数学家的图片(完整)八年级上册数学期末考试难题精选

2020年11月22日发(作者：古华)
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八年级上册数学期末考试难题精选
分式：
1
一：如果abc=1,求证
1
ab
1
ab
a1
1
++
ab
abc
2
1
=1
ab
a
abc
a1
bcb1
acc1
+
abcab
解：原式=< br>=
=
+
aba
a
ab
++
a11abaa1ab
aba1
aba1
=1
二：已知
9
11ba
+=，则+等于多少？
ab
2(ab)
ab
1
19
解：+=
a
b2(ab)
a
ab
b
=
9
2 (a
2
b)
2(ab)=9ab
2
a
+4ab+2
b
=9ab
2（
a
a
2
2
22
b
）=5ab
2
2
b
ab
=
5
2
ba5+=
ab2
三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水< br>向容器面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。
中注满水的全过程 共用时间
解：设小水管进水速度为
t分。求两根水管各自注水的速度。
x，则大水管进 水速度为4x。
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由题意得：
解之得：
x
vv
2x8x
5v
8t
t
5v
是原方程解。
经检验得：
x
8t
5v5v
∴小 口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t2t
88
四：联系实际编拟一道关于分式方 程2的应用题。要求表述完整，条件
x2x
充分并写出解答过程。
解略
五：已 知M＝
2xy
x
2
y
2
、N＝
x
x
2
2
y
y
2
2
，用“+”或“－”连结M、N,有三种不
同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其
中x：y=5 ：2。
解：选择一：
MN
2xy
x
2
x
2
2
2
y
y
2
2
(x
(x
y)
2< br>x
y)x
y
yyxy)(x
，
当
x
∶
y
=5∶2时，
x
5
y
5
y
，原式=
2
5
2
y
2
x
2
2
2
y
y
(x
7
．
3
y)
2
选择二：
MN
2xy
x
2
y
y
2
2
y
y)x
x
yyx(xy)(x
，
当
x
∶
y
=5∶2时，x
5
2
2
2
y
y
，原式=
5
y
2
y
y)
2
5
y
2
(x
3．
7
x
y)x
y
y
选择三：
NM
x< br>x
2
2
y
y
2xy
x
2
y
2
(xy)(x
，
当
x
∶
y
=5∶2时，
x
5
y
5
y
，原式=
2
5
2
y< br>2
y
y
3
7
．
反比例函数：
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一：一张边长为16cm正方形的纸片 ，剪去两个面积一定且一样的小矩形
1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间得到一个“E” 图案如图
的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图 案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
解：（1 ）设函数关系式为y
k
x
k
10
∴k=20，∴y
20x
220216
∵函数图象经过（10，2）∴2
（2）∵
y
2 0
x
∴
xy
=20，∴
S
E
S
正
2xy
16
2
2010
（3）当x=6时，y
63
205< br>当x=12时，y
123
5
∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围 为
3
二：是一个反比例函数图象的一部分，点
y
10
cm
3
A(110)，
，
B(10，1)
是它的两个端点．
x
的取 值范围；
y
10
A
（1）求此函数的解析式，并写出自变量
（ 2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
k
解：（1）设y，
QA(1 10)，
在图象上，
x
10
y，其中1≤x≤10；
x
10
k
，即k
1
11010，
B
1
O 1
10
x
（2）答案不唯一．例如：小明家离学校10km，每天以vkm/h的速
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度去上学，那么小明从家去学校所需的时 间t
10
v
．
1
x
三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相 切，圆心A和圆心B都在反比例函数
y
的图象上，则图中阴影部分的面积等于
y
.
A
O
B
x
答案：r=1
S=πr2=π
四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
M
（－2，
-1
），
且P（
-1
，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x< br>轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△
OBQ与△OAP面积相 等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明
理由；
（3）如图12，当点Q在第一象 限中的双曲线上运动时，作以
的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
y
B
Q
B
A
O
x
M
OP、OQ为邻边
y
Q
AO
x
M
C
P
P
图
图--WORD格式--可编辑--
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解：（1）设正比 例函数解析式为
所以正比例函数解析式为
ykx
，将点M（
2
，1
）坐标代入得k=
1
2
，
y=
1
2
x
2
y=
x
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO 上运动时，
1
设点Q的坐标为Q(m，m)，
2
1111
2
于是S
△
OBQ
=OB?BQ创mm=m，
2224
1
而< br>S
△
OAP
=(-1)?(2)=1，
2
1
2
2
所以有，
m=1，解得m
4
所以点Q的坐标为
Q
1(2，1)
和
Q
2
(-2，-1)
（3）因为四边形OPCQ是 平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（
1
，
2
）是定 点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形
OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
2
Q的坐标为
Q(n
，
)
，
n
因为点Q在第一象 限中双曲线上，所以可设点
22
42
2
由勾股定理可得OQ=n+
2
=(n-)+4，
nn
2
2
2
2
所以当(n-)= 0即n-=0时，
OQ
有最小值4，
nn
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ
同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝
5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
2(OP+OQ)=2(5+2)=25+4
．
2
五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，
c( 1，6)、点D(3，x)．过点C作与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点
CE上y轴于E，过 点D作DF上X轴于F．
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(1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
勾股定理：
一：清朝 康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，?西安发现了他
的数学专著，其中有一文《积求勾 股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的
直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“ 若所设者为积数（面积），
以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为
S
其面积为S，则第一步：＝m；第 二步：
6
乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股 法”求出这个直角三角
形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过 程．
解：（1）当S=150时，k=
m
=
S
6
1506
25
=5，
．用现
3、4、5的整数倍，?设
3、4、5m
=k；第三步：分别用
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25 ；
（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，?
