2015年考研数学三人教版九年级数学上册知识点总结

2020年11月22日发(作者：焦尊生)
人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二
次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax
2
+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax
2
是二次项，a是二次项系数；bx
是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 解，也叫做一元
二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：
1、已知关于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非 负数，可以
直接开平方。一般地，对于形如x
2
=a(a≥0)的方程，根据平方根的 定义可解
得x
1
=,x
2
=.
（2） 直接开平方法适用 于解形如x
2
=p或(mx+a)
2
=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0 ，
就可以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的
平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降
次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1） 一般地，对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)，如果b
2
-4ac≥0，那么方程
的两个根为x=，这 个公式叫做一元二次方程的求根公式，利
用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接 求得方程的解，
这种解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推导过程， 就是用配方法解一般形式的一元二次方
程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax
2
+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b
2
-4ac的值；
④若b
2
-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b< br>2
-4ac＜
0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式 < br>式子b
2
-4ac叫做方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)根的判别 式，通常用希腊字母△表示它，
即△=b
2
-4ac.

△＞0，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)无实数根

21.2．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转
化为求两个 求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2） 因式分解法的详细步骤：
① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公
式和完全平方公式；
③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。


知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 理论依据 适用范围
直接开平方法 平方根的意义 形如x
2
=p或（mx+n）
2
=p(p≥0)
配方法
公式法
完全平方公式
配方法
所有一元二次方程
所有一元二次方程
因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一
次因式的积的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x
2
+px+q=0的两个根为x< br>1
,x
2
,则有x
1
+x
2
=-p,x1
x
2
=q.
若一元二次方程a
2
x+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根x
1
,x
2
,则有x
1
+x
2
=, x
1
x
2
=
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们
之间的等量关系。
（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能 够表达应用题全部含义的一个相等含
义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数 的等式，
即方程。
（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1） 数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的 表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是
100a+10b+c.
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的 增长或
降低后的等量关系为a（1）
2
=b。
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
①总利润=总销售价-总成本；
②总利润=单位利润×总销售量；
③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数
的代数式表示出 来，建立一元二次方程。


中考回顾

1.(2017四川绵阳中 考)关于x的方程2x
2
+mx+n=0的两个根是-2和1,则n
m
的值为 (

C

)
A.-8 B.8 C.16 D.-16
2
2.(2017新疆中考)已知关于x的方程x+x-a=0的一个根为2,则另一个根是(

A )
A.-3 B.-2 C.3 D.6
2
3.(2017河南中考)一元二次方程2x-5x-2=0的根的情况是(

B )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2017青海 西宁中考)若x
1
,x
2
是一元二次方程x
2
+3x-5= 0的两个根,则x
2
+x
1
的值是 15.
5.(2017内蒙 古赤峰中考)如果关于x的方程x
2
-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范 围是

m<2

.
6.(2017四川成都中考)已知x< br>1
,x
2
是关于x的一元二次方程x
2
-5x+a=0的两个 实数根,且=10,则a=
模拟预测


2.对形如(x+m)
2
=n的方程,下列说法正确的是(

C

)

A.都可以用直接开平方得x=-m± B.都可以用直接开平方得x=-n±

C.当n≥0时,直接开平方得x=-m± D.当n≥0时,直接开平方得x=-n±

3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程 x
2
-10x+21=0的解,则第三边的长为( A )

B.3

A.7

D.无法确定

C.7或34.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为 256元,

(

A

)

设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是
2

B.256(1-x)=289 C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289

A.289(1-x)
2
=256

5.若关于x的一元二次方程( m-1)x
2
+5x+m
2
-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于(< br>
)

A.1 B.2 C.1或2 D.0

解析:由常数项为零,知m
2
-3m+2=0,解之,得m
1
=1, m
2
=2.又二次项系数m-1≠0,所以m≠1.综上可知,m=2.故选B.
< br>6.若关于x的一元二次方程x
2
-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整 数为

.

