）点A的坐标是 ，n= ，k= ，b= ；
（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点 的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．

9．小 李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时< br>后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（ 单位：h）
之间的函数关系的图象如图所示．
（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；
（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？
（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）




3


10．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐 标轴上的点，且a、b满足a+b﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC 于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x
E
、x
F
，当BD平分
△BEF的面积时，求x
E
+x
F
的值；
（3）如图2，若M（ 2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．
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11．2014年白天鹅大酒店按餐厨垃圾处理费25元/吨、 建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃
圾处理费3400元．从2015年元月起 ，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，
若该企业2015年处 理的这两种垃圾数量与2014年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费5100元．
（1）该酒店2014年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2015年 将上述两种垃圾处理总量减少到160吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，
则2015 年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？


12．一辆快车和一辆慢 车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表
示两车行驶过 程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两
地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；
（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．

13．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休 息前后速度相同，如图是甲
乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中a 的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．


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答案与解析
1．已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和 点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；（2）点P是x轴正 半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，
连接CA并延长交y轴于点 Q．
①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P 点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化
范围．
考点： 一次函数综合题．分析： （1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得 ∠OBA=
∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b 可得出k，b的
值，即可得出一次函数的表达式；
（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D， 易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C，的
坐标，所点A，C的坐标代入y=k
1
x+b
1
求解即可．
②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由 线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，
由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出O Q=OA，即可得出点Q的坐标．
解答： 解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°∴∠OBA=∠OAB=45°，∴OA=OB，
∵A（3，0），∴B（0，3），∴
（2）①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，

∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和△PDC中，
，∴△BOP≌△PDC（AAS）．∴PD=BO=3，CD=PO，
∵P（4，0），∴CD=PO=4，则OD=3+4=7，∴点C（7，4），
设直线AC的函数关系式为y=k
1
x+b
1
，
则，解得．∴直线AC的函数关系式为y=x﹣3；
，解得k=﹣1．∴y=﹣x+3，

②点Q的位置不发生变化．由①知△BOP≌△PDC，当点P在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌△PDC，
∴PD=BO，CD=PO，∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD，
又∵ OA=OB，∴AD=CD，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠QAO=45°，∴OQ=OA=3，即点Q
的坐标为（0，﹣3）．



点评： 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得出△BOP≌△PDC．

5


2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标 为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB
上位于第二象限内的一个动点，过点 P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为
a．
（1）当 b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S
△QOA
=4时，求点P的坐标；
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不 存在，请
说明理由．

考点： 一次函数综合题．分析： （1）①利用待定系数法求解即可，
②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），可求出点Q坐标，再利用 S
△QOA
=×|OA|×|﹣a+3|
求出a的值，即可得出点P的坐标．
（2）分两种情况①当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，②，当∠AQC=90°且QA=QC
时，过点Q作QH⊥x轴于点H，分别求解即可．
解答： 解：（1）①设直线AB的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），
将A（2，0），B（0，3）代入得，解得，所以直线AB的函数表达式为y=﹣x+3，
②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），∴点Q坐标为（﹣a，﹣a+3），
∴S
△ QOA
=×|OA|×|﹣a+3|=×2×|﹣a+3|=|﹣a+3|=﹣a+3=4．解得a=﹣ ，∴P点的坐标为（﹣，4），
（2）设P点的坐标为（a，n），（a＜0，n＞0），则点C，Q 的坐标分别为C（a，0），Q（﹣a，n），
①如图1，当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，∴﹣a=2，
∴a=﹣2，∴AC=4，从而AQ=AC=4，即|n|=4，由n＞0得n=4，
∴P点坐标为（﹣2，4）．
设直线AB的函数表达式为y=cx+b（c≠0），
将P（﹣2，4），A（2，0）代入得
∴a=﹣2，b=2．

②如图2，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，
，解得，

∴QH=CH=AH=AC，由Q（﹣a，n）知H（﹣a，0）．Q的横坐标﹣a=
Q的纵坐标QH=
，解得a=﹣，
=∴Q（，）∴P（﹣，），由P（﹣，），点A坐标为 （2，0），可得直线AP的解析式
为y=﹣x+1，∴b=1，∴a=﹣，b=1，综上所述当△QA C是等腰直角三角形时，a=﹣2，b=2或a=﹣，b=1．
点评： 本题主要考查了一次函数综合 题，涉及一次函数解析式，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合，
分类讨论．

6


3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°） ，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE
的形状并加以 证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质．专题： 压轴题．
分析： （1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋 转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三
角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ ABD≌△EBC，推出AB=BE即
可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形， 推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，
求出即可．
解答： （1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；
（2）△ ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30° ﹣α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B AD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；
（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠ DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠ EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．
< br>点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应 用，注
意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形 的对应边相等，对应角相等．

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4．由小学的知识可知：长 方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取
两个 点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．
（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边 的
长，如果图形不够用，请自己画出）．

考点： 矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
分析： 分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形 ，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：
①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用 勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰三角形三线
合一的性质可得AF=2AG．
解答： 解：如图，过点E作EG⊥AD于G，由勾股定理得，AG=
①点A是顶角顶点时，G F=AF﹣AG=5﹣3=2，由勾股定理得，底边EF=
②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2 ×3=6，综上所述，底边长为2
=3，
=2
或6．
，

点评： 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点 A、C分别在DG
和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是 BG=AE ；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．
分析： （1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2 ）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论 ；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
解答： 解：（1）BG=AE．
理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，

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