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伯克利数学十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题13 排列组合与二项式定理 含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 22:08
tags:高考, 高中教育

-

2020年11月22日发(作者:蔡襄)
名师精心整理 助您一臂之力
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学
专题13 排列组合与二项式定理
一、选择题
1.(2019·全国3·理T4)(1+2x)(1+x)的展开式中x的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
243
【答案】A
【解析】(1+2x)(1+x)的展开式中x的系数为+2=4+8=12.故选A.
243
2.(2018·全国3·理T5)
A.10
的展开式中x的系数为( )
4
B.20 C.40 D.80
【答案】C
【解析】由展开式知T
r+1
=(x)(2x)=2x
25-r-1rr10-3r
.当r=2时,x的系数为2=40.
42
3.(2017·全国1·理T6)
A.15
(1+x)展开式中x的系数为( )
62
B.20 C.30 D.35
【答案】C
【解析】(1
+x
)的二项展开式通项为
T
r+
1
=x
,
6
r
(1
+x
)的 展开式中含
x
的项的来源有两部分,一部分
62
是1
×x=
15
x
,另一部分是
是30
.

22
x
4
=
15
x
2
,故(1
+x
)的展开式中含
x
的项为15
x+
15
x=
30
x
,其系数
62222
4
.
(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)的展开式中 xy的系数为(

)
A.
-
80 B.
-
40
【答案】C
【解析】(2
x-y
)的展开式 的通项公式
T
r+
1
=
(2
x
)(
-y< br>)
.


r=
3时,
x
(2
x-y
)的展开式中
xy
的系数为
×
2
×
(
-< br>1)
=-
40;

r=
2时,
y
(2x-y
)的展开式中
xy
的系数为
×
2
×
(< br>-
1)
=
80
.

53332
53323
55
-r
533
C.40 D.80
r
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1
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故展开式中
xy
的系数为80
-
40
=40
.

5
.
(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完 成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的
安排方式共有(

)
A
.
12种 B
.
18种 C
.
24种 D
.
36种
【答案】D 33
【解析】先把4项工作分成3份有种情况,再把3名志愿者排列有种情况,故不同的安排方式共 有
=
36种,故选D
.

6
.
(2016·四川· 理T2)设i为虚数单位,则(
x+
i)的展开式中含
x
的项为(

)
A.
-
15
x
B.15
x
C.
-
20i
x
D.20i
x

【答案】A
【解析】二项式(
x+
i)展开的通项
T
r+
1
=x
i,则其展开式中含
x
是当6
-r=
4,即
r=
2,则展开式中含
x
的项

x
i
=-
15
x
,故选A
.

7
.
(2016·全 国2·理T5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓
参加 志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)
424
66
-rr
44
4444
64

A.24 B.18 C.12 D.9
【答案】B
【解析】由题意 知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则
小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为6
×
3
=
18,故选B
.

8
.
(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{
a
n
}如下:{
a
n
}共有2
m
项,其中
m
项 为0,
m
项为1,且对任意
k
≤2
m
,
a
1
,
a
2
,…,
a
k
中0的个数不少于1的个数< br>.

m=
4,则不同的“规范01数列”共有(

)
A.18个 B.16个
【答案】C
【解析】由题意知a
1
=0,a
8
=1,则满足题意的a
1
,a
2
,…,a
8
的可能取值如下:
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2
C.14个 D.12个
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综上可知,不同的“规范01数列”共有14个
.

9
.
(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(

)
A.24
C.60
B.48
D.72
【答案】D
【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个, 其他位置共有
中奇数的个数为3
种排法,所以其
=
72,故选D
.< br>
10
.
(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有 重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(

)
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
【答案】B
【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有
个;当首位数字为5, 个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有
=(2+3)=5×4×3×2×1=120个.故选B .
2552
个.故满足条件的五位数共有
11
.
(2015·全国 1·理T10)(
x+x+y
)的展开式中,
xy
的系数为(

)
A
.
10 B
.
20 C
.
30 D
.
60
【答案】C
【解析】(
x+x+y
)
=
[(
x+x
)
+y]的展开式通项为
T
r+
1
=
(
x+x
)y
(
r=
0,1,2,…,5)
.

由题意,
y
的幂指数为2,故
r=
2
.

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3
252525
-rr
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对应的项为(
x +x
)
y=
10(
x+x
)
y.

记(< br>x+x
)的展开式通项为
T
s+
1
=
10
=
30
.