1.方程x
2
+x-12=0的两个根为(

D

)

B.x
1
=-6,x
2
=2

A.x
1
=-2,x
2
=6

D.x
1
=-4,x
2
=3

C.x
1
=-3,x
2
=4

解析:由题意可知Δ=9+8a≥0,故a≥-, 所以a可取的最大负整数为-1.
7.已知 x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程x
2
-(2m+3)x +m
2
=0的两个不相等的实数根,且满足x
1
+x
2
=m
2
,则m的值是



.
解析:因为一元 二次方程有两个不相等的实数根,所以[-(2m+3)]
2
-4m
2
>0, 即m>-;由根与系数的关系可知

x
1
+x
2
=2m+3 ,所以2m+3=m
2
,得m
1
=-1,m
2
=3,故m= 3.
8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可 售出100 kg.后来经过
市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利

2 240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让 利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得
(60-x-40)=2 240.
2
化简,得x-10x+24=0.
解得x
1
=4,x
2
=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为 要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,
售价为60-6=54(元),所以

100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.


第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果
2.二次函数
（1）抛物线
（2）函数
①当
②当
时
时
的性质
的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
的图像与的符号关系.
抛物线开口向上
抛物线开口向下
顶点为其最低点；
顶点为其最高点.
.
是常数，，那么叫做的二次函数.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为
3.二次函数
4.二次函数
的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
用配方法可化成：
的形式，其中.
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二 次函数，如果二次项系数相同，那么抛
物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
∴顶点是，对称轴是直线
，
.
的形式， （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点
的连线的垂直平分线是抛 物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
中的完全一样.
的对称轴是直
（1）决定开口方向及开口大小，这与
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
线
，故：①
轴在轴左侧；③
（3）的大小决定抛物线
当
①
时，，∴抛物线
时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称
（即、异号）时，对称轴 在轴右侧，“左同右异”.
与轴交点的位置.
与轴有且只有一个交点（0，）：
,与轴交于正半轴；③,与轴交于，抛物线经过原点; ②
负半轴.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式





开口方向 对称轴
（轴）
（轴）



(
顶点坐标
（0,0）
(0, )
(,0)
(,)
)
当时
开口向上
当时
开口向下
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
（2）顶点式：
.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
轴的交点坐标、，通常选用交点式： （3）交点式：已知图像与
.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线
（2）与
(,
轴平行的直线
).
得交点为(0, ).
与抛物线有且只有一个交点
（3）抛物线与轴的交点
二次函数
元二次方程
的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对
应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
抛物线与轴相切； ②有一个交点（顶点在轴上）
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交 点.当有2个交点时，两交
点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是
（5）一次函数
交点，由方程组
解时
的图像与二次函数
的两个实数根.
的图像的
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的
与只有一个交点；与有两个交点; ②方程组只有一组解时
与没有交点. ③方程组无解时
（6）抛物线与轴两交点之间的距离 ：若抛物线
，由于、是方程
与轴两交点为
的两个根，故

中考回顾

1.(2017天津中考)已知抛物线y=x
2
-4x+ 3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M
平移后的对应点M'落 在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为(

A

)
A.y=x
2
+2x+1 B.y=x
2
+2x-1 C.y=x
2
-2x+1 D.y=x
2
-2x-1
2.( 2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如 图所示,下列说法正确的是
(

B

)


A. abc<0, b
2
-4ac>0

B. abc>0, b
2
-4ac>0

C. abc<0, b
2
-4ac<0

D. abc>0, b
2
-4ac< 0
程x
2
-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m3.(2017内蒙古赤峰 中考)如果关于x的方

的取值范围是

m<2

.
4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的 图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为

(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
备用图


(1)求二 次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛 物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的

最大值;
(3)在抛物线上是 否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说

明理由.

