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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题20空间向量
1
.
(2014·全国2·理T11)直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠
BCA=
9 0°,
M
,
N
分别是
A
1
B
1
,
A
1
C
1
的中点,
BC=CA=CC
1
, 则
BM
与
AN
所成角的余弦值为(
)
A. B. C. D.
2
.
(2013·北京·文T8)如图,在正 方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
P
为对角线
BD
1
的三等分点,
P
到各顶点 的距离的不同
取值有(
)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐 标系中有直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
,
CA=CC
1
=
2
CB
,则直线
BC< br>1
与直线
AB
1
夹角的余弦值为(
)
A. B. C. D.
4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC- A
1
B
1
C
1
中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA
1
,则异面直线BA
1
与AC
1
所成的
角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.(2019·天津·理T17) 如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.
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6
.
(2019·浙江·T 19)如图,已知三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
,平面
A
1
ACC
1< br>⊥平面
ABC
,∠
ABC=
90°,∠
BAC=
30 °,
A
1
A=A
1
C=AC
,
E
,
F
分别是
AC
,
A
1
B
1
的中点
.
(1)证明:
EF
⊥
BC
;
(2)求直线
EF
与平面
A
1
BC
所成角的余弦值
.
7
.
(2019·全国1·理T18)如图,直四棱柱
ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形,
AA
1
=
4,
AB=
2,∠
BAD=
60°,< br>E
,
M
,
N
分别
是
BC
,
BB
1
,
A
1
D
的中点
.
(1)证明:
MN
∥平面
C
1
DE
;
(2)求二面角
A-MA
1
-N
的正弦值
.
8
.
(2019·全国2·理T17)如图,长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形,点
E
在棱
AA
1
上,
BE
⊥< br>EC
1
.
(1)证明:
BE
⊥平面
EB
1
C
1
;
(2)若
AE=A
1
E
,求二面角
B-EC-C
1
的正弦值
.
9.(2019·全国3·理T19)图1是由矩形 ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,
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∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.
10.(2018·浙江·T 8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).
设S E与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则( )
A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1
11
.
(2018·全国3·理T19)如图,边长为2的正 方形
ABCD
所在的平面与半圆弧
于
C
,
D
的点< br>.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M- ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
所在平面垂直,
M
是上异
12.(2018·北京·理T16)如 图,在三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中,
CC
1
⊥平面
ABC
,
D
,
E
,
F
,
G
分别为
AA
1
,
AC
,
A
1
C
1
,
BB
1
的中
点,AB=BC= ,AC=AA
1
=2.
(1)求证:AC⊥平面BEF;
(2)求二面角B-CD-C
1
的余弦值;
(3)证明:直线FG与平面BCD相交.
13.(2018·天津·理T17) 如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥ 平面
ABCD,DA=DC=DG=2.
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(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;
(2)求二面角E- BC-F的正弦值;
(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
14.(2018·全国1·理T18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD ,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折
起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
15.(2018·全国2·理T20)如图,在三棱锥P- ABC中,AB=BC=2
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
16
.
(2 018·浙江·T9)如图,已知多面体
ABCA
1
B
1
C
1
,
A
1
A
,
B
1
B
,
C
1
C
均垂直于平面
ABC
,∠
ABC=
120° ,
A
1
A=
4,
C
1
C=
1,
A B=BC=B
1
B=
2
.
(1)证明:
AB1
⊥平面
A
1
B
1
C
1
;
(2)求直线
AC
1
与平面
ABB
1
所成的角的正弦值.
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17.(2018·上海·T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且 ∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大
小.
18.(2017·北京·理T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面P AD⊥平面ABCD,点M在线段
PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=
(1)求证:M为 PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
,AB=4.
19.(2017·全国1·理T18)如图,在四棱锥P- ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
20.(2017·全国2·理T19)如图,四棱锥P- ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
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AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
21.(2017·全国3·理T19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D -AE-C的余弦值.
22.(2017·山东·理T17)如图,几何体是圆柱的一部分 ,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋
转轴旋转120°得到的,G是
(1 )设P是
的中点.
上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
23.(2017·天津·理T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=9 0°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC
的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB= 2.
(1)求证:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
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(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
求线段AH的长.
24.(2016·全国1·理T18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体 中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,
且二面角D-AF-E与二面角C- BE-F都是60°.
(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E- BC-A的余弦值.
25.(2016·全国2·理T19)如图,菱形ABCD的对角线 AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD
上,AE=CF= ,EF交B D于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=
(1)证明:D'H⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
.
26.(2016·山东 ·理T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台
的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;
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(2)已 知
EF=FB=AC=
2,
AB=BC
,求二面角
F-BC-A的余弦值
.
27.(2016·浙江·理T17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC, ∠
ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
28.(2016·全国3·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD ,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段
AD上一点,AM=2MD,N为P C的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
29
.
(20 15·全国2·理T19)如图,长方体
ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中,
AB=
16,
BC=
10,
AA
1
=
8,点
E
,
F
分别在
A
1
B
1
,
D
1
C
1
上,
A1
E=D
1
F=
4,过点
E
,
F
的平 面
α
与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线
AF
与平面
α
所成角的正弦值
.
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.
(2015·上海·理T19)如图,在长方体
ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AA1
=
1,
AB=AD=
2,
E
,
F
分 别是棱
AB
,
BC
的中点
.
证明
A
1,
C
1
,
F
,
E
四点共面,并求直线
CD
1
与平面
A
1
C
1
FE
所成的角的大 小
.
31.(2015·北京·理T17)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥
BC,BC=4,EF=2a,∠EB C=∠FCB=60°,O为EF的中点.
(1)求证:AO⊥BE;
(2)求二面角F- AE-B的余弦值;
(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
32
.< br>(2015·浙江·理T17)如图,在三棱柱
ABC-A
1
B
1C
1
中,∠
BAC=
90°,
AB=AC=
2,
A
1
A=
4,
A
1
在底面
ABC
的射影 为
BC
的中点,
D
是
B
1
C
1
的 中点
.
(1)证明:
A
1
D
⊥平面
A< br>1
BC
;
(2)求二面角
A
1
-BD-B
1
的平面角的余弦值
.
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