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而三角形为直 角三角形且
其面积S=
所以k=
2
3k、4k为直角边．
1
2
（3k）（4k）=6k
2
，·
S
6
（取正值），
S
6
，k=
即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
二：一张等腰三角 形纸片，底边长
依次从下往上裁剪宽度均为
l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边< br>3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有
( )
D．第7张
一张是正方形，则这张正方形纸条是
A．第4张
答案：C
B．第5张C．第6张
三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的< br>A
处
50
目测得点
A
与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上， 且A与B相距米，若小
3
明的身高忽略不计，则乙楼的高度是
C
乙
米．
？
B
甲
A
10
20
2 0
答案：40米
四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的
恩施大峡谷
(A)
和世界级自然保护区星斗山
侧，AB
(B)
位于笔直的沪渝高速公路
X
同
1）
50km，A、
B
到直 线
X
的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公
路旁修建一服务区
P
，向
A
、
B
两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（
是 方案一的示意图（，
P
到
A
、
B
的距离之和
AP< br>与直线
X
垂直，垂足为
P
）
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S
1
PAPB
，图（2）是方案 二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连
PAPB
．
接
BA
交 直线
X
于点
P
），
P
到
A
、
B< br>的距离之和
S
2
（1）求
S
1
、
S
2
，并比较它们的大小；
（2）请你说明
S
2
PAPB
的值 为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路
Y
与沪渝高速公路垂直，建立如图（3） 所
示的直角坐标系，
B
到直线
Y
的距离为30km，请你在
X
旁和
Y
旁各修建一服务
区
P
、
Q
，使< br>P
、
A
、
B
、
Q
组成的四边形的周长最小． 并求出这个最小值．
Y
B
Q
A
P
图（1）
X P
图（2）
A
A
X
O
P
图（3）
X
B
B
A
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30
∴BP＝CP
2
∴BC＝40
BC
2
402
S< br>1
＝
40210
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝ 50，
又BC＝40
∴BA'＝
40
2
50
2
1 041
由轴对称知：PA＝PA'
∴S
2
＝BA'＝
1041∴
S
1
﹥
S
2
(2)如图10（2），在公路上任找一 点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称
知MA＝MA'
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∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B
∴S
2
＝BA'为最小
Y
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
B
B'
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B '＝
100
2
Q
P
A
A'
50
2
505
∴所求四边形的周长为
50505
五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，A D∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于
AC．
A
F
B
G
C
D
点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE
（1）求证： BG
（2）若ADDC
FG；
2，求AB的长．
ABC90°，DE⊥AC于 点
F
，
E
解：（1）证明：Q
ABC
QAC
AFE．
D
A
AE，EAFCAB，
F
△ABC≌△AFE
ABAF
．
B
G
C
连接 AG，
AG＝AG,AB＝AF，
Rt△ABG≌Rt△AFG．
BGFG．
E
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
AF
E
1
AC
2
30°．
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1
AE．
2
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FAD
AF
AB
E
3
．
30°，
AF3
．
四边形：< br>一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
E
F
解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，
A
D
∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.
∴∠FBE = ∠CBA.
∴△FBE ≌△CBA.
∴EF = AC.
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD = AD = AC.
∴EF = AD.
同理可得AE = DF.
∴四边形
AEFD
是平行四边形.
(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
B
C
当图形为 菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.
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二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边B C、AC上，且CD=CE，
连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎 样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
解： （1）（选证一）VBDEVFEC
QVABC
是等边三角形，BC=AC,ACB=600
QCDCE,BDAE,VEDC
是等边三角形
DEEC,CDEDEC60< br>0
BDEFEC120
0
QEFAE,BDFE,VBDEVFEC
（ 选证二）VBCEVFDC
证明：
QVABC是等边三角形,BCAC,ACB60
0
QCDCE,VEDC
是等边三角形
BCEFDC60
0
,DECE
QEFAE,EFDEAECE,FDACBC
VBCEVFDC
（选证三）VABE VACF
证明：
QVABC是等边三角形,ABAC,ACBBAC
QCDCE,VE DC
是等边三角形
AEFCED
=60
0
QEFAE,VAEF是等边三角形
AEAF,EAF60
0
VABEVACF
（2）四边形A BDF是平行四边形。
由（1）知，VABC、VEDC、
VAEF
都是等边三角形。
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60
0
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CDEABCEFA60
0
ABPDF,BDPAF,四边形ABDF是平行四边形< br>（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。
EFPAB,EFAB,
四边形< br>ABEF
是梯形
过
E
作
EGAB
于
G
，则
EGAEsin60
0
23
3
BCg
2
23
S
1
四边形
ABEF
2
EGgABEF
1
2
2364103
三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC 于点E，
DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（ 2）求证：四边形DECF为菱形．
解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
又∵点D是△ABC的内心，< br>∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴∠FCD＝∠FDC< br>∴FC＝FD，
∴□DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，D H⊥BC于H，DI⊥AC于I．
图7
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴ DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
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∴四边形DECF为平行四边形，
∴S
□DECF
=CE·DH =CF·D I，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一 点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝
DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P 作PQ∥BD交直线BE
于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝P D＋
3
3
PQ；
（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点 所构成的三角形面
积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3） 在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作
PF⊥QC，垂足为F，PF交对 角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90°∠ABE=30°∠A EB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30°∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M
PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=
3
2
∴
PE ∴
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