数学渣(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

2020年11月22日发(作者：项叔翔)
专题7 立体几何（2）
立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题 ，第
年是求高）．
1．（2019年）如图，直四棱柱
1
＝4，
AB ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1< br>的底面是菱形，
AA
＝2，∠
BAD
＝60°，
E
，
M
，
N
分别
2小题多为体积计算问题（2014
是
BC
，
BB
1
，
A
1
D
的中点．
（1）证明：
MN
∥平面
C
1
DE
；
（2）求点< br>C
到平面
C
1
DE
的距离．
【解析】（1）连结B
1
C
，
ME
，∵
M
，
E
分 别是
BB
1
，
BC
的中点，
∴
ME
∥B
1
C
，又
N
为
A
1
D
的中 点，∴
ND
＝
1
1
2
AD
，
由题设知A
1
B
1
//
DC
，∴
B
1
C
//
A
1
D
，∴
ME
//
ND
，
∴四边形
MNDE
是平行四边形，
∴
MN
∥
ED
，
又
MN
?平面
C
1
DE
，∴
M N
∥平面
C
1
DE
．
（2）过
C
作
C
1
E
的垂线，垂足为
H
，
由已知可得
DE⊥
BC
，
DE
⊥
C
1
C
，
∴
DE
⊥平面
C
1
CE
，故
DE
⊥
CH
，
∴
CH
⊥平面
C
1
DE
，故
CH
的长即为
C
到时平面
C
1
DE
的距离，由已知可得
CE
＝1，
CC
1
＝4，
∴
C1
E
＝
17
，故
CH
＝
417
17< br>，
1
∴点
C
到平面
C
417
1
D E
的距离为
17
．
2．（2018年）如图，在平行四边形
ABCM
中，
AB
＝
AC
＝3，∠
ACM
＝90°，以AC
为折痕将△
ACM
折起，使点
到达点
D
的位置，且
AB
⊥
DA
．
（1）证明：平面
ACD
⊥平面ABC
；
（2）
Q
为线段
AD
上一点，
P为线段
BC
上一点，且
BP
＝
DQ
＝
2
3
DA
，求三棱锥
Q
﹣
ABP
的体积．
【解析】 （1）∵在平行四边形
ABCM
中，∠
ACM
＝90°，∴
AB⊥
AC
，
又
AB
⊥
DA
．且
AD∩
AC
＝
A
，
∴
AB
⊥面
ADC，∵
AB
?面
ABC
，
∴平面
ACD
⊥平面< br>ABC
；
（2）∵
AB
＝
AC
＝3，∠
AC M
＝90°，∴
AD
＝
AM
＝
32
，
∴< br>BP
＝
DQ
＝
2
3
DA
＝
22，
由（1）得
DC
⊥
AB
，又
DC
⊥
CA
，∴
DC
⊥面
ABC
，
∴三棱锥
Q
﹣
ABP
的体积
V
＝
1
3
S
1
3< br>DC
＝
12211
33
S
1
C
3
D C
＝
1
332
33
3
3
＝1．
3．（20 17年）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AB
∥
CD
，且∠
BAP
＝∠
CDP
＝90°．
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
＝
P D
＝
AB
＝
DC
，∠
APD
＝90°，且四棱锥< br>P
﹣
ABCD
的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积．
M
2
【解析】（1）∵在四棱锥
P
﹣
ABCD
中 ，∠
BAP
＝∠
CDP
＝90°，
∴
AB
⊥
PA
，
CD
⊥
PD
，
又
AB
∥
CD
，∴
AB
⊥
PD
，
∵
PA
∩
PD
＝
P
，∴
AB
⊥平面
PAD
，
∵AB
?平面
PAB
，∴平面
PAB
⊥平面
PAD
．
（2）设
PA
＝
PD
＝
AB
＝
DC< br>＝
a
，取
AD
中点
O
，连结
PO
，
∵
PA
＝
PD
＝
AB
＝
DC
，∠
APD
＝90°，平面
PAB
⊥平面
PAD
，
∴< br>PO
⊥底面
ABCD
，且
AD
＝
a
2
a
2
＝
2a
，
PO
＝
2
2
a< br>，
∵四棱锥
P
﹣
ABCD
的体积为
8
3，
由
AB
⊥平面
PAD
，得
AB
⊥
A D
，
∴
V
P﹣ABCD
＝
111
3
S四边形
CD
＝
3
D
＝
3
a2a
23
2
a
＝
1
3
a
＝
8
3，
解得
a
＝2，
∴
PA
＝
PD
＝AB
＝
DC
＝2，
AD
＝
BC
＝
22
，
PO
＝
2
，
∴
PB
＝
PC＝