解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)
2
+ 4.
∵
点B(3,0)在该二次函数的图象上,
∴
0=a(3-1)
2
+4,解得:a=-1.
∴
二次函数的解析式为y=-x
2
+2x+3.
∵
点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3.
∴
点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.
∴
直线BD的解析式为y=-x+3.
（2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m
2
+2m+3),
PM=-m
2
+2m+3-(-m+3)=-m
2
+3m=-, PM最大值为
(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2< br>设G(x,-x+3),
2
QG=|-x+2x+3-(-x+3)|=|-x
2
+3x|.
∵
△DOB是等腰直角三角形,
∴
∠3=45°,
∴
∠2=∠1=45°.
Q(x,-x
2
+2x+3),则

∴
sin∠1=,
∴
QG=4.
得|-x
2
+3x|=4,
当-x
2
+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.
当-x
2
+3x=-4时,解得:x
1
=-1,x
2
=4,Q
1
(4,-5),Q
2
(-1,0).
模拟预测

1.已知 二次函数y=kx
2
-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(

D

)
A.k<3 B.k<3,且k≠0 C.k≤3 D.k≤3,且k≠0
2.若点M(-2,y
1
),N(-1,y
2
),P(8,y
3
)在抛物线y=-x
2
+2x上,则下列结论正确的是(

C

)
A.y
1
2
3
B.y
2
1
3
C.y
3
1
2
D.y
1
3
2

解:x=-2时,y1
=-x
2
+2x=-(-2)
2
+2×(-2)=-2-4= -6,
x=-1时,y
2
=-x
2
+2x=-
x=8时, y
3
=-x
2
+2x=-
(-1)
2
+2×(-1 )=--2=-2,
8
2
+2×8=-32+16=-16.
∵
-16<-6<-2,
∴
y
3
1
2
.故选C.
3.已知一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a>0)的两个实数根 x
1
,x
2
满足x
1
+x
2
=4和x1
·x
2
=3,则二次函数y=ax
2
+bx+c(a>0)< br>的图象有可能是(

)


解析:
∵
x
1
+x
2
=4,
∴
-=4.
∴
二次函数的 对称轴为x=-=2.
∵
x
1
·x
2
=3,=3.
当a>0时,c>0,
∴
二次函数图象交于y轴的正半轴.
4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax
2
+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y …
-6
-4
-2
-2
-2
…

根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=a x
2
+bx+c在x=3时,y=

-4

. < br>5.若关于x的函数y=kx
2
+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为
k=0或k=-1.
6.抛物线y=-x
2
+bx+c的图象如图 ,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平
移后的解析式为

.
解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以 - =1,即b=2.
把点(3,0)代入y=-x
2
+2x+c,得c=3.
故原图象的解析式 为y=-x
2
+2x+3,即y=-(x-1)
2
+4,然后向左平移2个单 位,再向下平移3个单
位,得y=-(x-1+2)
2
+4-3,即y=-x
2
-2x. 答案:y=-x
2
-2x
7.如图
①
,若抛 物线L
1
的顶点A在抛物线L
2
上,抛物线L
2
的顶点B也 在抛物线L
1
上(点A与点B
不重合),我们把这样的两抛物线L
1
,L
2
互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可
以有很多条. < br>(1)如图
②
,已知抛物线L
3
:y=2x
2
-8x +4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对
称点D的坐标;
(2)请求出 以点D为顶点的L
3
的“友好”抛物线L
4
的解析式,并指出L
3< br>与L
4
中y同时随x增大而
增大的自变量的取值范围;
(3)若抛物 线y=a
1
(x-m)
2
+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a< br>2
(x-h)
2
+k,请写出a
1
与a
2
的 关
系式,并说明理由.


解:
(1)
∵
抛物线 L
3
:y=2x
2
-8x+4,
∴
y=2(x-2)
2
-4.
∴
顶点为(2,-4),对称轴为x=2,
设x=0,则y=4,
∴
C(0,4).
∴
点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).
(2)
∵
以点D(4,4)为顶点的L
3
的友好抛物线L
4
还过点(2,-4 ),
∴
L
4
的解析式为
y=-2(x-4)
2
+4 .
∴
L
3
与L
4
中y同时随x增大而增大的自变量的取值范 围是2≤x≤4.
(3)a
1
=-a
2
,
理由如下:< br>∵
抛物线L
1
的顶点A在抛物线L
2
上,抛物线L
2
的顶点B也在抛物
线L
1
上,
∴
可以列出两个方程
由
①
+
②
,得(a
1
+a
2
)(m-h )
2
=0,
∴
a
1
=-a
2
.