12
.
(2015·陕西·理T4)二项式(x+
1)(
n
∈N)的展开式中
x
的系数为15,则
n =
(

)
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】(x+1)的展开式通项为T
r+1
=x.
令n-r=2,即r=n-2.
则x的系数为
2
nn-r
23232232
(
x
)
x=
23
-ss
x
6
-s
(
s=
0,1,2,3),由题意令6
-s=
5, 得
s=
1
.
故所求项的系数为
n*
2
=15,解得 n=6,故选B.
n
13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)的展开式中第4项与 第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数
和为( )
A.2
12
B.2
11
C.2 D.2
109
【答案】D
【解析】由条件知
10
,∴n=10.
1010-1
∴(1+x)中二项式系数和为2,其中奇数项的二项式系数和为2=2. 9
14
.
(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出 2名男医生、1名女医生组成一个医疗小
组,则不同的选法共有(

)
A
.
60种 B
.
70种 C
.
75种
【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,故共有
D
.
150种
×
5
=
75种选法,选C
.

15
.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(

)
A
.
144 B
.
120 C
.
72
【答案】D
【解析】插空法
.
在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3 个插入3人即可
.
故排法种数为
D
.

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4
D
.
24
=
24
.
故选
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16
.
(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不 同的排法共
有(

)
A
.
192种 B
.
216种 C
.
240种 D
.
288种
【答案】B
【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为
排法的种数为=120+96=216.
;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为
.
因此不同的
17
.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺 序,
则同类节目不相邻的排法种数是(

)
A.72 B.120 C.144 D.168
【答案】B
【解析】第1步,先排歌舞类 节目,有
=
6种排法,排好后有4个空位
.

第2步,排另3个节目 ,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目
.
分两类情况:
①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有
=
4
种排法,最后 一个小品类节目排两端,有2种方法
.
共有6
×
4
×
2=
48种排法
.

②中间两个空位安排2个小品类节目,有
=
2种排法,排好后有6
个空位, 选1个将相声类节目排上,有6种排法
.
共有6
×
2
×
6< br>=
72种排法
.

所以一共有48
+
72
=
120种排法
.

18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)的展开式中,含x项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
63
【答案】C
【解析】含x 的项是由(1+x)展开式中含x的项与x相乘得到,又(1+x)展开式中含x的项的系数为=15,
故含x项的系数是15.
3
36262
19.(2014·湖南·理T4)
A
.-
20 B
.-
5
【答案】A
【解析】由已知,得
C
.
5 D
.
20
的展开式中xy的系数是( )
23
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5
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T
r+1
=(-2y)=
r
(-2)xy(0≤r≤5,r∈Z),
r5-rr
令r=3,得T
4
=(-2)xy=-20xy.
64 mn
32323
20
.
(2014·浙江·理T5)在(1+x)(1+y) 的展开式中,记xy项的系数为f(m,n),则
f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0 ,3)=( )
A.45 B.60 C.120
【答案】C
【解析】

(1
+x
)展开式的通项公式为< br>T
r+
1
=x
,(1
+y
)展开式的通项
公式为
T
h+
1
=y
,
h
6
D.210
r
4

(1
+x
)
6
(1
+y
)
4
展开式的通项可以为
∴f(
m
,
n
)
=.

x
r
y
h
.

∴f
(3,0)
+ f
(2,1)
+f
(1,2)
+f
(0,3)
==
20
+
60
+
36
+
4
=
120
.
故选C
.

2m2m+1
21.(2013·全国1·理T9) 设m为正整数,(x+y)展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)
式系数的最大值为b.若13 a=7b,则m=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】由题意可知,a=,b=,
展开式的二项
∵13a=7b,∴13·=7·,
即,解得m=6.故选B. 22
.
(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的 三位数的个数为(

)
A.243 B.252 C.261 D.279
【答案】B
【解析】构成所有的三位数的个数为
=
900,而 无重复数字的三位数的个数为
=
648,故所求个数
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6
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为900
-
648
=
252,应选B
.

23
.
(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)的展开式中
x的系数为5,则
a=
(

)
A.
-
4 B.
-
3 C.
-
2 D.
-
1
52
【答案】D
【解析】因为(1+x)的二项展开式的通项为x(0≤r≤5,r ∈Z),则含x的项为x+ax·x=(10+5a)x,所
以10+5a=5,a=-1.
5r222
24.(2013·辽宁·理T7)使
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
(n∈N)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
*
【解析】展开式中的第r+1项为(3x)
n-r
3
n-r
,若展开式中含常 数项,则存在n∈N,r
*
∈N,使n-r=0,故最小的n值为5,故选B.
25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)(1+y)的展开式中xy的系数是( )
A.56 B.84 C.112 D.168
8422
【答案】D
【解析】因为(1+x)的展开式中x的系数为,(1+y)的 展开式中y的系数为,所以xy的系数为
故选D.
26.(2012·湖北·理T5)设a∈Z,且0≤a<13,若51
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案】D
【解析】∵51
·(-1)
2 012
2 012
824222
=168.
+a能被13整除,则a=( )
可化为(52-1)
2 012
,其二项式系数为T
r+1
=
+12被13整除.
52
2 012-r
·(-1).故(52-1)
r2 012
被13除余数为
2 012
=1,则当a=12时,51
2 012
27.(2012·安徽·理T7)(x+2)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
2
的展开式的常数项是( )
【答案】D
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7

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