44
＝
22
，
∴该四棱锥的侧面积：
S
侧< br>＝
S
△PAD
+
S
△PAB
+
S
△ PDC
+
S
△PBC
＝
11
2
2
D
+
2
+
1
2
DDC
+
1
2
C< br>2
C
2
＝
11
2
22
2
22
1
22
1
22
2282
＝6+
23
．
3
4．（2016年）如图，已知正三棱锥
P
﹣
ABC
的侧面是直角三 角形，
PA
＝6，顶点
P
在平面
ABC
内的正投影为
点
D
，
D
在平面
PAB
内的正投影为点
E
，连接
PE
并延长交
AB
于点
G
．
（1）证明：
G
是
AB
的中点；
（2）在图中作出点
E
在平面< br>PAC
内的正投影
F
（说明作法及理由），并求四面体
PDEF
的体积．
【解析】（1）∵
P
﹣
ABC
为正三棱锥，且
D
为顶点
P
在平面
ABC
内的正投影，
∴
PD
⊥平面
ABC
，则
PD
⊥
AB
，
又
E< br>为
D
在平面
PAB
内的正投影，
∴
DE
⊥面
PAB
，则
DE
⊥
AB
，
∵
PD
∩
DE
＝
D
，
∴
AB
⊥平面
PDE
，连接
PE
并延长交
AB
于点
G
，
则
A B
⊥
PG
，
又
PA
＝
PB
，
∴< br>G
是
AB
的中点；
（2）在平面
PAB
内，过点E
作
PB
的平行线交
PA
于点
F
，
F
即为
E
在平面
PAC
内的正投影．
∵正三棱锥
P< br>﹣
ABC
的侧面是直角三角形，
∴
PB
⊥
PA
，
PB
⊥
PC
，
又
EF
∥
PB
，所以
EF
⊥
PA
，
EF
⊥
PC
，因此< br>EF
⊥平面
PAC
，
即点
F
为
E
在 平面
PAC
内的正投影．
连结
CG
，因为
P
在平面
ABC
内的正投影为
D
，所以
D
是正三角形
ABC
的中心．
4
由（1）知，
G
是
AB
的中点，所以
D
在
CG
上，故
CD
＝
2
3
CG
．
由题设可得
PC
⊥平面
PAB
，
DE
⊥ 平面
PAB
，所以
DE
∥
PC
，因此
PE
＝
21
3
PG
，
DE
＝
3
PC
．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且
PA
＝6，可得
DE
＝2，
PG
＝
32
，
PE
＝
22
．
在等 腰直角三角形
EFP
中，可得
EF
＝
PF
＝2．
所 以四面体
PDEF
的体积
V
＝
1
PEF
1
3
×
DE
×
S
△
＝
1
3
×2×< br>2
×2×2＝
4
3
．
5．（2015年）如图，四边形
ABCD
为菱形，
G
为
AC
与
BD
的交点，BE
⊥平面
ABCD
．
（1）证明：平面
AEC
⊥平面
BED
；
（2）若∠
ABC
＝120°，
AE
⊥< br>EC
，三棱锥
E
﹣
ACD
的体积为
6
3，求该三棱锥的侧面积．
【解析】（1）∵四边形
ABCD
为菱形，
∴< br>AC
⊥
BD
，
∵
BE
⊥平面
ABCD
，
∴
AC
⊥
BE
，
则
AC
⊥平面
BED
，
∵
AC
?平面
AEC
，
∴平面
AEC
⊥平面
BED
；
（2）设
AB
＝
x
，在菱形
ABCD
中，由∠
ABC
＝120°，得
AG
＝< br>GC
＝
3
2
x
，
GB
＝
GD
＝
x
2
，
5
∵
BE
⊥平面
ABCD< br>，
∴
BE
⊥
BG
，则△
EBG
为直角三角形 ，
∴
EG
＝
13
2
AC
＝
AG
＝
2
x
，
则
BE
＝
G
2
G
2
＝
2
2
x
，
∵三棱锥
E
﹣
AC D
的体积
V
＝
116
3
6
32
CGD＝
24
x
＝
3
，
解得
x
＝2，即AB
＝2，
∵∠
ABC
＝120°，
∴
AC
2
＝
AB
2
+
BC
2
﹣2
AB
?< br>BC
cos
ABC
＝4+4﹣2×
22
1
2
＝12，
即
AC
＝
23
，
在三个直角三角形
EBA
，
EBD
，
EBC
中，斜边
AE
＝
EC< br>＝
ED
，
∵
AE
⊥
EC
，∴△
EA C
为等腰三角形，
则
AE
2
+
EC
2
＝< br>AC
2
＝12，
即2
AE
2
＝12，
∴AE
2
＝6，
则
AE
＝
6
，
∴从而得
AE
＝
EC
＝
ED
＝
6
，
∴△< br>EAC
的面积
S
＝
1
2
C
1
266
＝3，
在等腰三角形
EAD
中，过
E
作
E F
⊥
AD
于
F
，
则
AE
＝
6，
AF
＝
1
2
D
＝
1
2
21
，
2
则
EF
＝
61
2
5
，
∴△
EAD
的面积和△
ECD
的面积均为
S
＝
1
2
25
＝
5
，
故该三棱锥的侧面积为3+
25．
6